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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | [mm] \phi: [/mm] G-> Inn(G)
Warum ist der [mm] ker(\phi) [/mm] = Z(G) (Zentrum von G) |
Hallo
Ist G eine Grupe und a [mm] \in [/mm] G , o wird [mm] \phi_a [/mm] : G-> G , [mm] \phi_a [/mm] (x) = a x [mm] a^{-1} [/mm] als innerer Automorphismus von G bezeichnet.
Dass [mm] \phi: [/mm] G-> Inn(G)ein Homomorphismus ist trivial würd ich mal sagen
[mm] ker(\phi)=?
[/mm]
Z(G) = [mm] \{ a \in G | ax =x a, \forall x \in G \}
[/mm]
k [mm] \in [/mm] Z(G) beliebig: [mm] \phi_a [/mm] (k)= a k [mm] a^{-1} [/mm] = k
Aber das bildet doch nicht auf das neutrale element ab?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:35 So 25.11.2012 | | Autor: | Sax |
Hi,
> [mm]\phi:[/mm] G-> Inn(G)
> Warum ist der [mm]ker(\phi)[/mm] = Z(G) (Zentrum von G)
> Hallo
>
> Ist G eine Grupe und a [mm]\in[/mm] G , o wird [mm]\phi_a[/mm] : G-> G ,
> [mm]\phi_a[/mm] (x) = a x [mm]a^{-1}[/mm] als innerer Automorphismus von G
> bezeichnet.
> Dass [mm]\phi:[/mm] G-> Inn(G)ein Homomorphismus ist trivial würd
> ich mal sagen
Würd ich auch sagen, aber unsere Ansicht reicht wahrscheinlich nicht als Beweis, also : aufschreiben !
> [mm]ker(\phi)=?[/mm]
> Z(G) = [mm]\{ a \in G | ax =x a, \forall x \in G \}[/mm]
> k [mm]\in[/mm]
> Z(G) beliebig: [mm]\phi_a[/mm] (k)= a k [mm]a^{-1}[/mm] = k
> Aber das bildet doch nicht auf das neutrale element ab?
Was meinst du mit "das" ?
Du musst die Gleichheit von [mm]ker(\phi)[/mm] und Z(G) zeigen, also die Gleichwertigkeit der Aussagen "[mm]\phi:[/mm] bildet k auf das neutrale Element von Inn(G) ab" und "k kommutiert mit allen Elementen von G".
Das ist nicht so schwierig, wenn du dir klar machst, welches das neutrale Element von Inn(G) ist.
Gruß Sax.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:06 So 25.11.2012 | | Autor: | sissile |
danke ist nun klar.
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