Kegel im Kegel < Extremwertprobleme < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:40 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Einem Kegel (Radius R und Höhe H seien gegeben) soll ein weiterer Kegel mit dem Radius r und der Höhe h so eibeschrieben werden,dass seine Spitze im Grundkreis mittelpunkt des ersten Kegels liegt.Wie sind r und h zu wählen,damit das Volumen des einbeschriebenen kegels maximal wird?
[Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo^^
ich bins wieder,mit ner neuen Extremwertaufgabe,bei der ich aber leider keinen richtigen Ansatz finde.
Also da R und H gegeben sein sollen,hab ich mir einfach Zahlen ausgedacht:
R=5 H=10
[mm] HB:V=\bruch{1}{3}\pi*r^{2}h
[/mm]
V des äußeren Kegel ist 261,8 [mm] cm^{3}
[/mm]
Ich könnte jetzt noch die Seitenlänge S des äußeren Kegel berechnen mit [mm] S^{2}=R^{2}+H^{2}.Aber [/mm] das hilft mir ja nicht weiter ,um ein Maß des ineren Kegel herauszufinden.
Kann mir jemand helfen ? ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:42 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Hier ist aber schon eine allgemeine Lösung für $R_$ und $H_$ gesucht (also ohne konkrete Zahlenwerte).
Für die Nebenbedingung solltest Du Dir mal eine Skizze mit einem Querschnitt in Kegelmitte (entlang der Höhe) machen. Dann kannst Du nämlich einen Strahlensatz anwenden.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Also ne Skizze hab ich jetzt,könnte man dann [mm] \bruch{H}{R}=\bruch{h}{R} [/mm] rechnen???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Mandy!
Das stimmt nicht. Wie kommst Du darauf?
Ich erhalte z.B.: [mm] $\bruch{r}{H-h} [/mm] \ = \ [mm] \bruch{R}{H}$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:53 Fr 02.05.2008 | | Autor: | Mandy_90 |
Ich hab nochmal ins Bild eingezeichnet,wie ich auf meine Formel gekommen bin,wenn das aber nicht stimmt,hab ich wahrscheinlich den Strahlensatz irgendwie falsch verstanden.
Aber ich versteh noch nicht wie du auf deine Formel gekommen bist?
Hab mir den Strahlensatz zwar nochmal angeschaut aber kanns nicht nachvollziehen
[Dateianhang nicht öffentlich]
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Anhang Nr. 1 (Typ: doc) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 Fr 02.05.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Hier hast du mal besagten Querschnitt.
[Dateianhang nicht öffentlich]
H und r sind die Parallelen, die Spitze das gegebenen Kegels das Zentrum.
Dann kommst du auf [mm] \bruch{r}{H-h}=\bruch{R}{H}
[/mm]
[mm] \Rightarrow r=\bruch{R(H-h)}{H}=R-\bruch{Rh}{H}
[/mm]
Oder alternativ [mm] \bruch{r}{H-h}=\bruch{R}{H}
[/mm]
[mm] \Rightarrow h=H-\bruch{Hr}{R}, [/mm] was einfacher ist, wenn du es in
[mm] V=\bruch{1}{3}*\pi*r²*h [/mm] einsetzt.
Also entweder:
[mm] V(r)=\bruch{1}{3}*\pi*r²*(H-\bruch{Hr}{R})
[/mm]
oder [mm] V(h)=\bruch{1}{3}*\pi*\left(R-\bruch{Rh}{H}\right)^{2}*h
[/mm]
Von einer der beiden Funktionen suchst du jetzt das Maximum.
Marius
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:21 Mo 12.05.2014 | | Autor: | Laura253 |
Könntest du mir sagen wie diese Aufgabe weitergerechnet wird, insebsondere wie die Ableitungsfunktionen lauten?> Hallo
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Hi,
du hast nun also die Funktion
[mm] V(h)=\bruch{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}\left(R-\bruch{Rh}{H}\right)^{2}\cdot{}h
[/mm]
zu betrachten. Schüler kommen meist mehr damit zurecht, wenn man die Funktion wie üblich als f(x) schreibt. Demnach hätten wir
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}\cdot{}\pi\cdot{}\left(R-\bruch{Rx}{H}\right)^{2}\cdot{}x
[/mm]
Wir suchen das Extremum. Wir benötigen also die Ableitung und müssen sie Null setzen.
Es ist nun mit Hilfe der Produktregel:
[mm] f'(x)=\bruch{\pi}{3}\left(\left(R-\bruch{Rx}{H}\right)^{2}-\frac{2Rx\left(R-\frac{R x}{H}\right)}{H}\right)
[/mm]
Das lässt sich noch umschreiben in:
[mm] f'(x)=\frac{\pi{R^2}(H-3x)(H-x)}{3H^2}
[/mm]
Nun sind die [mm] x\in\IR [/mm] zu berechnen, sodass f'(x)=0. Das wäre nun dein Job.
Liebe Grüße
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