Kein Homöomorphismus < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:18 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
| Aufgabe | Wir betrachten die folgenden drei Teilmengen der euklidischen Ebene:
$ [mm] P=\left\{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in E^2 | y=x^2\right\} [/mm] $
$ [mm] E=\left\{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in E^2 | x^2+2y^2=1 \right\} [/mm] $ und
$ [mm] H=\left\{\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} \in E^2 | xy=1 \right\} [/mm] $
Zeigen Sie, dass keine zwei dieser Mengen homöomorph sind. (Zwei Mengen A und B sind homöomorph wenn es eine stetige Bijektion [mm]\varphi:A \to B[/mm] gibt,so dass auch [mm]\varphi^{-1}[/mm] stetig ist. |
Das ist mal wieder eine dieser Aufgaben,die ich überhaupt nicht kann ![[verwirrt]](/images/smileys/verwirrt.gif "[verwirrt]") Finde die Aufgabe für LinA auch ein bisschen komisch, irgendwie erinnert sie mich mehr an Analysis.
Für Hilfe jeglicher Art wäre ich daher sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:39 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ja, die Aufgabe gehört eigentlich eher in die Analysis-Sparte.
Zur Aufgabe: Wie die Mengen alle aussehen, weißt du ja sicher. Ansonsten skizziere mal alle. Nun brauchst du im Prinzip ein paar Eigenschaften stetiger Abbildungen. Für stetige Abbildungen gilt z.B.:
Das Bild einer kompakten Menge ist wieder kompakt.
Das Bild einer zusammenhängenden Menge ist zusammenhängend.
Jetzt schau mal, ob deine Mengen kompakt/zusammenhängend sind.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:37 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Sujentha |
Ja,wie die Mengen aussehen,weiß ich. P ist eine Parabel, E eine Ellipse und H eine Hyperbel.
Zur Parabel:[mm]\lim_{x \to \infty}x^2=\infty[/mm], somit kann die Menge ja schon nicht mehr kompakt sein,da sie nicht beschränkt ist.
Die Hyperbel kann man auch als [mm]y=\bruch{1}{x}[/mm] aufschreiben und sie ist nicht zusammenhängend,da eine Menge genau dann zusammenhängend ist wenn sie ein Intervall ist. Die Hyperbel ist aber für x=0 nicht definiert, wir erhalten also zwei Intervalle, ein positives und ein negatives,welche kein Element gemeinsam haben.
Die Ellipse hab ich zu
[mm]y=\begin{cases}\wurzel{\bruch{1-x^2}{2}\\-\wurzel{\bruch{1-x^2}{2}\end{cases}}[/mm] umgeschrieben,weiß allerdings nicht wie ich hier argumentieren soll...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Fr 07.01.2011 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Ok, also du weißt:
P ist nicht kompakt und zusammenhängend.
E ist kompakt und zusammenhängend.
H ist weder kompakt, noch zusammenhängend.
Daraus folgt insgesamt, dass zwischen je 2 Mengen kein Homöomorphismus gefunden werden kann.
Denn gäbe es z.B. zwischen E und H einen Homöomorphismus $f: [mm] E\rightarrow [/mm] H$, so müsste, weil f stetig ist, f(E) kompakt und zusammenhängend sein. Weil f aber auch bijektiv (also insbesondere surjektiv) ist, muss f(E)=H sein. Jetzt ist aber H weder kompakt, noch zusammenhängend, daher kann es so ein f nicht geben.
Die anderen 2 Sachen, also mit (P,E) und (P,H), folgen analog.
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