Kardinalität X^Y < Mengenlehre < Logik+Mengenlehre < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:35 Sa 30.01.2010 | | Autor: | pelzig |
| Aufgabe | | Seien $X,Y$ unendliche Mengen. Unter welchen umständen gilt [mm] $|X^Y|>|X|$? [/mm] ([mm]X^Y[/mm] bezeichnet die Menge [mm] $\operatorname{Abb}(Y,X)$ [/mm] aller Abbildungen von $Y$ nach $X$) |
Hey, speziell interessiert mich die Frage ob [mm] $\IR^I$ [/mm] für überabzählbares $I$ eine größere Mächtigkeit hat als [mm] $\IR$. [/mm] Mein Bauchgefühl sagt, dass das wohl gilt aber mir ist nicht ganz klar warum und wie es im Allgemeinen ist. Ich bin auch nicht an nem rigorosen Beweis interessiert, eine einfache Antwort als Faktum würde mir reichen.
Viele Grüße,
Robert
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:04 Sa 30.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Robert,
vielleicht verrate ich dir hiermit nichts Neues:
Hinreichend für die Gültigkeit der von dir genannte Ungleichung ist die Bedingung [mm] $|Y|\ge|X|$.
[/mm]
Falls man die Kontinuumshypothese annimmt, besitzt [mm] $\IR^I$ [/mm] für überabzählbares $I$ also in jedem Fall größere Kardinalität als [mm] $\IR$.
[/mm]
Auch ich wäre an einer Antwort interessiert, wie sich die Situation ohne Kontinuumshypothese darstellt!
Viele Grüße
Tobias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Sa 30.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
Moin,
es ist eine ziemlich schwierige Aufgabe aus der Mächtigkeit von X und Y die Mächtigkeit von {X->Y} zu bestimmen.
Das Gebiet im Allgemeinen heisst "Kardinalzahlarithmetik" und was du suchst sind die Rechenregeln für die Kardinalzahlexponentiation.
Partielle Antworten auf die Frage findest du z.B. ![[]](/images/popup.gif) in diesem Skript ab Kapitel 3.10 (ab Seite 72 - wirst aber wahrscheinlich noch in den Seiten davor rumblättern müssen wegen der Notation).
Alternativ kannst du dein Glück natürlich auch mit Google versuchen; wobei ich jetzt aber leider nicht weiss, wie das Gebiet auf Englisch heisst.
LG, Alex
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:42 Sa 30.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Ich wollte mich eigentlich nicht durch das Skript durchwühlen... soweit ich das sehe ist die Frage allgemein sehr schwer zu beantworten. Mir reicht aber der Fall [mm] $\IR^I$ [/mm] für überabzählbares $I$.
@tobit09: Was hat das mit der Kontinuumshypothese zu tun?
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:56 Sa 30.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Die Kontinuumshypothese besagt gerade, dass jede überabzählbare Menge schon Kardinalität größer oder gleich der Kardinalität von [mm] $\IR$ [/mm] hat.
Also liefert sie, dass für dein überabzählbares $I$ gilt: [mm] $|I|\ge|\IR|$. [/mm] Somit gilt unter Annahme der Kontinuumshypothese [mm] $|\IR^I|>|\IR|$ [/mm] nach der Bemerkung zu Beginn meines ersten Posts.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:03 Sa 30.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Ah stimmt. Es könnte natürlich sein dass [mm] $|\IN|<|I|<|\IR|$ [/mm] ist, das habe ich glatt übersehen. Ich bin zwar kein Logiker aber ich kann mir ehrlichgesagt nicht vorstellen, dass die Antwort, ob [mm] $|\IR^I|>|\IR|$ [/mm] gilt, von CH abhängt.
Gruß, Robert
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:14 Sa 30.01.2010 | | Autor: | SEcki |
> Ich wollte mich eigentlich nicht durch das Skript
> durchwühlen... soweit ich das sehe ist die Frage allgemein
> sehr schwer zu beantworten. Mir reicht aber der Fall [mm]\IR^I[/mm]
> für überabzählbares [mm]I[/mm].
