www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenLineare Algebra - SkalarprodukteKern einer Bilinearform
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte" - Kern einer Bilinearform
Kern einer Bilinearform < Skalarprodukte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kern einer Bilinearform: Aufgabe
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:05 Mo 30.04.2007
Autor: sirdante

Aufgabe
f: [mm] \IR^4 [/mm] x [mm] \IR^4 \to \IR [/mm]

f(x,y) = [mm] y_{1}x_{2} [/mm] - [mm] x_{1}y_{2} [/mm] + [mm] 2y_{1}x_{4} [/mm] - [mm] 2x_{1}y_{4} [/mm] + [mm] y_{3}x_{2} [/mm] - [mm] x_{3}y_{2} [/mm] + [mm] 3y_{3}x_{4} [/mm] - [mm] 3x_{3}y_{4} [/mm]

Bestimmen Sie ker(f).

Habe gezeigt, dass es symplektische Bilinearform ist und das die Grammatrix bzgl der kanonischen Basis folgendermaßen aussieht:

[mm] \pmat{ 0 & -1 & 0 & -2 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & -3 \\ 2 & 0 & 3 & 0 } [/mm]

Sieht sehr symplektisch aus, finde ich, also sollte sie richtig sein.

Wie zeige ich denn nun, was ker(f) ist?

Also ker(f) = { [mm] v\not=0 [/mm] : f(v,w) = 0 ,  [mm] \forall [/mm] w }

Ich habe bisher rausgefunden, dass ker(f) [mm] \not= [/mm] {0} , da zB. für:

v = [mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0}, [/mm]  w = [mm] \vektor{0 \\ 2 \\ 0 \\ -1} [/mm] gilt:

f(v,w) = - 2 + 2 = 0.

Aber wie komme ich denn nun auf ker(f) ? Meine Intuition sagt, dass dim(ker (f)) = 2 ist, aber beweisen kann ich das auch nicht...


Ich hatte die Idee mit den kan Basisvektoren als v nacheinander mal die die w's anzuschauen, aber irgendwie komme ich auf keinen grünen Zweig!


Wäre für Tipps sehr dankbar!

Mfg dante

        
Bezug
Kern einer Bilinearform: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:34 Mo 30.04.2007
Autor: Event_Horizon

Hallo!

Es ist hier nicht einfach so möglich, einen Kern anzugeben.

Denken wir doch mal bezüglich deines Vektors v weiter:

Wenn jetzt [mm] $w_2=-2w_4$ [/mm] ist, dann ist die erste Komponente nach der Multiplikation mit der Matrix sicherlich 0. Die restlichen Komponenten können beliebige Werte annehmen, und das Produkt der beiden Vektoren wäre immer 0. Das heißt also, 3 freie Parameter! Demnach ist HIER der Kern dreidimensional.

Aber wie sieht es mit einem anderen v aus?

Ein analoges Problem ist ja das Skalarprodukt, das ist auch eine Bilinearform, deren Matrix i.A. die Einheitsmatrix ist. Welchen Kern hat die? Nun, da gibts auch keine einfache Lösung, sondern da lautet die Lösung: Nimm irgendeinen Vektor v. Der Kern besteht dann aus allen Vektoren w, die senkrecht auf diesem speziellen v stehen.

Demnach sollte man die Aufgabe eher umformulieren und nach [mm] $Ker(f_x(y))$ [/mm] fragen, also x als äußeren Parameter betrachten.


Vielleicht übersehe ich grade was, aber so wie ich das grade sehe, kannst du drei Komponenten von y vorgeben und die vierte so bestimmen, daß die Gleichung 0 ergibt - abhängig von den drei anderen Komponenten und allen vier Komponenten von x.
hmmm...

Bezug
                
Bezug
Kern einer Bilinearform: Idee
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:56 Di 01.05.2007
Autor: sirdante

Danke für die schnelle Antwort!!

V = [mm] U_{1} \oplus [/mm] ... [mm] \oplus U_{m} \oplus [/mm] ker(f)

Ich habe duch viel rumgerechne nun zwei Unterräume raus, die Senkrecht zueinander stehen müssten:

U = [mm] L[\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0}] [/mm]    , [mm] U\perp [/mm] = [mm] L[\vektor{1 \\ 2 \\ -1 \\ -1},\vektor{1 \\ 4 \\ -1 \\ -2}] [/mm]

Habe dafür [mm] f(\vektor{1 \\ 0 \\ 0 \\ 0},a) [/mm] = 0  und [mm] f(\vektor{0 \\ 1 \\ 0 \\ 0},a) [/mm] = 0  ,  a [mm] \in \IR^4 [/mm]  angeschaut und [mm] a_{2} [/mm] = [mm] -2a_{4} [/mm]  und  [mm] a_{1} [/mm] = - [mm] a_{3} [/mm] als Bedingungen herausbekommen und daraus [mm] U\perp [/mm] gebastelt.

Nun die ernüchternde Frage:  Nützt mir das was???  

Ich hatte überlegt 0 [mm] \not= [/mm] ker(f) [mm] \not= [/mm] 4 = dim V  => ker(f) = 2, da ansonsten die obige Gleichung verletzt ist... macht das Sinn?
Ich wäre für Tipps dankbar!

mfg dante

Bezug
                        
Bezug
Kern einer Bilinearform: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:24 Do 03.05.2007
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Lineare Algebra - Skalarprodukte"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]