Kern und Bildberechnung einer < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:56 Di 08.11.2005 | | Autor: | spiller |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Anscheinend habe ich ein Brett vor dem Kopf. Ich bearbeite diese Aufgabe schon seit einigen Stunden, komme jedoch zu keiner gescheiten Lösung bzw. zu gar keiner. Es wäre sehr nett wenn mir jemand bei der Lösung helfen könnte. Wenn es geht auch mit Zwischenschritten für das bessere Verständniss. Hier nur die Aufgabe:
Sei f: [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm][mm]\mapsto[/mm][mm] \pmat{ x & y & z \\ x & -y & z \\ x & 0 & z } [/mm] eine lineare Abbildung. Geben Sie Kern(f) und Bild(f) an.
Wäre sehr nett wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge helfen könntet.
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> Anscheinend habe ich ein Brett vor dem Kopf. Ich bearbeite
> diese Aufgabe schon seit einigen Stunden, komme jedoch zu
> keiner gescheiten Lösung bzw. zu gar keiner.
Hallo,
schade, daß Du das, was Du bisher überlegt hast, nicht mitteilst.
Daher nur ein paar allgemeine Hinweise:
Ist Dir bei der Abbildung f klar, was der Ursprungs- und was der Zielraum ist?
f : [mm] \IR^3 \to \IR^{3x3}
[/mm]
Welches ist die Null im [mm] \IR^3? [/mm] Und welches im [mm] \IR^{3x3}?
[/mm]
Weißt du, wie der Kern einer Abbildung definiert ist?
Die Definition ist doch schon Programm dafür, was man zu tun hat, wenn man den Kern einer Abbildung bestimmen soll.
Was machen lineare Abbildungen mit Erzeugendensystemen? Worauf wird ein Erzeugendensystem des Ursprungsraumes abgebildet? Dies sagt Dir, wie Du zum Bild der Abbildung f kommen kannst.
Weißt du, woran man erkennt, daß eine lineare Abbildung injektiv ist?
Weißt Du, was Injektivität einer linearen Abbildung für das Bild einer Basis bedeutet?
Wenn Du diese Fakten kennst - und Du solltest sie kennen oder schnell kennenlernen - kannst du Dich getrost andie Aufgabe heranmachen.
Wenn Du an einer bestimmten Stelle hängst, hilft Dir gewiß jemand weiter.
Gruß v. Angela
Es wäre sehr
> nett wenn mir jemand bei der Lösung helfen könnte. Wenn es
> geht auch mit Zwischenschritten für das bessere
> Verständniss. Hier nur die Aufgabe:
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> Sei f: [mm]\vektor{x \\ y \\ z}[/mm][mm]\mapsto[/mm][mm] \pmat{ x & y & z \\ x & -y & z \\ x & 0 & z }[/mm]
> eine lineare Abbildung. Geben Sie Kern(f) und Bild(f) an.
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> Wäre sehr nett wenn ihr mir ein wenig auf die Sprünge
> helfen könntet.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:37 Mi 09.11.2005 | | Autor: | spiller |
Erstmal danke für die Hinweise. Ich habe jetzt erstmal den Kern(f) berechnet. Hier mal kurz mein Rechenweg:
Schritt 1: Gleichung nach Gauss vereinfacht
[mm]\pmat{ 0 & y & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ x & 0 & z }[/mm]
Schritt 2: Gleichungen abgelesen und aufgestellt
y = 0 ; x=-z ; z =z
Aufgrund dieser Gleichungen bin ich zu folgenden Kern gekommen:
[mm]\vektor{-z \\ 0 \\ z}[/mm]
Ist dieser Kern korrekt?
Stehe ich also nur noch vor dem Problem das Bild(f) herauszufinden. Um dies jedoch herauszufinden scheitert es bei mir schon von anfang an. Ich habe absolut keine Ahnung was dort berechnet werden muss geschweige denn was es ist. Kann mir nochmals jemand auf die Sprünge helfen.
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> Erstmal danke für die Hinweise. Ich habe jetzt erstmal den
> Kern(f) berechnet. Hier mal kurz mein Rechenweg:
Hallo,
irgendwie bist Du auf dem falschen Dampfer.Der Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] wird doch nicht abgebildet auf eine Gleichung, sondern auf eine Matrix!
Weißt Du inzwischen, was der Kern einer Abbildung ist?
Der Kern ist doch all das, was auf die Null abgebildet wird. Was ist die Null im [mm] \IR^{3x3}?
[/mm]
Es ist die Nullmatrix!!!
Also ist Kern f={ [mm] \vektor{x \\ y \\ z } \in \IR^3: [/mm] f( [mm] \vektor{x \\ y \\ z })= \pmat{ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm] }
Diese [mm] \vektor{x \\ y \\ z } [/mm] mußt Du nun bestimmen. Weißt Du, wann zwei Matrizen gleich sind? Wenn sie in allen Komponenten übereinstimmen.
Nun solltest Du hiermit keine Schwierigkeiten mehr haben.
Der Bildraum ist der Raum, welcher vom Bild einer Basis aufgespannt wird. Wenn Du Dich mit denen in meiner ersten Antwort gestellten Fragen auseinandergesetzt hast - und das wirst Du müssen -, weißt Du das inzwischen längst.
Somit ist doch klar, was Du für Bildraum zu tun hast: Basis her, Bild der Basis bilden, den aufgespannten Raum angucken bzw. aufschreiben.
Du brauchst das für diese Aufabe nicht uuuuuuuuuunbedingt, aber für den weiteren Verlauf der Vorlesung und 1001 Übungsaufgaben mußt Du wissen, was man aus Kern f=0 schließen kann, und die Zusammenhänge zwischen der Dimension des Kerns und des Bildes kennen.
Erstmal bin ich aber gespannt auf Deinen Kern.
Gruß von Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:27 Do 10.11.2005 | | Autor: | spiller |
Ich habe heute mit meinem Professor über diese Aufgabe geredet und der hat mir bestätigt das mein errechneter Kern genau richtig sei. Vielleicht hast du dich irgendwie vertan....was hattest du denn als Kern heraus wenn ich das erfahren darf?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:55 Fr 11.11.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo spiller!
Also, Professor hin oder her - So, wie du die Aufgabe angegeben hast, ist deine Lösung falsch, dein Ansatz nicht nachvollziehbar und Angelas Kommentare absolut richtig. 
Der Kern besteht offenbar nur aus dem Nullvektor...
Liebe Grüße
Stefan
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