Kern einer Matrix < Abbildungen+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:58 Mo 10.07.2006 | | Autor: | RalU |
| Aufgabe | geg:
A= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5 \\ 4 & 5 & 6}
[/mm]
B= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1}
[/mm]
C= [mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & 3 & 4 & 5 \\ 3 & 4 & 5 & 6}
[/mm]
a) ermitteln Sie den Rang von A, B, C
b) Ermitteln Sie den Kern von A,B,C
c) Vergleichen sie die Ergebn. mit den Aussagen des Homomorphiesatzes |
Ok, Rang hab ich von allen bestimmt, rang(A)=rang(B)=rang(c)=2
Wie komme ich nun zu dem Kern? Der Kern ist ja definiert als Menge aller Vektoren einer Matrix, die den Nullvektor enthalten. Aber damit fang ich so nicht viel an.
für Matrix A hab ich zum Beispiel am Ende folgende umgeformte Matrix da stehen: A= [mm] \pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }
[/mm]
Wie kann ich damit nun den Kern bestimmen?
Der Homomorphiesatz sagt aus: dim(kern A) + dim (Bild A) = dim v
Aber was ist eine Dimension eines Kerns oder eines Bildes? Ok, Dimesion eines Bildes ist wohl der rang, hier also 2, aber ansonsten hab ich keine Ahung...Wer kann mir helfen?
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 10.07.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
also diese Frage ist sicher eine der häufigsten hier und überall im Netz und man sollte dazu dutzende Beispiel finden:
selbst in unserer Datenbank :  Wie man den Kern einer linearen Abbildung bestimmt
aber schnell nochmal als Beispiel : du hast also
[mm] $A*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0\\0}$ [/mm] zu lösen
und hast alleine durch Zeilenoperationen das umgeformte System:
[mm] $\pmat{ 2 & 4 & 6 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 }*\vektor{x_1\\x_2\\x_3}=\vektor{0\\0\\0\\0}$
[/mm]
(am Nullvektor ändert sich durch Zeilenoperationen nichts)
jetzt setze eine Variable beliebig - zum Beispiel : [mm] $x_2=t$
[/mm]
dann folgt aus der zweiten Gleichung [mm] $t+2*x_3=0$, [/mm] also [mm] $x_3=-0.5*t$
[/mm]
und damit folgt dann aus der ersten Gleichung eingesetzt:
[mm] $x_1+t-0.5*t=0$, [/mm] also [mm] $x_1=-0.5*t$
[/mm]
also ergibt sich der Lösungsvektor : [mm] $\vektor{-0.5*t\\t\\-0.5*t}=t*\vektor{-0.5\\1\\-0.5}$
[/mm]
Der Kern wird also durch [mm] $\vektor{-0.5\\1\\-0.5}$ [/mm] aufgespannt...
Hinweis: Die Umformungen zu deiner Matrix habe ich NICHT überprüft !
viele grüße
DaMenge
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