Känguru-Aufgabe: ab 11. Schuljahr < Känguru < Wettbewerbe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 20:13 Mi 10.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Drei kugelförmige Luftballons schweben in einem Raum. Ihre Mittelpunkte liegen nicht auf einer Geraden. Wie viele verschiedene Ebenen kann es maximal geben, die gleichzeitig alle drei Ballons berühren (d.h. die für alle drei Ballons Tangentialebenen sind)?
Viel Spaß! 
Stefan
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(Die Antwort ist falsch. Die richtige Anzahl lautet: [mm]\red{8}[/mm]. Eine Begründung kann man hier nachlesen: https://matheraum.de/read?f=26&t=126&i=257)
ich würd mal sagen 7
ehm so als zusatz frage... sind die vom heurigen känguru test die fragen?
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:39 Do 18.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Hallo!
Ich habe im Internet recherchiert und weiß jetzt was Tangentialebenen sind. Aber ich verstehe die Formeln dazu überhaupt nicht und ich weiß auch absolut nicht wie ich bei dieser Aufgabe vorgehen soll. So was haben wir in der Schule jedenfalls noch nie gemacht...
Gruß,
Nalath
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:32 Do 18.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath!
Vergessen wir mal die blöden Formeln und bleiben wir bei der Anschauung: Tangentialebenenen an eine Kugel sind Ebenen, die eine Kugel genau in einem Punkt berühren. Wie viele Ebenen kann es also im besten Fall geben, die drei Kugeln, die nicht auf einer Gerade liegen, in jeweils einem Punkt berühren?
Du brauchst hier gar keine Mathematik, wir wollen die Aufgabe nur anschaulich lösen. Eine anschauliche Begründung reicht mir.
Tipp: Im besten Fall haben alle drei Kugeln den gleichen Radius...
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 Do 18.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Hallo!
Kann es sein, dass nur eine Tangentialebene an alle drei Kugeln grenzt? Es müssen ja immer die Mittelpunkte zweier Kugeln auf einer Geraden liegen und die Tangentialebene muss doch im 90° Winkel zum Radius stehen, glaube ich.
Gruß,
Nalath
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:14 Do 18.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath!
> Kann es sein, dass nur eine Tangentialebene an alle drei
> Kugeln grenzt?
Im Idealfall (und um den geht es ja) können es mehr sein.
> Es müssen ja immer die Mittelpunkte zweier
> Kugeln auf einer Geraden liegen
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") (und die zweite Gerade darf die erste nicht "fortsetzen")
> und die Tangentialebene
> muss doch im 90° Winkel zum Radius stehen, glaube ich.
Ja, das stimmt, wenn du damit einen Vektor meinst, der vom Mittelpunkt bis zum Rand der Kugel verläuft. Nur: Davon gibt es unendlich viele! Also stimmt die Begründung so nicht.
Stell dir mal drei Kugeln vor, die alle drei den gleichen Radius haben und die alle drei auf der gleichen "Höhe" im Raum liegen (d.h. die Differenzvektoren der Mittelpunkte der drei Kugeln liegen alle in einer Ebene). Dann gibt es mindestens zwei Ebenen, die Tangentialebenen an allen drei Kugeln sind, nämlich die Ebene "direkt unter den Kugeln" und die Ebene "direkt über den Kugeln". Kannst du dir das vorstellen?
Jetzt meine Frage: Kann es vielleicht eine Anordnung der Kugeln innerhalb dieser Konstellation (wo also die Differenzvektoren der Mittelpunkte der drei Kugeln in einer Ebene liegen) geben, bei der es zusätzliche Ebenen gibt, die Tangentialebenen an alle drei Kugeln sind?
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Sa 20.03.2004 | | Autor: | Nalath |
Hallo!
Ich dachte, die Mittelpunkte der Kugeln dürfen nicht auf einer Gerade liegen... Wie kann es dann oberhalb und unterhalb der Kugeln eine Tangentialebene geben, die alle drei Kugeln berührt? Das verstehe ich nicht. Ich habe mir nochmla eine Zeichnung gemacht und festgestellt, dass ich zwischen den Kugeln, wenn sie nahe beieinander liegen 3 Tangentialebenen einzeichnen kann. Ist das richitg?
Gruß, Nalath
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 02:05 Mo 22.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Liebe Nalath!
Huups, diesen Beitrag habe ich gerade erst gesehen. Sorry!!
