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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Di 27.12.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | [mm] \gamma(x)=(x_1+x_2,2x_2+x_3,x_1-3x_3)
[/mm]
Bestimmen Sie den Kern |
Hallo, also ich muss ein lineares Gleichungssystem aufstellen und dann irgendwie eine variable Einsetzen, ich habs immer noch nicht gecheckt...Ich fang mal an:
[mm] x_1+x_2 [/mm] =0
[mm] 2x_2+x_3=0
[/mm]
[mm] x_1 -3x_3=0
[/mm]
Soooo und nun: Jetzt muss ich ja irgendwie Glück haben und krieg eine Gleichung weggekürzt. Dann hab ich 2 Gleichungen die von 3 Variable abhängig sind. Stelle um und setze für eine, eine Variable ein.
Ich krieg dort aber nun keine weggekürzt, was mach ich nun?
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Hallo durden88,
> [mm]\gamma(x)=(x_1+x_2,2x_2+x_3,x_1-3x_3)[/mm]
>
> Bestimmen Sie den Kern
> Hallo, also ich muss ein lineares Gleichungssystem
> aufstellen und dann irgendwie eine variable Einsetzen, ich
> habs immer noch nicht gecheckt...Ich fang mal an:
>
> [mm]x_1+x_2[/mm] =0
> [mm]2x_2+x_3=0[/mm]
> [mm]x_1 -3x_3=0[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Soooo und nun: Jetzt muss ich ja irgendwie Glück haben und
> krieg eine Gleichung weggekürzt. Dann hab ich 2
> Gleichungen die von 3 Variable abhängig sind. Stelle um
> und setze für eine, eine Variable ein.
>
> Ich krieg dort aber nun keine weggekürzt, was mach ich
> nun?
Na, dann besteht der Kern halt nur aus dem Nullvektor.
Der ist ja immer triviale Lösung eines homogenen LGS (und ist immer im Kern einer linearen Abb.)
Hier: [mm]\operatorname{ker}(\delta)=\left\{\vektor{0\\
0\\
0}\right\}[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:10 Di 27.12.2011 | | Autor: | durden88 |
Also ist es eine Bedingung, dass ich eine Gleichung wegkürzen kann?
Andere Aufgabe (lös hier nur das LGS auf):
[mm] x_1+3x_2 [/mm] =0
[mm] x_2+x_3=0
[/mm]
[mm] x_1+2x_2-x_3=0
[/mm]
Zweite und Dritte Addiert:
[mm] x_1+3x_2 [/mm] =0
[mm] x_1+3x_2 [/mm] =0
[mm] x_2+x_3=0
[/mm]
Umstellen:
[mm] x_1=-3x_2
[/mm]
[mm] x_3=-x_2
[/mm]
Setze [mm] x_2=t
[/mm]
Usw. Also muss ich immer eine Gleichung wegkürzen, um dann eine mit t zu setzen?
Dankesehr!
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Hallo nochmal,
> Also ist es eine Bedingung, dass ich eine Gleichung
> wegkürzen kann?
für einen nicht-trivialen Kern ja, aber wie gesagt, ein Kern, der nur aus dem Nullvektor besteht, ist nicht verboten, im Gegenteil, diese Erkenntnis liefert dir Injektivität der betrachteten linaren Abbildung.
>
> Andere Aufgabe (lös hier nur das LGS auf):
>
> [mm]x_1+3x_2[/mm] =0
> [mm]x_2+x_3=0[/mm]
> [mm]x_1+2x_2-x_3=0[/mm]
>
> Zweite und Dritte Addiert:
Was nun? zwei auf drei addiert oder drei auf zwei?
Du hast beides gemacht ...
Sowas sollte man schön schematisch machen und die Zeilenstufenform anstreben, das schützt vor Fehlern.
