K-Vektorraum m. Endomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:02 Mi 11.04.2007 | | Autor: | alexmart |
| Aufgabe | Es sei V ein K-Vektorraum und [mm] \pi [/mm] : V [mm] \to [/mm] V ein Endomorphismus mit [mm] \pi [/mm] ² = [mm] \pi. [/mm]
Zeigen Sie:
(a) Es gilt V = Kern [mm] \pi [/mm] + Bild [mm] \pi
[/mm]
(b) Es gilt Kern [mm] \pi \cap [/mm] Bild [mm] \pi [/mm] = {0}.
(c) Für jedes v [mm] \varepsilon [/mm] Bild [mm] \pi [/mm] gilt [mm] \pi [/mm] (v) = v |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
also bei dieser Aufgabe bin ich echt am verzweifeln, weil ich einfach keine Ahnung habe wie ich hier am Besten vorgehe.
Vielleicht könnt ihr mir ja etwas auf die Sprünge helfen.
Das wäre wirklich sehr sehr nett.
Mit freundlichen Grüßen
Alexander
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Mi 11.04.2007 | | Autor: | comix |
Mit etwas rumprobieren kommst Du leicht zum Erfolg:
zu a)
Verwende v = v - [mm] \pi(v) [/mm] + [mm] \pi(v).
[/mm]
zu b)
Sei v [mm] \in Kern$\pi [/mm] $$ [mm] \cap$ [/mm] Bild$ [mm] \pi$. [/mm] Dann gibt es v' [mm] \in [/mm] V mit [mm] \pi(v')=v.
[/mm]
Es gilt: [mm] \pi^{2}(v') [/mm] = [mm] \pi(v) [/mm] = 0, da v [mm] \in [/mm] Kern [mm] \pi
[/mm]
Aber [mm] \pi^{2}(v') [/mm] = [mm] \pi(v'), [/mm] also liegt v' in Kern [mm] \pi [/mm] und damit v = [mm] \pi(v') [/mm] = 0.
zu c)
ganz ähnlich kommst Du hier zum Ergebnis.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:17 Mi 11.04.2007 | | Autor: | alexmart |
Hi,
also erstmal vielen Dank für die rasche Antwort.
Den Lösungsweg zu b.) habe ich mit Hilfe von Literatur nachgearbeitet und nachvollzogen und mich dann mal an Aufgabenteil c.) gemacht.
Hier mal mein Lösungsweg zu c.):
Sei v [mm] \varepsilon [/mm] Bild [mm] \pi [/mm] . Dann muss ein x [mm] \varepsilon [/mm] Kern [mm] \pi \subseteq [/mm] V existieren, sodass gilt: [mm] \pi [/mm] ² (x) = [mm] \pi [/mm] (v) = 0 [mm] \varepsilon [/mm] Bild [mm] \pi [/mm] .
Daraus folgt Bild [mm] \pi [/mm] = {0} und somit muss gelten: [mm] \pi [/mm] (v) = 0 = v.
Ich habe mir dabei gedacht, dass definitionsgemäß ja Bild [mm] \pi [/mm] = {0}. Wenn ich dann eine Abbildung laufen lasse sodass [mm] \pi [/mm] (v) = 0 ist, dann muss ja auch v = 0 und somit v = [mm] \pi [/mm] (v) sein da v laut Aufgabe ja [mm] \varepsilon [/mm] Bild [mm] \pi [/mm] ist.
Stimmt das? Kann man das so aufschreiben?
So auch über Aufgabe a.) habeihc mir Gedanken gemacht:
Ist es korrekt zu sagen, dass auf Grund des Endomorphismus [mm] \pi [/mm] (v) ² = [mm] \pi [/mm] (v) auch [mm] \pi [/mm] (v) = [mm] \pi [/mm] (v) gilt und somit Kern [mm] \pi [/mm] = Bild [mm] \pi [/mm] ? Dann würde ich auch deine Gleichung verstehen. Dann würde ja v = v übrig bleiben und somit wäre Aufgabe a.) gelöst.
Stimmt das?
Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
Mit freundlichen Grüßen
Alexander
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:08 Mi 11.04.2007 | | Autor: | comix |
> Hi,
>
> also erstmal vielen Dank für die rasche Antwort.
