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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:26 Mi 12.08.2009 | | Autor: | benjay |
Hallo zusammen,
ich versuche derzeit die Zustandsdichte bzw. aus ihr folgend die Zustandssumme des kanonisches Ensembles in der statistischen Mechanik herzuleiten. Leider habe ich dabei ein paar Probleme, insbesondere mit der Taylor Entwicklung der Anzahl der möglichen Zustände.
Mikrokanonisches System
Man betrachtet ein großes, von der Umgebung isoliertes System welches sich im Thermodynamischen Gleichgewicht befindet. Dieses wird durch ein mikrokanonisches Ensemble beschrieben. Somit ist dieses also durch die Energie [mm] E_{ges} = [E,E + \Delta] [/mm] sein Volumen V und seine Teilchenzahl N beschrieben, wobei [mm] \Delta << E [/mm] gelten soll. Sprich: Das System hat ein festes Volumen, eine feste Teilchenzahl und die Energie ist (bis auf eine kleine Ungenauigkeit) fest.
Frage 1 : Warum wird dieses Enegieintervall gefordert? Liegt es daran, dass das eine realistisches Experiment wiederspiegeln soll, also man eine Messungenauigkeit hat oder hat das z.B. den Grund, dass die Heisenbergsch Unschärferelation gilt oder hat es gar einen ganz anderen Grund?
Betrachtet man nun den Phasenraum dieses Systems, also den Raum, der durch die Orts- und Impulskoordinaten des Systems aufgespannt wird (6N-Dimensionen für N Teilchen) kann man jedem möglichen Zustand des Systems einen Punkt zuordenen und darüber die Boltzmann Entropie definieren:
[mm] S_B := k_B * ln[ B(E) / A] [/mm]
Hierbei ist [mm] k_B [/mm] die Boltzmannkonstante, B(E) Volumen den Energieschale des Systems im Phasenraum und A das Volumen eines Zustands im Phasenraum bzw. eine Normierungskonstante. [mm] B(E) / A [/mm] ist also die Anzahl der Zustände im erlaubten Energieintervall [mm] E_{ges} [/mm].
Kanonisches System
Teilt man das oben beschriebene System nun in zwei Teilsysteme auf, wobei das eine System im Vergleich zum anderen System sehr klein ist, also das großere System als Wärmebad diehnt so wird das ganze System immer noch als mikrokanonisches System beschrieben. Betrachtet man allerdings nur das kleine System so handelt es sich um ein kanonisches System. Dieses darf mit der Umgebung (also dem größeren System) Energie austauschen.
Es gilt hierbei [mm] E_{ges} = E_1 + E_2, E_1<
Ich möchte hierfür die Zustansdichte herleiten!
Man betrachtet dazu das kleine System in einem festen Zustand [mm] (q_1,p_1) [/mm], wobei q,p die verallgemeinerten Orts-/Impulskoordinaten des Systems beschreibt. Mit [mm] (q_1,p_1) [/mm] werden die Zustände aller Teilchen des Systems zusammengefasst.
Dann gilt für die Wahrscheinlichkeitsdichte dieses einen Zustands:
[mm] \rho_1 (q_1 , p_1) \sim W_2(E_2) [/mm]
Hierbei wird berücksichtigt, das ein bestimmter Zustand im System 1 (kleines System) über viele verschiedene Zustände im System 2 realisiert werden kann.
Diese Anzahl der "zulässigen" Zustände des Systems 2 mit Energie [mm] E_2 [/mm] ist [mm] W_2(E_2) [/mm].
Frage 2 : Wieso reicht es einen bestimmten Zustand des Systems 1 zu wählen? Meiner Meinung nach kann das System 1 sowieso nicht auf einer festen Energie definiert werden, da es soetwas wie Fluktuationen gibt, daher denke ich sollte man für die möglichen Zustände [mm] \rho [/mm] eigentlich [mm] W_1(E_1) * W_2(E_2) [/mm] wählen ( Wobei die Energien [mm] E_1,E_2 [/mm] keine fixen Energien sind, sondern mehr ein (sehr kleines) Intervall an möglichen Energien beschreiben.
Nun möchte man die oben erwähnte Funktion Taylor entwickeln. Hierzu benütze ich die folgende Formel:
[mm] f(x) = \summe_{i=0}^{n} {f^{(n)} (x_0) }/ {n!} * (x-x_0)^n [/mm]
Hierbei bezeichnet [mm] {f^{(n)} [/mm] die n-te Ableitung von f und es wird um die Stelle [mm] x_0 [/mm] entwickelt.
In unserem Fall gilt nun:
[mm] f(x) = ln(W_2(E_2)) = ln(E_{ges} - \mathcal{H} _1)[/mm]
[mm] x = E_{ges} - \mathcal{H} _1 [/mm]
[mm] x_0 = \mathcal{H} _1 [/mm]
Hier habe ich statt der Energie [mm] E_1 [/mm] den Hamiltonoperator [mm] \mathcal{H} _1 [/mm] des Systems 1 eingeführt, um zu verdeutlichen, das es sich um eine Energieintervall handelt und nicht um eine feste Energie.
Durch einfaches einsetzen in die Formel für die Taylorentwicklung erhält man:
[mm] ln(W_2(E_2)) \stackrel{E=E_1+E_2}= ln(W_2(E_{ges} - \mathcal{H} _1)) \approx
\underbrace{ln(W_2(E_2)) |_{E_2=\mathcal{H} _1}}_{0. Ordnung}
+ \underbrace{\partial _{E_2} * ln(W_2(E_2)) |_{E_2=\mathcal{H} _1} * (E_2- \mathcal{H} _1})}_{1. Ordnung}
+ \underbrace{\partial^2 _{E_2 } * ln(W_2(E_2)) |_{E_2=\mathcal{H} _1} * (E_2- \mathcal{H} _1)^2}_{2. Ordnung}
+ \underbrace{...}_{hoehere Ordnung}[/mm]
Der Hochstrich mit Index bezeichnet die Auswertung des Terms an beschriebenen Punkt.
Das zeichen [mm] \partial _E [/mm] bezeichnet die partielle Ableitung nach E.
Ich denke diese Notationen sind bekannt.
Frage 3: Diese Ergebnis stimmt offensichtlich nicht mit dem Ergebnis aus der Literatur überein (s.u.). Was mache ich falsch? Falls eine Antwort hierauf zu umfangreich ist freue ich mich auch über Literaturtipps.
Aus der Literatur ist mir das Ergebnis bekannt. Es werden Terme höherer Ordnung vernachlässigt und die Näherung [mm] \mathcal{H} _1 <
Frage 3: Warum dürfen physikalisch Terme höherer Odnung vernachlässigt werden? Dazu habe ich leider kein gutes Argument gefunden.
[mm] ln(W_2(E_2)) = ln(W_2(E_{ges} - \mathcal{H} _1)) \approx
ln(W_2(E_{ges}) - \partial_E_2 * ln(W_2(E_2))|_{E_2 \approx E_{ges}} * \mathcal{H} _1 (q_1,p_1)[/mm]
Ich freue mich, dass du bis hier durchgehalten hast und möchte schon einmal Danke sagen.
Falls du mir jetzt auch noch helfen kannst machst du mich sehr glücklich!
Viele Grüsse,
benjay
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