Ich würde damit beginnen, dass [mm](-1)[/mm]-fache der 1.Zeile auf die 3.Zeile zu addieren. Dann fällt in der 3.Zeile das [mm]x_1[/mm] raus und es entsteht genau das Negative der 2.Zeile.
Dann kannst du Z2 auf Z3 addieren und erhältst eine Nullzeile und ZSF
>
> [mm]x_1+3x_2[/mm] =0
> [mm]x_1+3x_2[/mm] =0
> [mm]x_2+x_3=0[/mm]
>
>
> Umstellen:
>
> [mm]x_1=-3x_2[/mm]
> [mm]x_3=-x_2[/mm]
>
> Setze [mm]x_2=t[/mm]
>
> Usw. Also muss ich immer eine Gleichung wegkürzen, um dann
> eine mit t zu setzen?
Wenn es eine nicht-triviale Lösung gibt, dann ist das so.
>
> Dankesehr!
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Di 27.12.2011 | | Autor: | durden88 |
| Aufgabe | Bestimmen Sie den [mm] Ker(\gamma) [/mm] sowie [mm] Im(\gamma)
[/mm]
[mm] \gamma(\vec{x})=(-x_1+2x_2,4x_2-x_3,2x_1-2x_2+5x_3) [/mm] |
So des is eine vergleichbare Aufgabe, nur die wurde ganz anders gelöst. Diesmal wurde auf eine Inverse aufgelöst...Das heißt man hat geschaut, ob am Ende:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
herrauskommt. Ich habe mal überprüft, und es kam herraus, dass sich keine Gleichung wegkürzen lässt. Also hat sie nur den Nullvektor und ist somit injektiv...
Wurde die Aufgabe so gelöst um zu sehen ob sie injektiv ist, weil jede Matrix die eine Inverse hat auch gleichzeitig injektiv ist?
Dan ke!
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Hallo nochmal,
> Bestimmen Sie den [mm]Ker(\gamma)[/mm] sowie [mm]Im(\gamma)[/mm]
>
> [mm]\gamma(\vec{x})=(-x_1+2x_2,4x_2-x_3,2x_1-2x_2+5x_3)[/mm]
> So des is eine vergleichbare Aufgabe, nur die wurde ganz
> anders gelöst. Diesmal wurde auf eine Inverse
> aufgelöst...Das heißt man hat geschaut, ob am Ende:
>
> 1 0 0
> 0 1 0
> 0 0 1
>
> herrauskommt.
Bitte nur ein "r" in "heraus, voraus ..."
> Ich habe mal überprüft, und es kam herraus,
> dass sich keine Gleichung wegkürzen lässt. Also hat sie
> nur den Nullvektor und ist somit injektiv...
Jo, wobei es unnötig ist, das bis auf die Einheitsmatrix runterzubrechen.
Reduzierte ZSF ist gar nicht nötig, es reicht die einfache ZSF.
Es geht ja darum, den Rang der Matrix zu bestimmen ...
>
> Wurde die Aufgabe so gelöst um zu sehen ob sie injektiv
> ist,
Das ist das Standardprozedere, um den Kern zu bestimmen. Man schreibt das zu lösende homogene LGS als Matrix und bringt diese in ZSF (von mir aus auch in reduzierte ZSF - ist aber mehr Arbeit)
> weil jede Matrix die eine Inverse hat auch
> gleichzeitig injektiv ist?
Eine Matrix ist nicht injektiv, höchstens die lineare Abbildung, die sie repräsentiert.
Es gilt für eine lin. Abb [mm] $\delta$:
[/mm]
[mm]Ker(\delta)=\{\vec{0}\} \ \gdw \ \delta \ \text{injektiv}[/mm]
Und den Kern bestimmt man, indem man die zugeh. Matrix in ZSF bringt und den Rang bestimmt usw ...
Wie hängen Rang der Matix und Dimension des Kernes zusammen?
>
> Dan ke!
Bit te! 
Gruß
schachuzipus
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