Kernbestimmung und Urbild < Abbildungen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:29 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Nelius2 |
| Aufgabe | Die lineare Abbildung f:R³ [mm] \mapsto [/mm] R³ sei durch folgende Angaben definiert:
f(1,0,0)=(-1,1,3) |
Bestimmen Sie den Kern von f!
Welche Punkte xeR³ haben kein Urbild unter f? </task>
Wie geht man an diese Aufgabe ran? Ich kann mit der Schreibweise nichts anfangen.
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Der [mm] \IR^3 [/mm] hat eine Basis mit 3 Elementen. Es reicht nicht, wenn man nur den Funktionswert eines Vektors - hier (1|0|0) - kennt, man muss auch die Funktionswerte von zwei weiteren linear unabhängigen Ausgangsvektoren kennen, z.B. von (0|1|0) und (0|0|1) (es können aber auch andere sein). So ist die Aufgabe nicht lösbar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:38 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Nelius2 |
So steht sie leider genau auf meinem Blatt.:-( Es gibt sonst keine Möglichkeit, den Kern zu bestimmen ohne dass man weitere Vektoren gegeben hat? Ich kann deine Erklärung schon nachvollziehen, dachte nur vllt ist mir etwas entgangen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:40 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Nelius2 |
| Aufgabe | | f(1,0,0)=(-1,1,3) f(0,1,0)=(0,6,3) f(0,0,1)=(2,4,-1) |
Sorry ich hab gedacht, das wären 3 verschiedene Aufgabenteile. Also das ist dann die gesamte Aufgabenstellung mit Kernbestimmung und welche Punkte xeR³ kein Urbild unter f haben.
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Hallo Nelius2,
> f(1,0,0)=(-1,1,3) f(0,1,0)=(0,6,3)
> f(0,0,1)=(2,4,-1)
> Sorry ich hab gedacht, das wären 3 verschiedene
> Aufgabenteile. Also das ist dann die gesamte
> Aufgabenstellung mit Kernbestimmung und welche Punkte xeR³
> kein Urbild unter f haben.
Nun, stelle die Abbildungsmatrix (Darstellungsmatrix) von $f$ bzgl. der Standardbasis auf.
Das musst du ja nur hinschreiben.
An der Darstellungsmatrix kannst du [mm] $\operatorname{ker}(f)$ [/mm] und [mm] $\operatorname{im}(f)$ [/mm] bestimmen.
Schaue nach, wie der Kern mit der Darstellungsmatrix zusammenhängt.
Ein Tipp noch:
Die Spaltenvektoren der Darstellungsmatrix spannen das Bild von f auf ...
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Mo 31.05.2010 | | Autor: | Nelius2 |
| Aufgabe | Nun hab ich die Darstellungsmatrix
(-1 0 2)
(1 6 4)
(3 3 -1)
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Wie mache ich jetzt weiter mit Bild- &Kernbestimmung? Muss ich was beachten?
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Hallo nochmal,
> Nun hab ich die Darstellungsmatrix
> (-1 0 2)
> (1 6 4)
> (3 3 -1)
>
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Wie mache ich jetzt weiter mit Bild- &Kernbestimmung? Muss
> ich was beachten?
Nein, geht wie üblich.
Beginne mit dem Bild ...
Dann ist der Rest klar ...
Nochmal die Erinnerung: die Spalten(vektoren) spannen das Bild auf.
Untersuche sie auf lineare Unabh.
Denke mal an den Rang der Matrix und daran, dass Zeilenrang=Spaltenrang ...
Was musst du also tun?
Schlage auch mal im Skript nach.
Eine solche Aufgabe fällt ja wohl kaum vom Himmel, ihr werdet irgendwas dazu in der VL gemacht haben ...
Nun leg mal los
Gruß
schachuzipus
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Multipliziere nun die Matrix mit dem Vektor [mm] \vektor{x \\ y \\z} [/mm] und setze das Ergebnis auf [mm] \vektor{0 \\ 0 \\0}. [/mm] Bestimme alle Lösungen [mm] \vektor{x \\ y \\z}, [/mm] für die [mm] \vektor{0 \\ 0\\0} [/mm] herauskommt. Diese bilden einen Untervektorraum, der dann ker(f) heißt.
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