Kern bestimmen < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:26 Di 20.12.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | [mm] \IR^4 ->\IR^3 [/mm]
[mm] \vec{x}-> \gamma(\vec{x})\pmat{ x_1+4x_2+2x_3+6x_4 \\ 2x_1-x_2-5x_3-6x_4\\-3x_1+x_2+7x_3+8x_4 } [/mm] |
Schönen guten Tag,
ich verstehe einen Zwischenschritt nicht. Und zwar wird Mittels LGS alles =0 gesetzt und es fällt oh Wunder eine Gleichung weg. Es bleibt also stehen:
1 0 -2 -2 |0
0 1 1 2 |0
Daraus kann man folgern:
[mm] x_1=2x_3+2x_4 [/mm] und [mm] x_2=-x_3-2x_4
[/mm]
Dann setzt man: [mm] x_3=a [/mm] und [mm] x_4=b
[/mm]
Daraus wird gefolgert (und das ist der Schritt den ich nicht verstehe):
[mm] \vec{x}=a*\vektor{2 \\ -1\\1\\0} +b*\vektor{2 \\ -2 \\ 0 \\ 1}
[/mm]
Und diesen Schritt rall ich zum verecken nicht...wenn mir da einer ggf. helfen könnte :) Danke
|
|
| |
|
Hallo durden88,
> [mm]\IR^4 ->\IR^3[/mm]
> [mm]\vec{x}-> \gamma(\vec{x})\pmat{ x_1+4x_2+2x_3+6x_4 \\ 2x_1-x_2-5x_3-6x_4\\-3x_1+x_2+7x_3+8x_4 }[/mm]
>
> Schönen guten Tag,
>
> ich verstehe einen Zwischenschritt nicht. Und zwar wird
> Mittels LGS alles =0 gesetzt und es fällt oh Wunder eine
> Gleichung weg. Es bleibt also stehen:
>
> 1 0 -2 -2 |0
> 0 1 1 2 |0
>
> Daraus kann man folgern:
> [mm]x_1=2x_3+2x_4[/mm] und [mm]x_2=-x_3-2x_4[/mm]
>
> Dann setzt man: [mm]x_3=a[/mm] und [mm]x_4=b[/mm]
>
Dann ist
[mm]x_{1}=2*a+2*b[/mm]
[mm]x_{2}=-a-2*b[/mm]
[mm]x_{3}=a[/mm]
[mm]x_{4}=b[/mm]
> Daraus wird gefolgert (und das ist der Schritt den ich
> nicht verstehe):
>
> [mm]\vec{x}=a*\vektor{2 \\ -1\\1\\0} +b*\vektor{2 \\ -2 \\ 0 \\ 1}[/mm]
>
Das entsteht, wenn Du vorher erwähntes in Vektorform schreibst.
> Und diesen Schritt rall ich zum verecken nicht...wenn mir
> da einer ggf. helfen könnte :) Danke
>
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:04 Di 20.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Ja aber woher nehm ich die Vektoren? Die scheinen ja irgendwie präperiert zu sein...
|
|
|
| |
|
Hallo
Also du hast am Ende ein Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und 4 Variabeln und dann setzst du eben 2 Variablen fest und schreibst die anderen in Abhängigkeit davon.
Wie Mathepower schon geschrieben hat, musst du die Gleichungen nur in Vektorform schreiben, denn genau das steht ja in der Lösung.
$ [mm] \vec{x}=a\cdot{}\vektor{2 \\ -1\\1\\0} +b\cdot{}\vektor{2 \\ -2 \\ 0 \\ 1} [/mm] $
In Zeile 1 steht ja
[mm] x_{1}=2a+2b [/mm] usw.
Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Mi 21.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Ah ok hab ich verstanden, vielen Dank :)
Weiter gehts:
[mm] Ker(\gamma)= <\vektor{2 \\ -1\\1\\0},\vektor{2 \\ -2\\0\\1}>
[/mm]
Daraus Folgt:
[mm] dim(Ker(\gamma))=2 [/mm] Weil wir nurnoch 2 Vektoren haben oder?
[mm] dim(Ker(\gamma))+dim(Im(\gamma))=dim(Urbild)= [/mm] 4 Wieso ist das so? Weil wir von [mm] \IR^4 [/mm] abbilden oder wieso?
Also ist die [mm] dim(Im(\gamma))=2
[/mm]
Dankesehr
|
|
|
| |
|
Hallo durden88,
> Ah ok hab ich verstanden, vielen Dank :)
>
> Weiter gehts:
>
> [mm]Ker(\gamma)= <\vektor{2 \\ -1\\1\\0},\vektor{2 \\ -2\\0\\1}>[/mm]
>
> Daraus Folgt:
>
> [mm]dim(Ker(\gamma))=2[/mm] Weil wir nurnoch 2 Vektoren haben oder?
>
Ja.
Genauer:
Der Kern der linearen Abbildung besteht aus dem
Spann von 2 linear unabhängigen Vektoren.
> [mm]dim(Ker(\gamma))+dim(Im(\gamma))=dim(Urbild)=[/mm] 4 Wieso ist
> das so? Weil wir von [mm]\IR^4[/mm] abbilden oder wieso?
>
Genau, weil von [mm]\IR^{4}[/mm] abgebildet wird.
> Also ist die [mm]dim(Im(\gamma))=2[/mm]
>
> Dankesehr
Gruss
MathePower
|
|
|
|
