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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:17 So 12.02.2006 | | Autor: | Becks |
| Aufgabe | | Was ist ein Kern? |
Hallo zusammen! :)
Ich habe noch eine Frage:
Ich habe einen Homomorphismus f: G -> H zwischen den Gruppen G und H.
Das Bild im f = { f(g) | g [mm] \in [/mm] G} ist eine Untergruppe von H, und der sogenannte Kern ker f = [mm] f^{-1}(1) [/mm] = { g [mm] \in [/mm] G | f(g) = 1} ist eine Untergruppe.
Hmm, kann mir einen von euch vielleicht besser erklären, was der Kern nun ist. Vielleicht auch wieder mit einem Beispiel.
Ich saß mit nem Komilitonen schon dran, aber bei uns im Skript sind manche Definitionen so abstrakt, da blicken wir noch nich so durch. :)
Wäre klasse!
MFG
Becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:13 So 12.02.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
der Kern ist erstmal nichts anderes als die definition sagt : es sind diejenigen Elemente AUS G (also eine Untergruppe von G nicht H) , die auf das neutrale Element abgebildet werden.
Es sind also diejenigen Elemente, die den Homomorphismus nicht injektiv werden lassen, denn sein mal k aus dem Kern, dann ist ja
$f(g)=f(g)*1=f(g)*f(k)=f(g*k)$
wenn jetzt also k ungleich 1 ist, dann ist g*k echt unterschiedlich von g, oder?
(hier muss man evtl nochmal aufpassen, wie das bei Gruppen genau aussieht)
Später bei Vektorräumen hat der Kern eine wichtigere Rolle, aber im Prinzip dieselbe Definition..
viele Grüße
DaMenge
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Hallo Becks,
anfangs dauert es immer ein wenig in der linearen Algebra den Durchblick zu bekommen oder zu bewahren, dafür, wenn man ihn einmal hat, ist er wie eingebrannt  )
Also, daMenge hat es schon sehr schön erklärt, nachdem du die Frage als halb-beantwortet markiert hast, schreib ich jetzt noch was dazu:
also du hast einen Homomorphismus, das heißt es handelt sich um lineare Abbildungen.
Du weißt wahrscheinlich, das Linearität sich auf die innere und äußere Verknüpfung bezieht (also Addition und Skalarmuliplikation) und bedeutet, dass es z.B: gleichgültig ist, ob ich zwei Elemente der einen Menge zuerst addiere und dann ihre Summe abbilde, oder ob ich sie erst abbilde und dann ihre Bilder addiere.
das nur einmal Vorweg.
in linAlg arbeitet man sich von unten hoch und man sieht erst späte wofür die ganzen Dinge eigentlich nützlich sind, so auch der Kern.
So der Kern ist wieder eine Menge, jene Menge in der alle Elemente sind, die auf das neutrale Element abgebildet werden (das hat daMenge eh auch schon gesagt).
ich geb dir ein einfaches Beispiel:
stell dir das zweidimensionale Koordinatensystem vor.
und jetzt definieren wir eine Abbildung f: [mm] \IR² \to \IR²
[/mm]
mit (x,y) [mm] \mapsto [/mm] (x-y, y-x)
also jedem geordnetem Paar z.B. einem Vektor wird wieder ein Vektor zugeordnet.
Jetzt denk dir ein gerade die genau im 45° winkel durch den ersten Quadranten geht, das heißt die Punkte (1,1), (2/2), (3,3), etc..... liegen auf dieser Geraden, wenn du diese Gerade abbildest,
hast du laut Abbildungsvorschrift immer 1-1; 2-2, 3-3 etc.. da kommt also immer Null raus.
Im Vektorraum ist Null das neutrale Elemtent bezüglich der Addition. das Heisst die Gerade liegt im Kern. Der kern isr ja jene Menge von Elementen die in das neutrale Element abgebildet werden.
so bei der Gruppe ist das neutrale Element eins.
ich hoffe dir geholfen zu haben
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