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| Aufgabe | Sei [mm] \varphi [/mm] : [mm] \IR^{3} \to \IR^{3} [/mm] gegeben durch [mm] \pmat{ 2 & -1 & 1 \\ 1 & 2 & 3\\ 0 & 1 & 1 }.
[/mm]
Bestimmen Sie Ker [mm] \Lambda^{2} \varphi [/mm] und Im [mm] \Lambda^{2} \varphi [/mm] |
Hallo.
Wie mach ich das mit dem [mm] \Lambda^{2}? [/mm] Definiert wurde das glaube ich mit [mm] \Lambda^{2}=x_{1} \wedge x_{2}
[/mm]
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:52 Mi 05.07.2006 | | Autor: | ttgirltt |
Kann sich hier wenigstens irgendwer vorstellen was hier mit [mm] \Lambda^{2} [/mm] gemeint ist. Und wie ich das lös
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:09 Do 06.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hi ttgirltt,
bei [mm] \Lambda ^2 [/mm] handelt es sich um einen so genannten Funktor. Das heißt: [mm] \Lambda^2 [/mm] ordnet nicht nur jedem Vektorraum [mm] V [/mm] einen anderen Vektorraum [mm] \Lambda^2 V[/mm] zu (nur zuordnen, keine Abbildung angeben), sondern auch einem Homomorphismus [mm]\phi: V\rightarrow W [/mm] einen Homomorphismus zwischen den zugeordneten Räumen [mm] \Lambda^2\phi : \Lambda^2 V \rightarrow \Lambda^2 W [/mm].
Wie sehen die Zuordnungen nun für deinen speziellen Funktor aus? Nun einem Vektorraum [mm] V [/mm] wird der Raum [mm] V \wedge V [/mm] das so genannte äußere oder alternierende Produkt zugeordnet. Dies ist der Vektorraum auf der Menge der Paare von Vektoren in [mm] V [/mm] wobei wir folgende Identifizierungen machen: [mm] k*(v_1,v_2)=(k*v_1,v_2)=(v_1,k*v_2) [/mm], [mm] (v_1+v_2,w)=(v_1,w)+(v_2,w) [/mm] (und andersherum) und [mm] (v_1,v_2)=-(v_2,v_1) [/mm]. Meist werden die Paare als [mm] (v_1,v_2) =v_1\wedge v_2[/mm] geschrieben. Dies ist analog zum Tensor Produkt, nur dass wir hier noch die Relation "Vertauschen gleich multiplizieren mit -1" herausteilen.(Daher "alternierend") Für die Praxis reicht es dir vielleicht, dass wenn [mm] v_1, \dots ,v_n [/mm] eine Basis von V ist, [mm] \{ v_i\wedge v_j | i
Was ist nun mit den Morphismen? Nun man macht genau dass was man sich jetzt denkt: [mm] (\Lambda^2 \phi)(v_1\wedge v_2)=(\phi(v_1))\wedge (\phi(v_2)) [/mm] und setzen es linear auf Summen fort. In deinem Fall, könnten wir also eine Basis [mm] e_1\wedge e_2 , e_1 \wedge e_3 , e_2 \wedge e_3 [/mm] wählen ([mm] e_i [/mm] die Standard-Basis von [mm] V [/mm]) und ihre Bilder wieder in sich selbst ausdrücken. Dazu müssen wir natürlich die obigen Relationen verwenden. Ich denke du bekommst das hin, wenn nicht melde dich einfach noch mal.
Grüße
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:31 Do 06.07.2006 | | Autor: | ttgirltt |
Danke erstmal. Hat auf jeden Fall für etwas mehr verständnis gesorgt. Aber bei mir haberts mit Theorie und Praxis. Also ich muss jetzt
[mm] Ker((\Lambda^2 \phi)(v_1\wedge v_2))=Ker(\phi(v_1))\wedge (\phi(v_2)) [/mm]
und [mm] Im((\Lambda^2 \phi)(v_1\wedge v_2))=Im(\phi(v_1))\wedge (\phi(v_2)) [/mm] bilden.
Wie genau das gehen soll weiß ich nicht. Du hast jetzt die Standardbasis von V so gewählt [mm] e_1\wedge e_2 [/mm] , [mm] e_1 \wedge e_3 [/mm] , [mm] e_2 \wedge e_3 [/mm] und willst die Bilder auf sich selbst abbilden mit den relationen von oben. Wie kommt denn hier die gegebene Matrix in Spiel?
