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| Aufgabe | Sei K ein endlicher Körper mit k Elementen und V ein n-dimensionaler K-Vektorraum.
Wie viele geordnete und wie viele ungeordnete Basen hat V? |
Zuerst: Was genau ist der Unterschied zwischen geordneten und ungeordneten Basen? Das wurde in der Vorlesung nicht ganz klar, und auch im Internet finde ich da nichts genaues dazu.
Eine Basis ist ja ein Erzeugendensystem mit linear unabhängigen Vektoren. Das heisst mit den Basen kann man den Vektorraum darstellen. Da der Körper ja den Vektorraum "produziert" gehe ich mal davon aus, dass die Anzahl der Basen was mit der Anzahl der Elemente des Körpers zu tun hat? Aber wie genau bekomme ich diese Anzahl heraus?
Wäre lieb wenn mir jemand weiter helfen könnte =)
Liebe Grüße
Elizabeth
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:42 Mo 13.01.2014 | | Autor: | hippias |
> Sei K ein endlicher Körper mit k Elementen und V ein
> n-dimensionaler K-Vektorraum.
> Wie viele geordnete und wie viele ungeordnete Basen hat
> V?
> Zuerst: Was genau ist der Unterschied zwischen geordneten
> und ungeordneten Basen? Das wurde in der Vorlesung nicht
> ganz klar, und auch im Internet finde ich da nichts genaues
> dazu.
Es duerfte sich hierbei lediglich um die Notation der Basis drehen: eine geordnete Basis liegt vor, wenn man die Basis als Tupel der Basisvektoren angibt. Bei einem Tupel spielt die Reihenfolge der Eintraege eine Rolle. Ungeordnet ist die Basis, wenn man sie als Menge angibt.
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> Eine Basis ist ja ein Erzeugendensystem mit linear
> unabhängigen Vektoren. Das heisst mit den Basen kann man
> den Vektorraum darstellen. Da der Körper ja den Vektorraum
> "produziert" gehe ich mal davon aus, dass die Anzahl der
> Basen was mit der Anzahl der Elemente des Körpers zu tun
> hat? Aber wie genau bekomme ich diese Anzahl heraus?
Versuche zuerst die Anzahl der geordneten Basen zu ermitteln (geordnete Objekte zu zaehlen ist meist einfacher). Ich gehe von einem Vektor [mm] $v_{1}\neq [/mm] 0$ aus; fuer diesen gibt es [mm] $k^{n}-1$ [/mm] Moeglichkeiten. Der naechste Vektor [mm] $v_{2}$ [/mm] darf nicht linear abhaengig von [mm] $v_{1}$ [/mm] sein, weshalb ich ihn aus [mm] $V\backslash Kv_{1}$ [/mm] waehlen muss. Diese Menge enthaelt [mm] $k^{n}-k$ [/mm] Elemente.
Auf diese Weise kannst Du alle (?) geordneten Basen konstruieren und ihre Anzahl ergibt sich aus dem Produkt der Anzahl der Moeglichkeiten fuer die [mm] $v_{i}$.
[/mm]
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> Wäre lieb wenn mir jemand weiter helfen könnte =)
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> Liebe Grüße
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> Elizabeth
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