Es gilt [m]P(I)=Abb(I,\{0,2\})\subset Abb(I,\IR)[/m] (Indikatorfunktionen für die erste Gleichung). Dann hat man [m]|\IR|=|P(\IN)|\le |P(I)|[/m]. Hm, wenn man jetzt aus [m]N
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Sa 30.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
> Hm, wenn man jetzt aus [m]N
> ganz allgemein und schnell [m]P(N)
> man fertig
Könntest du das bitte nochmal genauer ausführen, warum man dann fertig wäre? Auf welche Mengen N und M würdest du das anwenden? Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:07 Sa 30.01.2010 | | Autor: | pelzig |
Wir wissen [mm] $|\IN|<|I|$. [/mm] Wenn daraus [mm] $|P(\IN)|<|P(I)|$ [/mm] folgen würde, so hätte man insgesamt [mm] $|\IR|=|P(\IN)|<|P(I)|\le|\IR^I|$.
[/mm]
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:28 Sa 30.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Ah, danke und sorry, dass ich das übersehen habe!
Bleibt die Frage, ob tatsächlich aus [mm] $|\IN|<|I|$ [/mm] folgt, dass [mm] $|P(\IN)|<|P(I)|$?
[/mm]
Mit der Kontinuumshypothese würde das wieder leicht folgen. Aber das bringt uns ja nicht weiter...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:52 So 31.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
Ich glaube nicht, dass es ohne die Kontinuumshypothese im Allgemeinen folgt (siehe dafür Seite 77 oben, im verlinkten Skript).
LG, Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Sa 30.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
Es gilt immer [mm]| \IR ^{I} | > |I|[/mm] und [mm]| \IR ^{I} | \ge |\IR|[/mm].
Für [mm]|\IR| \ge |I|[/mm] kann man abschätzen [mm]|\IR^{I}| \le |\mathcal{P}(\IR)|[/mm].
Und für [mm]|I| \ge |\IR|[/mm] gilt [mm]|\IR^{I}| = |\mathcal{P}(I)|[/mm].
Aber aus obigem folgt noch nicht aus [mm]|\IN| < |I| < |\IR|[/mm], dass [mm]|\IR^{I}| > |\IR|[/mm] gilt.
Vielleicht folgt es aber auch irgendwie; nur habe ich in dem Skript, welches ich verlinkt habe, nicht weiter danach geschaut.
Unter Annahme der Kontinuumshypothese tritt dieser Fall aber natürlich sowieso nicht auf und die Antwort auf deine Frage steht dann in der ersten und dritten Zeile von dieser Antwort, d.h. [mm]|\IR ^{\IR}| = |\mathcal{P}(\IR)| > |\IR|[/mm].
LG, Alex
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:29 So 31.01.2010 | | Autor: | Merle23 |
Also die endgültige Antwort ist folgende: Es hängt vom Modell von ZFC ab.
Nehmen wir die Kontinuumshypothese (CH) an, so haben wir wirklich [mm]card(\IR^I) > card(\IR)[/mm] für überabzählbares I (was ja dann gerade [mm]card(I) \ge card(\IR)[/mm] bedeutet).
Nehmen wir dagegen das erste nicht-CH Modell von ZFC (konstruiert von Paul Cohen - das war der, der bewies, dass CH nicht aus ZFC herleitbar ist), so haben wir [mm]2^{\aleph_0} = 2^{\aleph_1} = \aleph_2[/mm], wobei [mm]\aleph_{\alpha}[/mm] die [mm]\alpha[/mm]-te Kardinalzahl bezeichnet (unter der Annahme von AC, damit wir die Kardinalzahlen wohlordnen können).
Anders ausgedrückt: Für [mm]card(I) = \aleph_1[/mm] (also [mm]card(\IN) < card(I) < card(\IR)[/mm]) gilt dann [mm]card(\mathcal{P}(\IN)) = card(\mathcal{P}(I)) = card(\IR)[/mm].
Mit der Hausdorff'schen Formel folgt dann [mm]card(\IR^I) = \aleph_2^{\aleph_1} = \aleph_1^{\aleph_1} \odot \aleph_2 = 2^{\aleph_1} \odot \aleph_2 = \aleph_2 \odot \aleph_2 = \aleph_2 = card(\IR)[/mm].
LG, Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:46 So 31.01.2010 | | Autor: | tobit09 |
Super, danke!
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