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 14:17 Do 06.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hi,
Ich habe mir die Matrix noch mal angesehen, sie hat offenbar vollen Rang. Daher ist auch [mm] \Lambda^2 \phi [/mm] surjektiv, da [mm] e_i\wedge e_j [/mm] von das Bild von [mm] v_i\wedge v_j [/mm] ist, wobei [mm] \phi(v_i) = e_i [/mm]. Allgemeiner sollte das Bild von den Elementen [mm] v\wedge w [/mm] mit [mm] v,w \in Bild(\phi) [/mm] erzeugt werden.
Was ich mir vorhin dachte, war, dass du dir die Matrix von [mm] \Lambda^2\phi [/mm] in folgender Weise ausrechnest:
[mm](\Lambda^2 \phi)(e_1\wedge e_2) =(\phi e_1)\wedge (\phi e_2)=(2e_1+1e_2)\wedge (-1e_1+2e_2+e_3)=4e_1\wedge e_2+2e_1\wedge e_3 -2e_2\wedge e_1+e_2\wedge e_3=6e_1\wedge e_2+2e_1\wedge e_3+e_2\wedge e_3[/mm]
Das heißt die erste Spalte der Matrix von [mm] \Lambda^2\phi [/mm] ist 6, 2, 1 usw.
Nun ja, dass wäre dann doch etwas kompliziert gewesen.
Viele Grüße
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Do 06.07.2006 | | Autor: | ttgirltt |
Danke...
Mmh kann ich die Matrix nicht trotzdem erstmal so berechnen dann komm ich doch auf eine normale Matrix und kann ganz normal Kern und Bild angeben, oder?
Zur Berechnung den Schritt nach dem 3.= kann ich nicht nachvollziehen was hast denn da alles angewendet?
Deinen ersten Absatz, mmh was soll mir das in meiner Aufgabe so richtig helfen. Ich kann doch indem ich die Matrix ausrechne ein ganz konkretes Bild angeben oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:27 Fr 07.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hi ttgirltt,
tja, normaler Weise schreibe ich eine Warnung, dass ich nicht rechnen kann, dass habe ich dieses mal vergessen. Ich habe mich vertan, die -2 muss eine -1 sein. Wie ich auf das Falsche kam weiß ich nicht. Daher ergibt sich für die erste Spalte 5,2,1. Wahrscheinlich war das der Auslöser deiner Pobleme. Aber zur Sicherheit schreibe ich noch mal was ich verwendet habe: In diesem Schritt habe ich einfach "ausmultipliziert" (geht wegen Linearität), die Faktoren nach forne gezogen, und benutzt, dass [mm] v\wedge v=-v\wedge v [/mm], also [mm] v\wedge v =0 [/mm].
Damit kannst du die Matrix ausrechnen und kommst zum Ziel. Mit meinem ersten Ansatz folgt aber direkt, dass [mm] \Lambda^2 \phi [/mm] surjektiv ist, daher injetiv (die Dimensionen sind gleich) und daher ist das Bild [mm] \Lambda^2 V [/mm] und der Kern 0.
Viele Grüße
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:07 Do 06.07.2006 | | Autor: | grashalm |
| Aufgabe | Sei [mm] {e_{1},e_{2},e_{3}} [/mm] die Standardbasis von [mm] \IR^{3}. [/mm] Die Lineare Abbildung [mm] \phi: \IR^{3}\to \IR^{3} [/mm] sei gegeben durch
[mm] \phi(x_{1},x_{2},x_{3})=(2x_{1}-x_{2},x_{1}+x_{3},x_{2}-2x_{3})
[/mm]
Berechnen sie die darstellende Matrix von [mm] \Lambda^2 \phi [/mm] bzgl. der Basis
[mm] {e_1\wedge e_2 , e_1 \wedge e_3 , e_2 \wedge e_3} [/mm] von [mm] \Lambda^2 \IR^{3} [/mm] |
Hallo ich schließ mich mal dem Thema an. Also ich hätte die Aufgabe so gelöst das ich [mm] \phi [/mm] erstmal als Matrix darstelle:
[mm] \pmat{ 2 & -1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & -2 }
[/mm]
und dann das so mache wie Peter da die erste Spalte mit der von ttgirltt übereinstimmt, erhalte ich ja die 1.Spalte wie bei Peter also 6,2,1 wobei ich auch den vorletzten Schritt nicht nachvollziehen kann
[mm] (2e_1+1e_2)\wedge (-1e_1+2e_2+e_3)=4e_1\wedge e_2+2e_1\wedge e_3 -2e_2\wedge e_1+e_2\wedge e_3=6e_1\wedge e_2+2e_1\wedge e_3+e_2\wedge e_3
[/mm]
und ist das dann überhaupt die darstellende Matrix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:43 Fr 07.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hi,
Du musst hier etwas aufpassen, die erste Spalte der neuen Matrix gehört zu dem Bild von [mm] e_1\wedge e_2 [/mm]. Das heißt, dass Sie durchaus auch von der zweiten Spalte deiner Ausgangsmatrix abhängt. Daher stimmt das Ergebnis höchstens zufällig überein. In deinem Fall ergib sich für die erste Spalte:
[mm] (\phi e_1) \wedge (\phi e_2)=(2e_1+e_2)\wedge(-e_1+e_3)=2(e_1\wedge e_3)-(e_2\wedge e_1)+(e_2 \wedge e_3)=e_1\wedge e_2 + 2e_1 \wedge e_3 +e_2\wedge e_3 [/mm].
