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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:13 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Mathe88 |
| Aufgabe | Ein hohler Glaskörper besteht aus einer Halbkugel mit dem Radius r, der ein gerader Kreiskegel mit der Höhe h=3r angesetzt ist. (die Maße sind Innenmaße)
a.)In der abgebildeten Lage ist die Halbkugel vollständig mit Wasser gefüllt. Wie hoch steht das Wasser im kegelförmigem Teil, wenn man den Körper auf die Spitze stellt? Wie müsste man die Kegelhöhe (in Abhängigkeit von r) wählen, wenn der kegelförmige Teil vollständig gefüllt sein sollte?
b.)Jetzt wird der auf der SPitze stehende Körper mit Wasser soweit aufgefüllt, dass der kegelförmige Teil vollständig gefüllt ist. wie hoch steht das Wasser, wenn man den Körper wieder in seine ursprüngliche Lage zurücldreht?
c.)Ein Holkegel mit dem Grundkreisradius r und der Mantellinienlänge s rollt (bei festgehaltener Spitze) auf einer ebenen Tischplatte. Nach zwei Drehungen um die Kegelspitze liegt er wieder in seiner Ausgangsposition. Wie groß ist der Öffnungswinkel des Kegels? |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Zu a.) Die Abbildung zeigt einen normalen Kegel (Spitze oben Grundfläche unten) an dessen Grundfläche eine Halbkugel angesetzt ist.
Ich habe versucht die Aufgaben zu lösen doch ich kam immer irgendwann nicht mehr weiter, da ich zwei unbekannte hatte vielleicht kann mir einer helfen, würde mich freuen. Vielen dank im voraus.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:40 Mi 02.04.2008 | | Autor: | B-F-E |
Es ist ja h=3r vorgegeben.
Wenn Du das in die Formel vom Kegel einsetzt, fällt eine unbekannte heraus 
Du stellst dann nach "r" um und kannst damit dann später wieder "h" ausrechnen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:23 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Mathe88 |
ok danke schonma bis dann
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:46 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Jedec |
> Ein hohler Glaskörper besteht aus einer Halbkugel mit dem
> Radius r, der ein gerader Kreiskegel mit der Höhe h=3r
> angesetzt ist. (die Maße sind Innenmaße)
>
> a.)In der abgebildeten Lage ist die Halbkugel vollständig
> mit Wasser gefüllt. Wie hoch steht das Wasser im
> kegelförmigem Teil, wenn man den Körper auf die Spitze
> stellt? Wie müsste man die Kegelhöhe (in Abhängigkeit von
> r) wählen, wenn der kegelförmige Teil vollständig gefüllt
> sein sollte?
>
> b.)Jetzt wird der auf der SPitze stehende Körper mit Wasser
> soweit aufgefüllt, dass der kegelförmige Teil vollständig
> gefüllt ist. wie hoch steht das Wasser, wenn man den Körper
> wieder in seine ursprüngliche Lage zurücldreht?
>
> c.)Ein Holkegel mit dem Grundkreisradius r und der
> Mantellinienlänge s rollt (bei festgehaltener Spitze) auf
> einer ebenen Tischplatte. Nach zwei Drehungen um die
> Kegelspitze liegt er wieder in seiner Ausgangsposition. Wie
> groß ist der Öffnungswinkel des Kegels?
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Zu a.) Die Abbildung zeigt einen normalen Kegel (Spitze
> oben Grundfläche unten) an dessen Grundfläche eine
> Halbkugel angesetzt ist.
>
> Ich habe versucht die Aufgaben zu lösen doch ich kam immer
> irgendwann nicht mehr weiter, da ich zwei unbekannte hatte
> vielleicht kann mir einer helfen, würde mich freuen. Vielen
> dank im voraus.
