Kern und Bild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:11 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo,
kann mir einer villeicht erklären was der UNTERSCHIED zwischen
1) Kern einer Matrix und Kern einer linearen Abbildung ist,
2) sowie Bild einer Matrix und einer linearen Abbildung.
3) Es wäre schön wenn ihr mir auch sagen könntet, wie ich jeweils bei den Aufgaben vorgehen muss.
Dankeschönn : )
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo,
> kann mir einer villeicht erklären was der UNTERSCHIED
> zwischen
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> 1) Kern einer Matrix und Kern einer linearen Abbildung
> ist,
> 2) sowie Bild einer Matrix und einer linearen Abbildung.
>
Hallo,
wenn Du eine Matrix [mm] A\in K^{m\times n} [/mm] hast,
dann ist [mm] BildA:=\{Ax| x\in K^n},
[/mm]
und wenn f eine lineare Abbildung aus dem [mm] K^n [/mm] in den [mm] K^m [/mm] ist, ist [mm] Bildf:=\{f(x)|x\in K^n}.
[/mm]
Wenn A die Darstellungsmatrix von f ist, dh. f(x)=Ax, denn ist Bildf=BildA.
Entsprechend für den Kern:
[mm] KernA=\{x\in K^n| Ax=0\},
[/mm]
[mm] Bildf=\{x\in K^n| f(x)=0\},
[/mm]
und wenn A die Darstellungsmatrix von f ist, dann ist KernA=Kernf.
> 3) Es wäre schön wenn ihr mir auch sagen könntet, wie
> ich jeweils bei den Aufgaben vorgehen muss.
Dann müßtest Du uns mal die Aufgaben verraten - und auch Deine Lösungsversuche dazu.
LG Angela
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> Dankeschönn : )
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:11 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo,
die Definitionen zum Kern und Bild habe ich mir schon angeschaut. Nur ich verstehe sie nicht. Könntest du das bitte etwas genauer erläutern.
Ich wollte nur wissen wie man allgemein bei solchen Aufgaben rangeht. Wenn man z.B. den Rang ausrechnen muss, sagt man ja auch erst mal in die Zeilenstufenform bringen.
Nach soetwas hatte ich gefragt :(
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:19 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Jetzt habe ich verstanden, wie man den Kern und das Bild einer Matrix bestimmt. Beim Kern einer Matrix ist die Lösungsmenge des homogenen LGS das Ergebnis und beim Bild die linear unabhängigen Spaltenvektoren.
1) Zur obigen Erklärung habe ich allerdings noch eine Frage. Beim Kern einer Matrix ist die Lösungsmenge des homogenen LGS das Ergebnis. Was ist eigentlich wenn ich ein inhomogenes GS gegeben habe? Wie bestimme ich dann den Kern??
2)Und wie verläuft das bei lineraren Abbildungen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:04 So 19.02.2012 | | Autor: | moody |
> Beim Kern einer Matrix ist die
> Lösungsmenge des homogenen LGS das Ergebnis
> homogenen LGS das Ergebnis. Was ist eigentlich wenn ich
> ein inhomogenes GS gegeben habe? Wie bestimme ich dann den
> Kern??
Der Kern wird auch Nullraum genannt, er beinhaltet alle Lösungen [mm] \vec{x} [/mm] für die auf den Nullvektor abgebildet wird. Beantwortet das deine Frage?
Zum zweiten Teil, das hat Angela dir ja bereits geschrieben:
> und wenn A die Darstellungsmatrix von f ist, dann ist KernA=Kernf.
Ich mach die Frage oben mal zu.
lg moody
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:45 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo,
ich danke für die Antworten :) Ich habe gerade so oft Kern und Bild in unterschiedlichen Definitionen gesehen, weshalb ich verwirrt war.
Mittlerweile habe ich das mit Kern und Bild linearer ABb. und Matrizen verstanden.
Aber jetzt habe ich noch eine weitere Frage und zwar habe ich die Formel
dim=dim(kern)+dim(bild) gesehen.
Dim(bild)= gleich der Rang
und wie kommt man nun auf dim(kern)??
Entschuldigung für meine Unwissenheit
LG
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:14 So 19.02.2012 | | Autor: | moody |
Du meinst die Dimensionsformel oder auch Rangsatz:
$dim(Kern(A)) + dim(Bild(A)) = n, n = Spaltenanzahl$
Für eine 3x5 Matrix mit rg(A) = 3 ist die Dimension des Kerns gleich 2.
$dim(Kern(A)) + 3 = 5, n = Spaltenanzahl$
Auf der anderen Seite kannst du auch sagen die Dimension des Kerns ist gleich der Anzahl der freiwählbaren Parameter.
> Entschuldigung für meine Unwissenheit
Hier ist auch niemand allwissend :)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:30 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Danke dieses Beispiel hat zum Verständnis geführt.
>
> Auf der anderen Seite kannst du auch sagen die Dimension
> des Kerns ist gleich der Anzahl der freiwählbaren
> Parameter.
>
Aber ich verstehe die Aussage mit dem Parameter nicht.
Und gibt es auch einen anderen Weg. Dim(kern) zu berechnen.
Die Formel würde ich ja gerade dafür nutzen, um die Dimension auszurechnen und nicht gleich der Dimensionslösung zu setzen :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 So 19.02.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
du suchst die Menge der lin unabh Vektoren x, die Ax=0 [mm] x\in [/mm] V erfüllen.
die bilden den Kern, einen UV von V
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:27 So 19.02.2012 | | Autor: | chara18 |
Hallo,
nach bisschen Überlegen habe ich jetzt alles verstanden. Ich danke Euch für die schnellen Rückantworten.
LGe
Nadin
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