Also ist die erste Spalte der neuen Matrix, die ja das Bild von dem ersten Einheitsvektor ausgedrückt in der Basis ist 1,2,1. Natürlich nur, falls ich mich nicht wieder verrechnet habe. Wenn du noch Anmerkungen zum vorletzten Schritt willst, dann schau noch mal bei meiner Antwort auf die parallele Frage nach.
Grüße
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:09 So 09.07.2006 | | Autor: | tempo |
hi, ich war mal so frei und habe den einen beitrag als fehlerhaft markiert... also ich sitze auch vor der aufgabe und habe da noch ein paar fragen zu diesem thema. als erstes sag ich mal danke für deine beiträge peterb, hat mich wirklich weitergebracht! aber laut meiner rechnung ist die matrix (von ttgirltt) nicht regulär, also rang < 3 bzw. 2 und nach weiterer rechnung habe ich für die matrix
[mm] \Lambda^{2} \phi [/mm] = [mm] \pmat{ 5 & 5 & -5 \\ 2 & 2 & -2 \\ 1 & 1 & -1 } [/mm] raus, und da wär ich auch bei meinen fragen:
ist es möglich das [mm] \phi [/mm] grösseren rang hat als [mm] \Lambda^{2} \phi [/mm] ? oder habe ich mich irgendwo verrechnet... und wieso ist das ergebnis von [mm] \Lambda^2 \phi)(e_1\wedge e_2) [/mm] die erste spalte, ... [mm] (e_1 \wedge e_3) [/mm] die zweite spalte und ... [mm] (e_2 \wedge e_3) [/mm] die dritte spalte??? wäre es nicht logischer/sinnvoller wenn [mm] ...(e_1 \wedge e_2) [/mm] die dritte spalte wär, [mm] ...(e_1 \wedge e_3) [/mm] die zweite spalte, usw. ???
ps. und ist schonmal jemandem aufgefallen das [mm] \Lambda^2 \phi)(e_1\wedge e_2) [/mm] das kreuzprodukt von [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] ist das auf dem "kopf steht" und nur der 2.te eintrag mal (-1) ist ???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:43 Di 11.07.2006 | | Autor: | PeterB |
Hallo,
sorry, wegen der späten Antwort. Tja, ich kann eben wirklich nicht rechnen. Rang 2 für [mm] \phi [/mm] ist natürlich richtig.
Die Anordnung der Spalten, bzw. Zeilen hängt natürlich von der Anordnung der Basisvektoren ab. Die von dir vorgeschlagene Ordnung hat natürlich etwas für sich, der Grund warum sie von vielen Autoren (und von mir) nicht benutzt wird, ist der, dass sie nur Sinn macht, für Produkte von n-1 Vektoren im n dimensionalen Raum, dass man aber eigentlich immer alle Produkte von m Vektoren für [mm] m \le n [/mm] betrachten will.
Was die Sache mit dem Rang betrifft, gilt: [mm] dim(W\wedge W)=\frac 1 2 (dim W -1)(dim W) [/mm]. Das heißt deine Berechnungen sind konsitent mit meiner unbewiesenen Behauptung, dass [mm] Bild (\Lambda^2 \phi)=\Lambda^2(Bild \phi) [/mm]. (Diese Behautung ist allerdings fast nach Definition richtig.)
Die Bemerkung mit dem Kreuzprodukt sollte irgendwie daraus folgen, dass beide Beschreibungen alternierend sind, und senkrecht auf den Bildern von [mm] e_1 [/mm] und [mm] e_2 [/mm] stehen. Ich habe da jetzt aber nicht mehr näher drüber nachgedacht, aber dass sollte dann in beliebigen Dimensionen (aber immer in codim 1) gelten.
Grüße
Peter
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Was wäre denn wenn da [mm] \Lambda^{3} [/mm] steht geht das denn da alles überhaupt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Sa 22.07.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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