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| Aufgabe | Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung [mm] x^2=-4*y [/mm] .
Geben Sie den Fokus dieser Parabel an |
Hallo,
bin im Moment in der Wiederholungszeit für meine Klausuren, die am 10.Mai beginnen. Da stieß ich mal wieder auf die von mir geliebten Kegelschnitte...
Für eine Ellipse kann ich ja prinzipiell relativ fix die foci angeben, das sind bei der gleichung [mm] \bruch{x^2}{a^2}+\bruch{y^2}{b^2}=1 [/mm] die Punkte [mm] P_1(a*e,0) [/mm] und [mm] P_2 [/mm] (-a*e,0) vorausgesetzt der Mittelpunkt der ellipse ist der Ursprung.
Wie stelle ich das jetzt für eine Parabel an, die allgemeine Gleichung wurde bei uns definiert als [mm] x_2=\alpha*x_1^2+\beta (\alpha>0) [/mm] .
Kann ich aus dieser Gleichung schnell den Fokus ablesen ? Muss ich da mit der Fokus-Direktrix-Gleichung arbeiten ? also |x-p|=e*abst(x,L) wobei p der fokus, e die Exzentrizität und L die Direktrix ist? Ich meine die Exzentrizität ist ja für eine Parabel =1 , hilft mir das hier weiter ?
Wie funktioniert das ganze denn dann bsp für eine Hyperbel ? Bin mir da immer etwas unsicher...
Lg
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Do 29.04.2010 | | Autor: | Pappus |
> Gegeben ist eine Parabel mit der Gleichung [mm]x^2=-4*y[/mm] .
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> Geben Sie den Fokus dieser Parabel an
> Hallo,
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> bin im Moment in der Wiederholungszeit für meine
> Klausuren, die am 10.Mai beginnen. Da stieß ich mal wieder
> auf die von mir geliebten Kegelschnitte...
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...
Hallo,
da Du in England wohnst(?) gebe ich Dir die allgemeine Parabelgleichung mit Achse parallel zu der y-Achse an, wie sie im angelsächsischen Raum benutzt wird:
[mm]4p(y-y_0) = (x-x_0)^2[/mm] wobei p den Abstand vom Scheitel zum Brennpunkt darstellt und [mm](x_0 , y_0)[/mm] die Koordinaten des Scheitelpunktes sind.
Übertrage diese Gleichung auf die gegebene Parabelgleichung:
Bestimme die Koordinaten des Scheitelpunktes.
Bestimme den Abstand zwischen Scheitel und Brennpunkt.
Zur Kontrolle: Die Koordinaten des Brennpunktes sind ganzzahlig.
LG
Pappus
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Hallo,
danke für deine Antwort. Ja, ich lebe in England und habe hier im letzten September mein Mathematik-Studium aufgenommen. Die Form der Gleichung wie du sie verwendet hast, ist mir trotzdem nicht bekannt, kannte bisher nur die von mir oben genannte.
Zurück zur Aufgabe:
gegeben ist also [mm] 4*p(y-y_0)=(x-x_0)^2 \Rightarrow y=\bruch{1}{4p}*x^2-\bruch{x_0}{2*p}*x+x_0^2+y_0
[/mm]
Meine gegebene Gleichung sagt mir [mm] y=\bruch{-1}{4}*x^2 [/mm] , daraus schließe ich also nach Koeffizientenvergleich, dass
[mm] \bruch{-1}{4}*x^2=\bruch{1}{4p}x^2-\bruch{x_0}{2*p}*x+x_0^2+y_0
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{x_0}{2*p}=0 [/mm] sowie [mm] \bruch{1}{4p}=\bruch{-1}{4}\Rightarrow [/mm] p=-1 sowie [mm] x_0=y_0=0 [/mm] .
Das ist ja schonmal nicht schlecht, geht es aber nicht über die geometrische Interpretation etwas allgemeiner und eleganter, das hier ist doch recht stupide und nimmt mehr Zeit in Anspruch, als die Aufgabe vermuten lässt, vor allem weil das wirklich nur - laut Professor - eine schnelle Punktesammelaufgabe ist?!
Lg
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(Antwort) fertig | | Datum: | 07:40 Fr 30.04.2010 | | Autor: | Pappus |
Guten Morgen!
> ... sowie
> [mm]\bruch{1}{4p}=\bruch{-1}{4}\Rightarrow[/mm] p=-1 sowie [mm]x_0=y_0=0[/mm]
> .
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> Das ist ja schonmal nicht schlecht, geht es aber nicht
> über die geometrische Interpretation etwas allgemeiner und
> eleganter, das hier ist doch recht stupide und nimmt mehr
> Zeit in Anspruch, als die Aufgabe vermuten lässt, vor
> allem weil das wirklich nur - laut Professor - eine
> schnelle Punktesammelaufgabe ist?!
>
> Lg
1. Die von Dir gegebene allgemeine Parabelgleichung
$ [mm] x_2=\alpha\cdot{}x_1^2+\beta (\alpha>0) [/mm] $
ist in Wirklichkeit sehr speziell:
- die [mm]x_2[/mm]-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel
- der Scheitelpunkt hat die Koordinaten $ V(0, [mm] \beta) [/mm] $
- der Brennpunkt hat deshalb die Koordinaten $ [mm] F\left(0,\, \beta+\frac{\alpha}{4}\right) [/mm] $
2. Wenn also tatsächlich die von Dir gegebene Gleichung zu Grunde gelegt wird, ist der Rechenaufwand minimal.
... weiterhin viel Erfolg!
LG
Pappus
PS.: Falls Du irgendwann einmal Hilfe in Mathe auf Englisch brauchst, sieh Dir dieses Forum einmal an: www.mathhelpforum.com
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