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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:52 Fr 11.01.2008 | | Autor: | skydyke |
| Aufgabe | Es sei V der Vektorraum aller beliebig oft differenzierbaren Funktionen [mm] \IR \rightarrow \IR. [/mm] Es sei D : V [mm] \rightarrow [/mm] V der Ableitungsoperator.
a) Es sei L=D-I, wobei I : V [mm] \rightarrow [/mm] V die Identität ist, d.h. für alle f [mm] \in [/mm] V gilt: If = f. Bestimmen Sie Ker L.
b) Nun sei L = D-aI mit einer reellen Zahl a. Bestimmen sie Ker L. |
Hallo.
Also bei dieser Aufgabe fehlt mir leider komplett der Ansatz.
Was der Ableitungsoperator ist, ist ja klar, aber das war auch schon.
Bin für jeden Ansatz dankbar.
Liebe Grüße
Sabrina
P.S:
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Es sei V der Vektorraum aller beliebig oft
> differenzierbaren Funktionen [mm]\IR \rightarrow \IR.[/mm] Es sei D
> : V [mm]\rightarrow[/mm] V der Ableitungsoperator.
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> a) Es sei L=D-I, wobei I : V [mm]\rightarrow[/mm] V die Identität
> ist, d.h. für alle f [mm]\in[/mm] V gilt: If = f. Bestimmen Sie Ker
> L.
>
> b) Nun sei L = D-aI mit einer reellen Zahl a. Bestimmen sie
> Ker L.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
L ist eine Abbildung, welche aus dem Vektorraum der beliebig oft differenzierbaren reellen Funktionen in den Vektorraum dieser Funktionen abbildet.
Die Objekte, auf die L angewendet wird, sind also Funktionen, es ist wichtig, daß man sich das erstmal klar macht.
Jetzt schauen wir mal, was L mit Funktionen tut:
Sei [mm] f\in [/mm] V
Es ist L(f):=(D-I)(f)=D(f)-I(f)=f'-f.
So sieht das Ganze doch schon recht verständlich aus, oder?
Daß die Identät auf V und D linear sind, habt Ihr bestimmt schon im Vorfeld gezeigt, also ist auf L linear.
Gefragt ist nun nach dem Kern von L, also nach der Menge aller [mm] g\in [/mm] V, für welche
L(g)=g'-g=n mit n(x):=0 für alle [mm] x\in \IR. [/mm] (n ist die Null in V.)
Ich denke, daß Deine Frage und Ratlosigkeit in erster Linie dem gegolten hat, was ich oben erklärt habe, und daß Du nun allein weiterversuchen kannst. (Das was jetzt noch zu überlegen ist, ist ja eher Gegenstand der Analysis.)
Gruß v. Angela
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