Kern, Dimension, Bild und Rang < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aufgabe: Für n ∈ N bezeichne R[x]≤n den Vektorraum aller Polynome
vom Grad ≤ n über R und sei
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Φ : [mm] \IR [/mm] [x]≤n f(x) → [mm] \IR[x], [/mm] f(x) [mm] \rightarrow \integral_{0}^{x} f(t)\, [/mm] dt
(a) Zeigen Sie, dass Φ eine lineare Abbildung ist.
(b) Bestimmen Sie den Kern, dessen Dimension, das Bild und den Rang von
Φ.
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Das ist nun die Aufgabe an der ich mir etwas die Zähne ausbeiße.
Zu (a):
Ich weiß das das Integral genau so definiert ist, dass es eine lineare Abbildung ist.
Gerade weil es ein [mm] \IR^n \rightarrow \IR^m [/mm] ist.
Aber das ist kein formaler Beweis.
Zu (b):
Aus meinem Skript:
Sei f : V [mm] \rightarrow [/mm] W eine lineare Abbildung.
Kern(f ) : = f^-1 ({0}) = {v ∈ V | f (v) = 0} (sorry, das ist meine erste Frage, falls die Formeln nicht so perfekt sind)
und
Bild(f ) : = f (V ) = {w ∈ W | ∃ v ∈ V : f (v) = w}
Nur weiß ich nicht wie ich das auf eine Funktion anwenden soll? Ich hab den Schritt von der Theorie zur Praxis halt noch nicht so drauf. Da kommen sicher noch einige weitere Fragen. Wär echt super wenn ihr mir da etwas helfen könnt. Wie ich da genau vorzugehen habe.
Der Kern(f) ist ja wenn f(x) = {0} oder so ähnlich. Also in meinem Fall wenn das Integral den Nullvektor abbildet. Weiter weiß ich aber nicht *schäm*
Danke für die Hilfe schonmal
P.S. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo!
> Aufgabe: Für n ∈ N bezeichne R[x]≤n den
> Vektorraum aller Polynome
> vom Grad ≤ n über R und sei
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> Φ : [mm]\IR[/mm] [x]≤n f(x) → [mm]\IR[x],[/mm] f(x)
> [mm]\rightarrow \integral_{0}^{x} f(t)\,[/mm] dt
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> (a) Zeigen Sie, dass Φ eine lineare Abbildung ist.
> Zu (a):
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> Ich weiß das das Integral genau so definiert ist, dass es
> eine lineare Abbildung ist.
> Gerade weil es ein [mm]\IR^n \rightarrow \IR^m[/mm] ist.
> Aber das ist kein formaler Beweis.
Eine Abbildung [mm] \Phi [/mm] ist doch linear, wenn gilt: [mm] \Phi(ax+y)=a*\Phi(x)+\Phi(y). [/mm] Und genau diese Eigenschaft musst hier nachweisen.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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> Aufgabe: Für n ∈ N bezeichne R[x]≤n den
> Vektorraum aller Polynome
> vom Grad ≤ n über R und sei
> ¨
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> Φ : [mm]\IR[/mm] [x]≤n f(x) → [mm]\IR[x],[/mm] f(x)
> [mm]\rightarrow \integral_{0}^{x} f(t)\,[/mm] dt
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> (a) Zeigen Sie, dass Φ eine lineare Abbildung ist.
> (b) Bestimmen Sie den Kern, dessen Dimension, das Bild und
> den Rang von
> Φ.
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> Das ist nun die Aufgabe an der ich mir etwas die Zähne
> ausbeiße.
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> Zu (a):
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> Ich weiß das das Integral genau so definiert ist, dass es
> eine lineare Abbildung ist.
> Gerade weil es ein [mm]\IR^n \rightarrow \IR^m[/mm] ist.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
"Gerade weil es ein [mm] \IR^n \to \IR^m [/mm] ist", das verstehe ich jetzt gar nicht...
Schauen wir uns die Abbildung [mm] \Phi [/mm] erstmal an.
Auf welche Objekte wird die angewendet? Auf reelle Polynome vom Höchstgrad n.
Wohin wird abgebildet? In die reellen Polynome.
Mach' Dir das zunächst klar: es ist [mm] \Phi(f(x)) [/mm] ein reelles Polynom.
Nun mußt Du, wie Bastiane bereits sagte, die Linearität zeigen.
Ich selbst finde es gerade am Anfang leichter, das in zwei Schritten zu zeigen.
Du kennst ja sicher: wenn l linear, dann ist l(x+y)=l(x)+l(y) und [mm] l(\alpha x)=\alpha [/mm] l(x), das Drumherum spare ich mir grad.
Entsprechendes mußt Du nun für [mm] \Phi [/mm] zeigen.
Hier gilt es etwas aufzupassen: was sind Deine Vektoren? Elemente des Vektorraumes [mm] \IR[x]_{\le n}.
[/mm]
Also mußt Du Dich nun um [mm] \Phi(f(x)+g(x)) [/mm] und um [mm] \Phi(\alpha [/mm] f(x)) kümmern.
> Aber das ist kein formaler Beweis.
>
> Zu (b):
>
> Aus meinem Skript:
>
> Sei f : V [mm]\rightarrow[/mm] W eine lineare Abbildung.
> Kern(f ) : = f^-1 ({0}) = {v ∈ V | f (v) = 0}
> (sorry, das ist meine erste Frage, falls die Formeln nicht
> so perfekt sind)
Der Kern der linearen Abbildung [mm] \Phi [/mm] besteht aus allen Vektoren, die auf die Null abgebildet werden.
Unsere Vektoren sind hier Polynome aus [mm] \IR[x]_{\le n}. [/mm] Und die Null? Das neutrale Element in [mm] \IR[x], [/mm] also n(x):=0
Du mußt nun also herausfinden, für welche [mm] f(x)\in \IR[x]_{\le n} [/mm] gilt: [mm] \Phi(f(x))=n(x)=0.
[/mm]
Damit hast Du den Kern.
Das Bild? Erinnere Dich daran, daß Du das Bild bekommst, indem Du die lineare Hülle/das Erzeugnis der Bilder einer Basis anschaust.
Überlege Dir also eine Basis von [mm] \IR[x]_{\le n}, [/mm] und betrachte die lineare Hülle ihres Bildes.
Du kannst Dir natürlich auch so überlegen, auf welche Teilmenge des [mm] \IR[x] [/mm] die Polynome vom Höchstgrad n durch [mm] \Phi [/mm] abgebildet werden. Kommen Polynome von Grad n+5 vor? Nee, oder?
Gruß v. Angela
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