Kern einer Abbildung < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:44 Mi 04.10.2006 | | Autor: | Kochi |
Hallo,
ich suche eine sinnvolle und einfache Definition für den "Kern einer Abbildung". Ich kann leider gar nichts damit anfangen. Es wäre schön, wenn es mir jemand (wie für einen Studienanfänger) erklären könnte.
Die Erklärung bei Wikipepia hat auch nicht geholfen...
MfG
Kochi
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:54 Mi 04.10.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
dann versuche ich mich mal:
also per Definition ist der Kern der Abbildung [mm] $f:V\mapsto [/mm] W$ derjenige Unterraum von V, der auf [mm] $0_W$ [/mm] (also die Null in W) abgebildet wird.
Man muss sich hier vor allem einmal klar machen, dass es wirklich immer ein ganzer Unterraum ist, denn [mm] $0_V$ [/mm] wird ja immer auf [mm] $0_W$ [/mm] abgebildet, also ist [mm] $0_V$ [/mm] immer im Kern !
Ja, was das jetzt bedeutet ist ne ganz andere Geschichte - es ist ja nicht gerade so, als wenn man sich alle Vektorräume V und W vorstellen könnte, oder?
Nimm mal eine vorstellbare Abbildung: [mm] $f:\IR^2\mapsto \IR$ [/mm] mittels $f(x,y)=x$
also alle Punkte werden auf die x-Achse projeziert - was ist dann der Kern?
Der Kern ist dann das Urbild (nicht umkehrabbildung!!) [mm] $f^{-1}(0)$.
[/mm]
Aber welche Punkte aus [mm] $\IR^2$ [/mm] werden denn auf 0 projeziert?
Na alle Punkte der Form (0,y) - also ist der Kern gerade die y-Achse
(dieses Beispiel kann man sich mit beliebigen Projektionsrichtungen vorstellen auch nicht notwendig senkrecht zu den Achsen)
Abbildungen werden ja meist als Matrizen dargestellt und die Berechnung des Kerns ist dann die Lösung des entspr. homogenen Gleichungssystems.
Schau mal hier: UniMatheFAQ
da sind links zur berechnung von kern und bild und so..
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:57 Do 05.10.2006 | | Autor: | Kochi |
Super, wir haben es dann endlich mal verstanden!
Vielen Dank
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