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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:05 Fr 07.03.2014 | | Autor: | Bindl |
| Aufgabe | Transformieren Sie die Kegelschnittgleichung
[mm] 4x_1x_2 [/mm] + [mm] 4\wurzel{2}x_1 [/mm] - 6 = 0
auf Normalform und skizzieren Sie den Kegelschnitt im gedrehten und verschobenen Koordinatensystem. |
Hi zusammen,
ich schreibe erstmal auf was ich habe und stelle dann meine Frage.
A = [mm] \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 0
\end{pmatrix} [/mm] b = [mm] \begin{pmatrix} 4\wurzel{2} \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] c = -6
Zu A) habe ich eine Frage. Die 2er ergeben sich aus [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * 4, oder ?
Jetzt berechne ich die Eigenwerte von A:
det(A - [mm] \lambda [/mm] E)
[mm] \begin{vmatrix}
-\lambda & 2 \\
2 & -\lambda
\end{vmatrix} [/mm] = [mm] \lambda^2 [/mm] - 4 [mm] \lambda_1 [/mm] = 2 [mm] \lambda_2 [/mm] = -2
Jetzt die Eigenvektoren:
[mm] \lambda_1 [/mm] = 2 [mm] \begin{pmatrix}
-2 & 2 & | 0 \\
2 & -2 & | 0
\end{pmatrix} [/mm] -> [mm] x_1=x_2
[/mm]
[mm] V_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} (1,1)^T
[/mm]
[mm] \lambda_2 [/mm] = -2 [mm] \begin{pmatrix}
2 & 2 & | 0 \\
2 & 2 & | 0
\end{pmatrix} [/mm] -> [mm] x_1=-x_2
[/mm]
[mm] V_1 [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} (-1,1)^T
[/mm]
Jetzt meine eigentliche Frage:
Wieso ist -1 an der ersten Stelle, also an der vermeintlichen [mm] x_1 [/mm] Stelle?
Hier könnte man ja auch [mm] -x_1=x_2 [/mm] schreiben, aber ich habe noch eine Beispiel.
Da ist es [mm] x_2=2x_1 [/mm] und der Eigenvektor ist [mm] \bruch{1}{\wurzel{5}} (1,2)^T.
[/mm]
Kann mir das jemand erklären ?
Danke für die Hilfe im voraus
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Hallo Bindl,
> Transformieren Sie die Kegelschnittgleichung
>
> [mm]4x_1x_2[/mm] + [mm]4\wurzel{2}x_1[/mm] - 6 = 0
>
> auf Normalform und skizzieren Sie den Kegelschnitt im
> gedrehten und verschobenen Koordinatensystem.
> Hi zusammen,
> ich schreibe erstmal auf was ich habe und stelle dann
> meine Frage.
>
> A = [mm] \begin{pmatrix}
0 & 2 \\
2 & 0
\end{pmatrix}[/mm] b = [mm]\begin{pmatrix} 4\wurzel{2} \\ 0 \end{pmatrix}[/mm]
> c = -6
>
> Zu A) habe ich eine Frage. Die 2er ergeben sich aus
> [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * 4, oder ?
>
> Jetzt berechne ich die Eigenwerte von A:
> det(A - [mm]\lambda[/mm] E)
> [mm]\begin{vmatrix}
-\lambda & 2 \\
2 & -\lambda
\end{vmatrix}[/mm] = [mm]\lambda^2[/mm] -
> 4 [mm]\lambda_1[/mm] = 2 [mm]\lambda_2[/mm] = -2
>
> Jetzt die Eigenvektoren:
> [mm]\lambda_1[/mm] = 2 [mm]\begin{pmatrix}
-2 & 2 & | 0 \\
2 & -2 & | 0
\end{pmatrix}[/mm] -> [mm]x_1=x_2[/mm]
> [mm]V_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} (1,1)^T[/mm]
>
> [mm]\lambda_2[/mm] = -2 [mm]\begin{pmatrix}
2 & 2 & | 0 \\
2 & 2 & | 0
\end{pmatrix}[/mm] -> [mm]x_1=-x_2[/mm]
> [mm]V_1[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} (-1,1)^T[/mm]
>
> Jetzt meine eigentliche Frage:
> Wieso ist -1 an der ersten Stelle, also an der
> vermeintlichen [mm]x_1[/mm] Stelle?
Nun, damit erhält man ein Rechtssysytem,
d.h schreibt man die Eigenvektoren so in eine Matrix:
[mm]\pmat{\bruch{1}{\wurzel{2}} & -\bruch{1}{\wurzel{2}} \\ \bruch{1}{\wurzel{2}} & \bruch{1}{\wurzel{2}}}[/mm]
dann ist die Determinante dieser Matrix größer 0,
was gleichbedeutend mit einem Rechtssystem ist.
