Kern der Abbildung < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:31 So 09.11.2008 | | Autor: | pioneer |
| Aufgabe | Gegeben ist die Abbildung
F: V --> W
[mm] F\vektor{x \\ y\\z} [/mm] = [mm] \vektor{x+y \\ x+z}
[/mm]
[mm] \nu [/mm] = [mm] \vektor{2 \\-3 \\9}
[/mm]
zwischen den Vektorräumen V und W angegeben
(a) Man bestimme Kern(F) durch die Angabe einer Basis dieses Vektorraumes.
(b)Man untersuche, ob F injektiv ist.
(c) Man berechne [mm] F(\nu [/mm] ).
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Hallo
Stimmt es, dass wenn ich den Kern der Matrix bestimmen möchte die Gleichungen:
x + y = 0 und
x + z = 0
aufstellen muss?
Wenn das stimmt, kann ich doch sagen, y = z, oder?
Aber wie dann weiter?
Habe ich dann den Kern der Abbildung überhaupt durch die Angabe einer Basis bestimmt?
Wie weiß ich ob F dann injektiv ist?
F [mm] (\nu [/mm] ) ist denke ich einfach das Einsetzen der Werte von [mm] \nu [/mm] in F oder?
Vielen Dank
pioneer
Ich habe diese Frage in Folge einer anderen Frage in diesem Forum gestellt, jedoch keine Antwort bekommen, daher versuche ich es hier nochmals.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 So 09.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
x+y=0
x+z=0
Loesung: x=-z, y=z
oder y=-x, z=-x
welche schar von Vektoren ergibt sich dadurch. sie bilden einen VR, irgendeiner der Schar kann Basis sein, wenn der VR 1 dimensional, wie du hoffentlich hier siehst.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Mo 10.11.2008 | | Autor: | pioneer |
Hallo
Zunächste vielen Dank für die Antwort.
Leider verstehe ich es immer noch nicht. Wie berechne ich den Kern durch die Angabe der Basis?
mfg
pioneer
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> Hallo
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> Zunächste vielen Dank für die Antwort.
> Leider verstehe ich es immer noch nicht. Wie berechne ich
> den Kern durch die Angabe der Basis?
Hallo,
nein, man berechnet ihn nicht durch die Angabe einer Basis. Deine Berechnung war schon richtig.
Sondern: man berechnet, welche Vektoren im Kern sind. Da der Kern ein VR ist, gibt man ihn üblicherweise an, indem man eine Basis des Kerns angibt.
Du hattest herausgefunden, daß für die [mm] \vektor{x\\y\\z}, [/mm] die im Kern sind, folgendes gilt:
x=-z, y=z .
Das bedeutet: für z gibt es keine Einschränkungen, und x und y muß man passend wählen.
Also haben alle [mm] \vektor{x\\y\\z}\in [/mm] Kern f die Gestalt [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{-z\\z\\z}=z*\vektor{-1\\1\\1}.
[/mm]
Alle Vektoren im Kern sind also Vielfache von [mm] \vektor{-1\\1\\1}. [/mm] Also ist [mm] \vektor{-1\\1\\1} [/mm] eine Basis des Kerns.
Du könntest schreiben: Kern f= < [mm] \vektor{-1\\1\\1}> [/mm] oder Kern f= span( [mm] \vektor{-1\\1\\1}) [/mm] oder Kern f= LH( [mm] \vektor{-1\\1\\1}), [/mm] je nachdem, welche Schreibweise bei Euch üblich ist.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:51 Mo 10.11.2008 | | Autor: | pioneer |
In der Angabe ist aber die Bestimmung des Kerns durch Angabe der Basis gefordert. Habe ich das dann gemacht, oder nicht?
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> In der Angabe ist aber die Bestimmung des Kerns durch
> Angabe der Basis gefordert. Habe ich das dann gemacht, oder
> nicht?
Hallo,
Deine Rechnung ist richtig.
Du mußt jetzt noch die Basis des Kerns angeben, so wie ich das vorgemacht habe.
Es gibt doch mehrere Möglichleiten, den Kern anzugeben.
Z.B. diese:
[mm] KernF=\{ \vektor{x\\y\\z}\in \IR^3 | \vektor{x+y \\ x+z} =\vektor{0\\0}\}.
[/mm]
Bloß mit dieser Angabe ist man so schlau wie zuvor... Du sollst nun den Kern angeben, indem Du eine Basis angibt, damit man nämlcih sofort sieht, wie die Elemente gemacht sind, die im Kern sind.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:04 Mo 10.11.2008 | | Autor: | pioneer |
Hallo Angela!
Vielen Dank, dass du dir solche Mühe gibst mir das zu erklären. Ich denke langsam verstehe ich es.
Also:
Die Basis des Kerns ist [mm] \vektor{-1\\ 1\\1}.
[/mm]
Damit ist der Kern bestimmt.
