Kegel zusammenziehbar < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:04 Do 24.12.2015 | | Autor: | Laura22 |
Frohes Fest euch allen!
Ich habe eine Frage, auf die ich zwar im Internet eine Antwort gefunden habe, diese aber nicht verstanden habe: Und zwar ist der Kegel [mm] CX:=X\times[0,1]/X\times\{0\} [/mm] zusammenziehbar. Rein anschaulich ist klar, dass man ihn mittels linearer Abbildungen auf die Spitze, nenne sie s, zusammenziehen kann. Wie formuliert man diese Homotopie nun? Kann man da nicht einfach H(x,t):=ts + (1-t)x, x [mm] \in [/mm] X, t [mm] \in [/mm] [0,1] hinschreiben? Das ist eine stetige Abbildung und es gilt H(x,0)= x und H(x,1)=s. Man müsste dann doch noch zeigen, dass für alle t und alle x [mm] \in [/mm] CX [mm] H_t(x)=ts [/mm] + (1-t)x [mm] \in [/mm] CX gilt, oder? Und genau das sehe ich nicht einfach so (klar CX ist anschaulich eine konvexe Menge, aber auch Konvexität müsste ich ja erst einmal zeigen)...
Was meint ihr dazu? Ich bedanke mich schon mal im Voraus!
Viele Grüße,
Laura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:13 Do 24.12.2015 | | Autor: | Laura22 |
Ok, ich habe jetzt noch ein wenig gesucht und sooo einfach wie ich mir dachte geht das wirklich nicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:35 Fr 25.12.2015 | | Autor: | Ladon |
Hallo Laura,
versuch es mal mit
[mm] $$H\colon CX\times I\to CX,\quad [/mm] H([x,s],t)=[x,(1-t)s+t].$$
Dann ist $H([x,s],0)=[x,s]$ und $H((x,s),1)=[x,1]$. Jetzt ist zwar die Spitze des Kegels bei mir $(x,1)$ und nicht $(x,0)$, aber offenbar sind [mm] $X\times I/X\times \{0\}\cong X\times I/X\times \{1\}$ [/mm] homöomorph und jeder zu einem zusammenziehbaren Raum homöomorphe Raum ist zusammenziehbar.
MfG
Ladon
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:59 Sa 26.12.2015 | | Autor: | Laura22 |
Hey,
danke sehr! :) Genau die Abbildung habe ich im Internet auch schon mal gefunden (gibt genau die Idee wieder, beliebige Punkte linear auf die Spitze zurückzuziehen) und es war mir erst mal nicht klar, warum sie überhaupt stetig ist. Ich habe zunächst eine (stetige) Abbildung
G:(X [mm] \times I)\times [/mm] I [mm] \to [/mm] X [mm] \times [/mm] I über ((x,s),t) [mm] \mapsto [/mm] (x,(1-t)s) definiert und dann mit der Quotientenabbildung [mm] \pi:X \times [/mm] I [mm] \to [/mm] CX komponiert:
[mm] \pi \circ [/mm] G:(X [mm] \times [/mm] I) [mm] \times [/mm] I [mm] \to [/mm] CX ist als Komposition stetiger Abb. stetig und erweitert zu der gesuchten Homotopie H, die du oben angegeben hast durch Übergang zum Quotienten CX [mm] \times [/mm] I. Man muss sich an der Stelle dann nur noch überlegen, dass H auch wirklich wohldefiniert ist und das ist es, weil alle Punkte X [mm] \times \{1\} [/mm] zu einem Punkt zusammengeschlagen werden.
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