Kategorien < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei K ein Körper. Wir definieren eine Kategorie C durch:
a) Ein Objekt von C ist ein Tripel (V,W, f: V-->W), wobei V und W endlich-dimensionale K-Vektorräume sind, und f: V-->W eine K-lineare Abbildung ist.
b) Seien [mm] V_{1}, W_{1}, f_{1}: V_{1}-->W_{1}) [/mm] und [mm] (V_{2}, W_{2}, f_{2}: V_{2}-->W_{2}) [/mm] zwei Objekte von C. Ein Morphismus von [mm] V_{1}, W_{1}, f_{1}: V_{1}-->W_{1}) [/mm] nach [mm] (V_{2}, W_{2}, f_{2}: V_{2}-->W_{2}) [/mm] ist ein Paar von K-linearebn Abbildungen (v: [mm] V_{1}--> V_{2}, [/mm] w: [mm] V_{2}--> W_{2}), [/mm] so dass das folgende Diagramm kommutativ ist:
[mm] V_{1}-------->W_{1} [/mm]
[mm] f_{1} [/mm]
v w
[mm] V_{2}--------> W_{2}
[/mm]
[mm] f_{2}
[/mm]
Nach unten gehen auch noch Pfeile, an denen stehen das v und das w, die habe ich nicht hinbekommen
c) Seien [mm] (V_{1}, W_{1}, f_{1}: V_{1}--> W_{1}) [/mm] und [mm] (V_{2}, W_{2}, f_{2}: V_{2}--> W_{2}) [/mm] zwei Objekte von C.
Zeigen Sie:
[mm] (V_{1}, W_{1}, f_{1}: V_{1}--> W_{1}) \cong (V_{2}, W_{2}, f_{2}: V_{2}--> W_{2}) \gdw dim(V_{1})= dim(V_{2}), dim(W_{1})= dim(W_{2}), rk(f_{1})= rk(f_{2}). [/mm] |
Hallo allerseits!
Wir haben in der letzten Vorlesung mit Kategorien angefangen. Dabei ist mir leider kein Licht aufgegangen. Bitte um Erklärung und Ansätze für diese Aufgabe! Danke schonmal an diejenigen, die sich dazu erbarmen ;o)
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:53 Mo 09.04.2007 | | Autor: | comix |
Hallo,
ich sehe keine Aufgabenstellung. Was sollst Du zeigen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:42 Di 10.04.2007 | | Autor: | Monsterzicke |
kannst du mir helfen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:15 Di 10.04.2007 | | Autor: | comix |
Leider kann ich die Aufgabenstellung immer noch nicht erkennen. Du schreibst:
Zeigen Sie:
$ [mm] (V_{1}, W_{1}, f_{1}: V_{1}--> W_{1}) [/mm] $ und $ [mm] (V_{2}, W_{2}, f_{2}: V_{2}--> W_{2}) \gdw dim(V_{1}= dim(V_{2}, dim(W_{1}= dim(W_{2}, rk(f_{1}= rk(f_{2}. [/mm] $
Links steht keine Aussage und rechts sind die Klammern durcheinander. Kannst Du das noch präzisieren?
|
|
|
| |
|
Sorry! Hoffe, jetzt geht es besser. so müsste es auf meinem aufgabenzettel stehen
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Mi 11.04.2007 | | Autor: | comix |
Möglicherweise sollst Du auch zeigen, dass die definierte Kategorie tatsächlich eine ist. Das lass ich hier weg.
Zunächst die Richtung [mm] \Rightarrow:
[/mm]
Wenn zwei Objekte [mm] Ob_{1}:=($ V_{1}, W_{1}, f_{1}: V_{1}-->W_{1}) [/mm] $ und [mm] Ob_{2}:=$ (V_{2}, W_{2}, f_{2}: V_{2}-->W_{2}) [/mm] $ isomorph sind, dann existieren Morphismen [mm] m_{1}:=(v_{1}, w_{1}) [/mm] und [mm] m_{2}:=(v_{2}, w_{2}) [/mm] mit:
[mm] m_{2} \circ m_{1} [/mm] = [mm] 1_{Ob_{1}} [/mm]
[mm] m_{1} \circ m_{2} [/mm] = [mm] 1_{Ob_{2}} [/mm]
wobei [mm] v_{1}: V_{1} \to V_{2} [/mm] und [mm] w_{1}: W_{1} \to $W_{2}$, $v_{2}$: V_{2} \to V_{1} [/mm] und [mm] w_{2}: W_{2} \to W_{1}
[/mm]
Nach Definition von [mm] 1_{Ob_{i}} [/mm] (Identität in Mor [mm] (Ob_{i}, Ob_{i}) [/mm] gilt (wenn es diese Definition nicht gibt, dann musst Du es nachholen):
[mm] v_{2} \circ v_{1} [/mm] = [mm] id_{V_{1}} [/mm] (das ist die Identität im VR [mm] V_{1})
[/mm]
[mm] v_{1} \circ v_{2} [/mm] = [mm] id_{V_{2}}
[/mm]
Das gleiche für die [mm] w_{i}. [/mm] Jetzt haben wir also VR-Isomorphismen und können Schlüsse daraus ziehen.
Die Aussage über die Dimensionen ist dann klar. Für [mm] rk(f_{1}) [/mm] = [mm] rk(f_{2}) [/mm] musst Du wohl die Kommutativität der Diagramme ausnutzen.
Für die andere Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] musst Du den Isomorphimus in der Kategorie "bauen". Dazu nutzt Du aus, dass zwei VR mit gleicher Dimension isomorph sind, d.h. Du nimmst VR-Isomorphismen zwischen den relevanten VR und konstruierst einen Morphismus der Kategorie. Dann zeigst Du, dass der Morphismus ein Isomorphismus ist.
Meine Empfehlung: Male die Diagramme aufs Papier und schau Dir die Definition einer Kategorie nochmal genau an. Prüf dabei auch, ob die hier definierte Kategorie die Axiome erfüllt.
|
|
|
| |
|
Warum ist das mit den Dimensionen denn dann klar???
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:54 Mi 11.04.2007 | | Autor: | comix |
Für endl. dim. Vektorräume [mm] V_{1}, V_{2} [/mm] gilt:
[mm] V_{1} \cong V_{2} \gdw [/mm] dim [mm] (V_{1}) [/mm] = dim [mm] (V_{2})
[/mm]
|
|
|
|