>
> Den Lösungsweg zu b.) habe ich mit Hilfe von Literatur
> nachgearbeitet und nachvollzogen und mich dann mal an
> Aufgabenteil c.) gemacht.
>
> Hier mal mein Lösungsweg zu c.):
>
> Sei v [mm]\varepsilon[/mm] Bild [mm]\pi[/mm] . Dann muss ein x [mm]\varepsilon[/mm]
> Kern [mm]\pi \subseteq[/mm] V existieren, sodass gilt: [mm]\pi[/mm] ² (x) =
> [mm]\pi[/mm] (v) = 0 [mm]\varepsilon[/mm] Bild [mm]\pi[/mm] .
> Daraus folgt Bild [mm]\pi[/mm] = {0} und somit muss gelten: [mm]\pi[/mm] (v)
> = 0 = v.
Das kann ich nicht ganz nachvollziehen. Du "beweist" ja, dass Bild [mm] \pi [/mm] = {0}, was definitiv nicht richtig ist.
Ich würde so beginnen:
Sei v [mm] \in [/mm] Kern [mm] \pi \cup [/mm] Bild [mm] \pi. [/mm] (Hier wissen wir noch nicht, dass v = 0 sein muss. Das soll herauskommen.)
Es gibt ein $ v' $ [mm] \in [/mm] V mit: [mm] \pi(v') [/mm] = v (weil v [mm] \in [/mm] Bild [mm] \pi). [/mm] Jetzt rechnen wir:
[mm] \pi(\pi(v')) [/mm] = [mm] \pi(v') [/mm] (laut Voraussetzung: [mm] \pi^{2} [/mm] = [mm] \pi)
[/mm]
= v (wegen der Wahl von v').
Andererseits:
[mm] \pi(\pi(v')) [/mm] = [mm] \pi(v) [/mm] (wegen der Wahl von v')
= 0 (wegen [mm] v\in [/mm] Kern [mm] \pi).
[/mm]
Also folgt v=0.
>
> Ich habe mir dabei gedacht, dass definitionsgemäß ja Bild
> [mm]\pi[/mm] = {0} (???). Wenn ich dann eine Abbildung laufen lasse sodass
> [mm]\pi[/mm] (v) = 0 ist, dann muss ja auch v = 0 und somit v = [mm]\pi[/mm]
> (v) sein da v laut Aufgabe ja [mm]\varepsilon[/mm] Bild [mm]\pi[/mm] ist.
> Stimmt das? Kann man das so aufschreiben?
>
> So auch über Aufgabe a.) habeihc mir Gedanken gemacht:
> Ist es korrekt zu sagen, dass auf Grund des Endomorphismus
> [mm]\pi[/mm] (v) ² = [mm]\pi[/mm] (v) auch [mm]\pi[/mm] (v) = [mm]\pi[/mm] (v) gilt und somit
> Kern [mm]\pi[/mm] = Bild [mm]\pi[/mm] ? Dann würde ich auch deine Gleichung
> verstehen. Dann würde ja v = v übrig bleiben und somit wäre
> Aufgabe a.) gelöst.
> Stimmt das?
So kann man wohl nicht argumentieren. Der Hinweis v = v - [mm] \pi [/mm] (v) + [mm] \pi(v) [/mm] sollte Dich auf eine andere Idee bringen.
Hier soll eine Mengengleichheit gezeigt werden. Dazu zeigt man am besten die Inklusionen in beide Richtungen. Die eine Inklusion ist trivial. Die andere geht so:
Zeige: V [mm] \subset [/mm] Kern $ [mm] \pi [/mm] $ + Bild $ [mm] \pi [/mm] $
Für alle v [mm] \in [/mm] V gilt: v = v - [mm] \pi [/mm] (v) + [mm] \pi(v). [/mm] Wenn Du jetzt zeigen kannst, dass v - [mm] \pi [/mm] (v) im Kern [mm] \pi [/mm] liegt, dann bist Du fertig, da der letzte Summand [mm] \pi(v) [/mm] offensichtlich im Bild [mm] \pi [/mm] liegt.
>
> Über eine Antwort wäre ich sehr dankbar!
>
> Mit freundlichen Grüßen
> Alexander
Schöne Grüße
Wolfgang
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