Um auf alle Vektoren im Kern zu kommen muss man z * [mm] \vektor{-1\\ 1\\1} [/mm] rechnen, oder?
Wie weiß ich nun ob F injektiv ist?
[mm] F(\nu) [/mm] berchne ich doch indem ich die Werte von [mm] \nu [/mm] in F einsetze, oder?
Danke
pioneer
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> Die Basis des Kerns ist [mm]\vektor{-1\\ 1\\1}.[/mm]
> Damit ist der
> Kern bestimmt.
Genau.
Üblicherweise schreibt man [mm] kernF= [/mm] oder eine der anderen Schreibweisen, die ich Dir gesagt hatte, das ist von Stadt zu Stadt verschieden, und wenn Du auf Nr.Sicher gehen willst, betonst Du noch irgendwo, daß [mm] vektor{-1\\ 1\\1} [/mm] eine Basis des Kerns ist.
> Um auf alle Vektoren im Kern zu kommen muss man z *
> [mm]\vektor{-1\\ 1\\1}[/mm] rechnen, oder?
Richtig. Da die Basis hier ja nur ein Element enthält, sind alle Vielfachen davon im Kern, hast Du eine größere Basis, dann sind's alle Linearkombinationen, die Du hieraus bilden kannst.
> Wie weiß ich nun ob F injektiv ist?
Da gibt's mehrere Möglichkeiten, je nachdem, was dran war.
Eine sehr wichtige, unbedingt merkenswerte (Klausur, Prüfung) Eigenschaft von linearen(!) Abbildungen ist diese:
F injektiv <==> [mm] KernF=\{0_V\} [/mm]
Also: wenn der Kern nur aus der Null besteht, ist F injektiv.
Und? Besteht der Kern hier nur aus dem Nullvektor?
> [mm]F(\nu)[/mm] berchne ich doch indem ich die Werte von [mm]\nu[/mm] in F
> einsetze, oder?
Ja.
Gruß v. Angela
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Hi
Ich habe ein ähnliches Problem wie mein Kollege
bei mir handelt es sich um folgendes:
F: V --> W
V=W=R³
[mm] F\pmat{ 2x-y \\ 2y+4z \\ x+z }
[/mm]
wenn ich mir nun meinen Kern ausrechnen versuche stoße ich auf einen Widerspruch -7*z = 0
Würde mich freuen wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet
mfg Traubi
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> Hi
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> Ich habe ein ähnliches Problem wie mein Kollege
>
> bei mir handelt es sich um folgendes:
>
> F: V --> W
> V=W=R³
>
> [mm]F\pmat{ 2x-y \\ 2y+4z \\ x+z }[/mm]
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> wenn ich mir nun meinen Kern ausrechnen versuche stoße ich
> auf einen Widerspruch -7*z = 0
>
> Würde mich freuen wenn Ihr mir da weiterhelfen könntet
>
> mfg Traubi
>
>
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Rechne doch mal vor, was Du tust, dann kann man sehen, wo Dein Fehler liegt.
An -7z=0 allein erkenne ich nichts Schlimmes oder Widersprüchliches. Es ist dann halt z=0, das kommt vor.
(Aber Du scheinst wirklich irgendwas falsch zu machen.)
Gruß v. Angela
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ah ok ich sitzt jetzt schon so lange mit den Matrizen das ich die grundrechenarten schon nicht mehr beherrsche :P
komme danna auf wenn ich es auf Zeilen Stufen form bringe
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
daraus folgt ja diesmal kein Wiederspruch XD das Z=0 X=0 und Y=0
somit mein kern [mm] \pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }
[/mm]
is das so richtig =?
und danke fürs willkommen heißen und danke für die schnelle antwort
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> ah ok ich sitzt jetzt schon so lange mit den Matrizen das
> ich die grundrechenarten schon nicht mehr beherrsche :P
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> komme danna auf wenn ich es auf Zeilen Stufen form bringe
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> [mm]\pmat{ 2 & -1 & 0 &| 0 \\ 0 & 2 & 4 &| 0 \\ 0 & 0 & 0 &| 0 }[/mm]
>
> daraus folgt ja diesmal kein Wiederspruch XD das Z=0 X=0
> und Y=0
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> somit mein kern [mm]\pmat{ 0 \\ 0 \\ 0 }[/mm]
>
> is das so richtig =?
Hallo,
ich sag mal so: würde wirklich x=y=z=0 herauskommen, so wäre Deine Folgerung bzgl des Kerns richtig.
Es kommt aber nicht heraus.
Sondern:
Wenn wir Deine Matrix von oben in ein Gleichungssytem übersetzen, so steht sie ja für ein System aus 2 Gleichungen mit drei Variablen.
Sowas ist nicht eindeutig lösbar.
Man kann hier ein Variable frei wählen, etwa z, und sofern wir nur so geschickt sind, daß wir x und y zu diesem z passend wählen, habn wir eine Lösung.