Für die Volumen brauchst du folgende Formeln:
[mm] V_{Kegel}=\bruch{1}{3}*G*h [/mm] |da der Kegel eine Kreis mit dem Radius r als Grundfläche hat gilt für [mm] G=\pi*r²
[/mm]
[mm] V_{Kegel}=\bruch{1}{3}*\pi*r²*h [/mm] |da h=3r
[mm] V_{Kegel}=\bruch{1}{3}*\pi*r²*3r=\pi*r³
[/mm]
[mm] V_{Halbkugel}=\bruch{1}{2}*\bruch{4}{3}*\pi*r³= \bruch{2}{3}*\pi*r³
[/mm]
a) Der neue Kegel hat natürlich einen anderen Radius -> Strahlensatz
$ [mm] \bruch{r_{1}}{r}=\bruch{h_{1}}{h} [/mm] $
$ [mm] r_{1}=\bruch{r\cdot{}h_{1}}{h} [/mm] $
$ [mm] r_{1}=\bruch{h_{1}}{3} [/mm] $
[mm] V_{Kegel1}=V_{Halbkugel}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{3}*\pi*(\bruch{h_{1}}{3})²*h_{1}= \bruch{2}{3}*\pi*r³ [/mm] |nach [mm] h_{1}³ [/mm] auflösen
[mm] h_{1}³=18*r³
[/mm]
[mm] h_{1}=\wurzel[3]{18}*r [/mm] |da h=3r ist [mm] r=\bruch{h}{3}
[/mm]
[mm] h_{1}=\wurzel[3]{18}*\bruch{h}{3}=\wurzel[3]{\bruch{2}{3}}*h
[/mm]
b) Nach dem Umdrehen befindet sich im Kegel nur noch [mm] V_{Kegel}-V_{Halbkugel} [/mm] Wasser
Also [mm] \pi*r³- \bruch{2}{3}*\pi*r³=\bruch{1}{3}*\pi*r³
[/mm]
Der leere Raum im Kegel hat also das Volumen [mm] \bruch{2}{3}*\pi*r³
[/mm]
Der neue Kegel hat einen neuen Radius, der sich mit dem Strahlensatz berechnen lässt:
$ [mm] \bruch{r_{2}}{r}=\bruch{h_{2}}{h} [/mm] $
$ [mm] r_{2}=\bruch{r\cdot{}h_{2}}{h} [/mm] $
$ [mm] r_{2}=\bruch{h_{2}}{3} [/mm] $
Volumen des Kegel lässt sich berechnen durch [mm] V_{Kegel2}=\bruch{1}{3}*\pi*(\bruch{h_{2}}{3})²*h_{2}
[/mm]
die beiden Formel gleichsetzten ergibt:
[mm] \bruch{1}{3}*\pi*(\bruch{h_{2}}{3})²*h_{2}=\bruch{2}{3}*\pi*r³ [/mm] |nach [mm] h_{2} [/mm] auflösen
[mm] h_{2}³=9*r³ [/mm]
[mm] h_{2}=\wurzel[3]{9}*r [/mm] |hier wieder [mm] r=\bruch{h}{3} [/mm] einsetzten
[mm] h_{2}=\wurzel[3]{9}*\bruch{h}{3}=\wurzel[3]{\bruch{1}{3}}*h
[/mm]
[mm] h_{2} [/mm] ist die Höhe des leeren Raumes im Kegel, also ist der Kegel bis zu [mm] h-h_{2}=(1-\wurzel[3]{\bruch{1}{3}})*h [/mm] gefüllt.
Sry, ich muss jetzt kurz weg, ich mach später weiter...
Ok, also zu c)
Der Kreis der Grundfläche des Kegels ist [mm] 2\pi*r. [/mm] Da sich der Kegel um die Spitze dreht, rollt der Grundkreis auf dem Kreis [mm] 2\pi*s. [/mm] Der Kegel braucht 2 Umdrehungen, um wieder zum Ausgangspunkt zurückzukommen.
