Kern, Bild, Dimension, Basis < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:59 So 13.01.2008 | | Autor: | Feroxa |
| Aufgabe | 1. Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und [mm] \phi [/mm] : v --> V eine lineare Abbildung. Untersuchen Sie, ob V = Kern [mm] \phi \oplus [/mm] Im [mm] \phi [/mm] gilt.
2. Sei [mm] \varphi [/mm] : [mm] \IR² [/mm] --> [mm] \IR³ [/mm] die lineare Abbildung mit [mm] \varphi [/mm] ((x,y)) = (x-y, y-x. x).
Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von Kern [mm] \varphi [/mm] und Im [mm] \varphi. [/mm] |
Also bei erstens hat mir schon jemand geholfen ,die Lösung versteh ich allerdings nicht. Die war:
Kern [mm] \phi [/mm] = Menge aller Konstanten (V = [mm] P(\IR)
[/mm]
Im [mm] \phi [/mm] = Menge aller Abbildungen
Dann ist V={ [mm] \phi [/mm] / [mm] \phi \in P(\IR) \wedge [/mm] deg [mm] \le [/mm] 5 }
Kern [mm] \phi [/mm] + Im [mm] \phi [/mm] = { [mm] \phi [/mm] / [mm] \phi \in P(\IR) \wedge [/mm] deg [mm] \le [/mm] 4 } und das wäre ja dann ein wiederspruch. Ich versteh allerdings nicht wo die 5 und die 4 herkommt. Ist bestimmt wieder simple und ich denk wieder zu kompliziert.
Bei dem zweiten weiß ich gar nicht so recht was ich da machen soll bzw. wie ich da rangehen soll. Vielleicht kann mir das jemand an einem Beispiel erklären. Wär ganz lieb.
Vielen Dank im Vorraus, Feroxa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:26 So 13.01.2008 | | Autor: | Tagesschau |
hi,
das is total unverständlich...
was ist denn hier deg??
greez,
ts
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> 1. Sei V ein endlich dimensionaler Vektorraum und [mm]\phi[/mm] : v
> --> V eine lineare Abbildung. Untersuchen Sie, ob V = Kern
> [mm]\phi \oplus[/mm] Im [mm]\phi[/mm] gilt.
>
> 2. Sei [mm]\varphi[/mm] : [mm]\IR²[/mm] --> [mm]\IR³[/mm] die lineare Abbildung mit
> [mm]\varphi[/mm] ((x,y)) = (x-y, y-x. x).
> Bestimmen Sie die Dimension und eine Basis von Kern
> [mm]\varphi[/mm] und Im [mm]\varphi.[/mm]
> Also bei erstens hat mir schon jemand geholfen ,die Lösung
> versteh ich allerdings nicht.
Hallo,
ich verstehe das auch nicht. Entweder ist Dein Helfer selbst ein Hilfloser, oder er hat Dir lediglich seinen Vorentwurf zur Lösung gezeigt, auf welchem Du Wesentliches verpaßt hast...
Da ich etwas von "Widerspruch" lese, gehe ich davon aus, daß Du die Aussage widerliegen möchtest, und das Betrachten der von Dir vorgelegten Schnipsel sagt mir, daß das mit einem Gegenbeispiel geschehen soll, was prinzipiell sinnvoll ist.
Die Vorgehensweise wäre nun diese:
Man nimmt sich einen Vektorraum, in Deinem Fall soll das wohl der Vektorraum der Polynome vom Höchstgrad 5 sein.
Als nächstes würde man einen Endomorphismus auf diesem VR benötigen.
Dann würde man den Kern des Endomorphismus ausrechnen, anschließend das Bild und zeigen, daß der Vektorraum nicht die direkte Summe aus Kern und Bild ist, und hätte somit ein Gegenbeispiel für die Behauptung.
Ein Tipp:
mach Dir's doch nicht so schwer.
Nimm als V einen Raum, bei dem Du durchblickst, z.B. [mm] V:=\IR^2.
[/mm]
Nun versuch Dir eine lineare Abbildung [mm] f:\IR^2 \to \IR^2 [/mm] zu definieren,
bei welcher Kern + Bild eben nicht den [mm] \IR^2 [/mm] ergeben.
---
Da Du allerdings zu b) überhaupt keine Idee lieferst, keimt mir der ganz entsetzliche Verdacht, daß Du gar nicht weißt, was Kern und Bild sind...
Du mußt Dich unbedingt über folgendes informieren:
Wodurch ist eine lineare Abbildung eindeutig bestimmt?
Was ist der Kern einer Abbildung? Was das Bild?
Falls Ihr bereits die darstellende Matrix hattet: wie finde ich die darstellende Matrix einer linearen Abbildung.
Da ich nicht übersehen kann, wie groß Deine Baustelle ist, zunächst nur ein Tip zum Kern:
Der Kern ist der Lösungsraum v. [mm] \varphi[/mm] [/mm] ((x,y)) = (0, 0. 0), und dieser ist zu bestimmen.
Gruß v. Angela
Die war:
>
> Kern [mm]\phi[/mm] = Menge aller Konstanten (V = [mm]P(\IR)[/mm]
> Im [mm]\phi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= Menge aller Abbildungen
>
> Dann ist V={ [mm]\phi[/mm] / [mm]\phi \in P(\IR) \wedge[/mm] deg [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
5 }
>
> Kern [mm]\phi[/mm] + Im [mm]\phi[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= { [mm]\phi[/mm] / [mm]\phi \in P(\IR) \wedge[/mm] deg
> [mm]\le[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
4 } und das wäre ja dann ein wiederspruch. Ich versteh
> allerdings nicht wo die 5 und die 4 herkommt. Ist bestimmt
> wieder simple und ich denk wieder zu kompliziert.
>
> Bei dem zweiten weiß ich gar nicht so recht was ich da
> machen soll bzw. wie ich da rangehen soll. Vielleicht kann
> mir das jemand an einem Beispiel erklären. Wär ganz lieb.
>
> Vielen Dank im Vorraus, Feroxa
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