Das GS:
2x-y=0
2y+4z=0
Wählen wir nun z beiebig, so muß unser y sein y=-2z,
und das x so: [mm] x=\bruch{1}{2}y=\bruch{1}{2}**(-2z)=-z
[/mm]
Wie sieht also jede Lösung aus? So: [mm] \vektor{x\\y\\z}=\vektor{-z\\-2z\\z}=z*\vektor{-1\\-2\\1}, [/mm] und damit ist [mm] \vektor{-1\\-2\\1} [/mm] eine Basis des Kerns.
Dein Fehler liegt vermutlich in der Interpretation der letzten zeile Deiner Zeilenstufenform, welche "übersetzt " 0=0 heißt.
Diese Zeile auferlegt dem z keinerlei Zwang - schon gar nicht den Zwang, =0 zu sein.
> und danke fürs willkommen heißen und danke für die
> schnelle antwort
Gern geschehen.
Gruß v. Angela
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Hallo!
Hab ein Beispiel zu rechnen bis heute 16:00 und weis nicht genau wie ich anfangen soll...
F: V [mm] \mapsto [/mm] W
[mm] F\vektor{x \\ y \\ z} [/mm] = x + (x + [mm] y)\*t [/mm] + (x+ y + [mm] z)\*t^{2}, v=\vektor{3 \\ -1 \\7}
[/mm]
danke
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Hallo,
vielleicht verrätst Du auch, was Du ausrechnen sollst...
Wieder den Kern?
Falls ja, wäre wieder zu gucken, welche [mm] \vektor{x\\y\\z} [/mm] auf die Null in W abgebildet werden. Was ist die Null in W? Das Nullpolynom.
Du mußt also schauen, für welche [mm] \vektor{x\\y\\z}
[/mm]
[mm] F(\vektor{x\\y\\z})=0_W [/mm] ist,
also x + (x + [mm]y)\*t[/mm] + (x+ y + [mm][mm] z)\*t^{2}=0 [/mm] + 0*t [mm] +0*t^2.
[/mm]
Ein Koeffizientenvergleich hilft Dir weiter.
Gruß v. Angela
> Hallo!
>
> Hab ein Beispiel zu rechnen bis heute 16:00 und weis nicht
> genau wie ich anfangen soll...
>
> F: V [mm]\mapsto[/mm] W
>
> [mm]F\vektor{x \\ y \\ z}[/mm] = x + (x + [mm]y)\*t[/mm] + (x+ y + [mm]z)\*t^{2},
v=\vektor{3 \\ -1 \\7}[/mm]
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Ja den Kern!! *gg*
die Angabe nun genauer:
(a) Man bestimme Kern(Fi) durch die Angabe einer Basis dieses Vektorraumes.
(b) Man untersuche, ob Fi injektiv ist.
(c) Man berechne Fi(v).
was ich noch vergessen habe bei der Angabe: V = [mm] \IR^{3} [/mm] W = [mm] \IP_{2}
[/mm]
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> Ja den Kern!! *gg*
> die Angabe nun genauer:
>
> (a) Man bestimme Kern(Fi) durch die Angabe einer Basis
> dieses Vektorraumes.
> (b) Man untersuche, ob Fi injektiv ist.
> (c) Man berechne Fi(v).
>
>
> was ich noch vergessen habe bei der Angabe: V = [mm]\IR^{3}[/mm]
> W = [mm]\IP_{2}[/mm]
Hallo,
letztere Angabe habe ich mir mit einer Kombination aus Erfahrung und Indizien bereits gedacht, aber sowas solltest Du immer mit angeben.
Nun rechne den Kern doch aus, wie's geht, habe ich ja gesagt.
Dann entscheidest Du, ob der Kern nur aus der Null in V besteht, womit Du auch weißt, ob die Abbildung injektiv ist oder nicht.
F(v) auszurechnen ist ja wirklich einfach. Einfach v einsetzten.
gruß v. Angela
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Ah ok mir (bzw. uns da wir zuzweit daran kläglich gescheitert sind) ein Licht aufgegangen. Das Problem war grundsätzlich das diese Aufgaben noch nicht in der Vorlesung besprochen wurden und wir somit nicht richtig wussten was zu tun ist.
vielen Dank nochmal du hast uns ein paar punkte mehr und vll sogar die positive Note gerettet :P
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> Ah ok mir (bzw. uns da wir zuzweit daran kläglich
> gescheitert sind) ein Licht aufgegangen.
Gut.
> Das Problem war
> grundsätzlich das diese Aufgaben noch nicht in der
> Vorlesung besprochen wurden
Darauf braucht Ihr nicht mehr zu warten. Um herauszufinden, wie das geht, sind die [mm] 22\bruch{1}{2} [/mm] Stunden am Tag da, an denen ihr keine LineareAlgebra-Vorlesung habt
Gruß v. Angela
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