Also gilt [mm] 2\pi*s=2*2\pi*r
[/mm]
daraus folgt: [mm] r=\bruch{1}{2}*s
[/mm]
dann [mm] sin\bruch{\alpha}{2}=\bruch{r}{s}=\bruch{\bruch{1}{2}*s}{s}=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] \alpha=60°
[/mm]
Mir fällt grad nicht ein, wie ich des besser erklären könnte, aber versuch dir die Situation mal bildlich vorzustellen.
Ansonsten frag einfach nochmal...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Simon,
> b) Nach dem Umdrehen befindet sich im Kegel nur noch
> [mm]V_{Kegel}-V_{Halbkugel}[/mm] Wasser
> Also [mm]\pi*r³- \bruch{2}{3}*\pi*r³=\bruch{1}{3}*\pi*r³[/mm]
> Der
> leere Raum im Kegel hat also das Volumen
> [mm]\bruch{2}{3}*\pi*r³[/mm]
> dieser Raum hat das Volumen
> [mm]V_{Kegel2}=\bruch{1}{3}*\pi*r²*h_{2}[/mm]
Der Kegel2 hat leider nicht den Gleichen Radius wie der ursprüngliche Kegel!
Viele Grüße,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:45 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Mathe88 |
ja das stimmt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Jedec |
Richtig.
Den neuen Radius kann man mit dem Strahlensatz berechnen:
[mm] \bruch{r_{2}}{r}=\bruch{h_{2}}{h}
[/mm]
[mm] r_{2}=\bruch{r*h_{2}}{h}
[/mm]
da h=3*r:
[mm] r_{2}=\bruch{h_{2}}{3}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:04 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Jedec |
So, hab' den Fehler jetzt noch ausgebessert, aber das Ergebnis is jetzt leider nichmehr so schön.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Leute |
ich hab noch n comment zu aufgabe c.) gepostet kannstedir ja ma durchlesen wenn du noch zeit und lust hast ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:19 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Jedec |
> ich hab noch n comment zu aufgabe c.) gepostet kannstedir
> ja ma durchlesen wenn du noch zeit und lust hast ;)
??? Ich finde deinen Comment nicht :D
Des war doch dein erster Post zu dem Thema...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:45 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Mathe88 |
muss man bei a.) nicht auch den strahlensatz anwenden da "r" des kegels an der spitze anders ist als das vorgegebene "r"
und bei c.) hast du gerechnet dass der kegel sich einmal um die eigene achse dreht aber er dreht sich zweimal um die eigene achse
trotzdem vielen dank
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:50 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Jedec |
Du hast Recht, in a) braucht man auch den Strahlensatz...
In c) hab' 1 geschrieben, aber 2 gerechnet, hab' ich schon ausgebessert...
Heute ist nicht mein Tag...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:54 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Mathe88 |
kein problem
nobody's perfect ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:58 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Jedec |
So, auch noch ausgebessert...
Somit war fast alles falsch, was ich am Anfang geschrieben hatte...
Ich geh' jetzt ins Bett, je früher dieser Tag aufhört, desto besser...
Und außerdem schreibe ich morgen Deutsch-Abi, is ausgeschlafen glaub ich besser...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:00 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Mathe88 |
gut dann nochma vielen dank gute nacht und viel glück für morgen :)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:46 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Leute |
sry hab mich vertan ich meinte nich gepostet sondern gesehen xD
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:01 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Mathe88 |
ok schonma vielen dank wenn ich noch fragen hab schreib ich diehier rein
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 18:11 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Andi |
Hallo Simon,
besser doch bei Teilaufgabe b) deinen Fehler noch aus.
Es wäre schade um die schöne Antwort!
Viele Grüße,
Andi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:19 Mi 02.04.2008 | | Autor: | Mathe88 |
Ich glaube aber dass du einen Fehler gemacht hast, da der Radius des kleinen Kegels nicht der gleiche ist wie der des Großen wie Andi gesagt hatte
unter a.) in der ersten Zeile in der du dann nach h auflöst
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