> Ich dachte, die Mittelpunkte der Kugeln dürfen nicht auf
> einer Gerade liegen... Wie kann es dann oberhalb und
> unterhalb der Kugeln eine Tangentialebene geben, die alle
> drei Kugeln berührt? Das verstehe ich nicht.
Doch, doch, das geht. Die Verbindungsvektoren der Kugelmittelpunkte bilden die Richtungsvektoren einer Ebene. Zu dieser Ebene gibt es dazu parallele Ebenen, die Tangentialebenen sind, solange die Kugeln gleich große sind.
> Ich habe mir
> nochmla eine Zeichnung gemacht und festgestellt, dass ich
> zwischen den Kugeln, wenn sie nahe beieinander liegen 3
> Tangentialebenen einzeichnen kann. Ist das richitg?
Nein, das funktioniert leider nicht.
Lies dir bitte Marc Erklärung durch: https://matheraum.de/read?f=26&t=126&i=257. Dann findest du die sechs weiteren Tangentialebenen. Sie liegen "schief" zu den bereits zwei gefundenen.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:55 So 21.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo,
leider ist es mir nicht gelungen die Aufgabe mathematisch exakt zu lösen.
Der Rest, der hier stand, war Blödsinn...  (Stefan)
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:17 So 21.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
da ich mich ja so gerne meine Irrtümer zur Schau stelle, dachte ich, sage ich einfach mal, dass ich schon 5 Tangentialebenen gefunden habe, und ich eigentlich auch nicht einsehe, warum es nicht sogar 8 geben sollte.
Am besten, ich poste gleich mal eine Skizze, damit mein Irrtum besser für Euch zu finden ist
Viele Grüße,
Marc
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:37 So 21.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo nochmal,
eine Skizze ist eigentlich gar nicht nötig.
Ich positioniere die drei Ballons auf den Ecken eines gleichseitigen Dreiecks ABC. Die Größe der Ballons spielt eigentlich keine Rolle, wenn das Dreieck nur groß genug ist. Der Einfachheit halber stelle ich mir hier aber drei gleich große Ballons vor.
Dann gibt es schon mal zwei parallele Ebenen, zusammen mit diesen bilden die drei Ballons so zu sagen ein Sandwich.
Dann gibt es eine (schiefe) Ebene, auf deren einer Seite AB liegen und auf deren anderer Seite C liegt. Spiegelt man diese Ebene an der Ebene, in der das Dreieck liegt, dann gibt es eine zweite solche Ebene, bei der wieder AB auf einer und C auf der anderen Seite liegt.
Ebenso findet man zwei Ebenen für A und BC und zwei Ebenen für AC und B.
Also insgesamt 8.
Was meint ihr?
Irgendetwas sagt mir, dass diese Lösung mit [mm] $2^3$ [/mm] zu tun hat und sich hoffentlich damit begründen läßt...
Viele Grüße,
Marc
Die Skizze ist jetzt nicht so gelungen. Die obere Abb. zeigt die Situation von oben, also die drei auf den Ecken eines gleichseitigen Dreieckes angeordneten Ballons.
Die untere Abb. dann die beiden Ebenen, bei denen jeweils ein Ballon auf der einen und zwei Ballons auf der anderen Seite liegen. Bewegt man sich um 120° um die Anordnung herum, entsteht das gleiche Bild -- wieder zwei Ebenen.
[Dateianhang nicht öffentlich]
Dateianhänge:
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:50 Mo 22.03.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Marc,
okay, jetzt habe ich es doch verstanden. Ich verbessere es gleich.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 03:17 Mo 22.03.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo zusammen,
jetzt eine Skizze, die die Anzahl und die Lagen der Gegenstände sonnenklar macht; die drei Ballons sind in allen acht Zeichnungen dieselben, man schaut immer von oben:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Ein Ballon kann sich entweder oberhalb oder unterhalb einer Ebene befinden, pro Ballon gibt das also 2 Möglichkeiten, macht zusammen mindestens [mm] $2^3=8$ [/mm] Möglichkeiten (da es ja für jede dieser Möglichkeiten auch eine Ebene gibt, die die vorgegebene Lage hat).
Für jede vorgegebene Möglichkeit (sagen wir, Ballon A unten, Ballon B und C oben) ist die Tangentialebene eindeutig bestimmt (d.h., es gibt keine zweite Ebene bei der ebenfalls A unten und B und C oben sind). Also gibt es genau acht Möglichkeiten bzw. genau acht verschiedene Ebenen.
Viele Grüße,
Marc
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: sxd) [nicht öffentlich]
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