> Hier könnte man ja auch [mm]-x_1=x_2[/mm] schreiben, aber ich habe
> noch eine Beispiel.
> Da ist es [mm]x_2=2x_1[/mm] und der Eigenvektor ist
> [mm]\bruch{1}{\wurzel{5}} (1,2)^T.[/mm]
>
> Kann mir das jemand erklären ?
>
> Danke für die Hilfe im voraus
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:58 Fr 07.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für die Erklärung.
Nun bekomme ich die Transformationsmatrix:
V = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
[mm] V^{-1} [/mm] = [mm] V^T [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}
[/mm]
Soweit kann ich alles nachvollziehen.
Jetzt wird es für mich nicht mehr all zu klar.
[mm] x^T [/mm] Ax + [mm] b^T [/mm] x - 6 = 0
[mm] y^T \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & -2
\end{pmatrix} [/mm] + [mm] b^T [/mm] Vy - 6 = 0
Wie kommt hier zu [mm] \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & -2
\end{pmatrix} [/mm] ?
[mm] 2y_1^2 [/mm] - [mm] 2y_2^2 [/mm] + [mm] 4y_1 [/mm] - [mm] 4y_2 [/mm] - 6 = 0
Die 2 & -2 ergeben sich ja aus meiner Frage.
Die 4 & -4 sind mir jedoch auch nicht so wirklich klar.
Ergibt sich das aus b= [mm] (4\wurzel{2},0)^T [/mm] * V ?
Das würde ja hinkommen, da [mm] b^T=b [/mm] bleibt, oder ?
Danke für die Hilfe
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Hallo Bindl,
> Hi,
> danke für die Erklärung.
>
> Nun bekomme ich die Transformationsmatrix:
> V = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
> [mm]V^{-1}[/mm] = [mm]V^T[/mm] = [mm]\bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix}
1 & 1 \\
-1 & 1
\end{pmatrix}[/mm]
>
Die Inverse vpn V benötigst Du hier nicht.
> Soweit kann ich alles nachvollziehen.
> Jetzt wird es für mich nicht mehr all zu klar.
>
> [mm]x^T[/mm] Ax + [mm]b^T[/mm] x - 6 = 0
>
> [mm]y^T \bruch{1}{\wurzel{2}} \begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
> + [mm]b^T[/mm] Vy - 6 = 0
>
> Wie kommt hier zu [mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & -2
\end{pmatrix}[/mm] ?
>
Nun, auf x hast Du die Transformation x=Vy angewendet.
Das ergibt dann:
[mm]\left(Vy\right)^{T}A\left(Vy\right)=y^{T}V^{T}AVy=y^{T]\left(V^{T}AV\right)y[/mm]
Die Matrix
[mm]\begin{pmatrix}
2 & 0 \\
0 & -2
\end{pmatrix}[/mm]
ergibt sich gemäß [mm]V^{T}AV[/mm]
> [mm]2y_1^2[/mm] - [mm]2y_2^2[/mm] + [mm]4y_1[/mm] - [mm]4y_2[/mm] - 6 = 0
>
> Die 2 & -2 ergeben sich ja aus meiner Frage.
> Die 4 & -4 sind mir jedoch auch nicht so wirklich klar.
Dieser Vektor ergibt sich nach der Transformation
durch die Berechung von [mm]b^{T}V[/mm].
> Ergibt sich das aus b= [mm](4\wurzel{2},0)^T[/mm] * V ?
> Das würde ja hinkommen, da [mm]b^T=b[/mm] bleibt, oder ?
>
Nein, das bleib nicht.
> Danke für die Hilfe
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:07 Fr 07.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Hi,
danke für die Erklärung.
Komme nun endlich auch auf die Lösung.
Nun habe ich noch eine Frage.
Kann man nicht schon an den Eigenwerten sehen ob es sich um eine Elippse oder so handelt ?
Hier um eine Hyperbel, da [mm] \lambda_1 [/mm] positiv und [mm] \lambda_2 [/mm] negativ ist.
Stimmt das ?
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Hallo Bindl,
> Hi,
> danke für die Erklärung.
> Komme nun endlich auch auf die Lösung.
>
> Nun habe ich noch eine Frage.
> Kann man nicht schon an den Eigenwerten sehen ob es sich
> um eine Elippse oder so handelt ?
>
In der Tat, kann man dies schon an den Eigenwerten erkennen.
> Hier um eine Hyperbel, da [mm]\lambda_1[/mm] positiv und [mm]\lambda_2[/mm]
> negativ ist.
>
> Stimmt das ?
Ja.
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Fr 07.03.2014 | | Autor: | Bindl |
Ok,
danke für die Hilfe zum Thema Kegelschnittgleichungen.
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