Kettenbruch Konvergenz < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mo 28.12.2009 | | Autor: | TNA-619 |
Ich habe diese Frage auch hier
http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=406247
gestellt. (noch keine Antwort)
Hi,
habe folgende Aufgabe bekommen:
Bestimme:
[mm] 1+\frac{1}{2+\frac{1}{2+\frac{1}{2+...}}}
[/mm]
ist nicht wirklich schwierig:
Der Wert ist die positve Lösung von:
[mm] x-1=\frac{1}{x+1},
[/mm]
also [mm] \sqrt{2}
[/mm]
allerdings muss man doch hier bereits annehmen, dass es diese Zahl gibt, bzw. dass der Grenzwert der Kettenbruchentwicklung existiert.
Wie kann ich das also zeigen?
Die Näherungsbrüche sind offensichtlich durch 1 und 2 beschränkt. Allerdings ist die Folge nicht monoton.
Von Wikipedia:
Sei [mm] b_n>0 [/mm] für alle n. Dann konvergiert der Kettenbruch [mm] \underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i} [/mm] genau dann, wenn die Reihe [mm] \sum_{i=1}^\infty b_i [/mm] divergiert.
Daraus würde die Konvergenz unmittelbar folgen - aber ich will auch keinen Satz verwenden, den ich vorher noch nie gehört habe...
daher wäre ich für eine Beweisskizze für diesen Satz sehr dankbar
natürlich sind auch andere Konvergenzbeweise gern gesehen ;)
(Cauchy'sches Konvergenzkriterium vielleicht? die Kettenbrüche sind so unschön zum Rechnen :D)
grüße :)
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Hallo TNA-619,
lies doch mal den ersten Satz in ![[]](/images/popup.gif) diesem Abschnitt.
Wenn Du den Grenzwert des Kettenbruchs schon bestimmen konntest, dann konvergiert der Kettenbruch auch.
lg
reverend
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:25 Mo 28.12.2009 | | Autor: | TNA-619 |
Ok, danke reverend
Weiß jemand, wie man diesen Konvergenzsatz
Sei [mm]b_n>0[/mm] für alle n. Dann konvergiert der Kettenbruch [mm]\underset{i=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{b_i}[/mm] genau dann, wenn die Reihe [mm]\sum_{i=1}^\infty b_i[/mm] divergiert.
beweist?
Demnach müsste
[mm]\underset{n=1}{\overset{\infty}{\mathbf{K}}} \frac{1}{\frac 1 n}[/mm] konvergieren (weil die harmonische Reihe divergiert)
hab mal bis 10000 ausrechnen lassen und bin auf etwa
[mm]\underset{n=1}{\overset{10000}{\mathbf{K}}} \frac{1}{\frac 1 n}\approx 0.5708[/mm] gekommen. Ist der genaue Wert bekannt?
(Es konvergiert ziemlich langsam...die harm. Reihe war wohl ein schlechtes Beispiel ;) )
grüße
PS: Kennt jemand irgendwelche Artikel (Links?) oder Bücher, die sich mit Kettenbrüchen beschäftigen? Das Thema interessiert mich :)
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Hallo nochmal,
lies mal hier die Seiten 507 bis 513. (Auszug aus Otto Stolz, Josef Anton Gmeiner, Einführung in die Funktionentheorie, Leipzig 1905 u.ö.)
lg
reverend
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