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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:48 Mo 30.06.2008 | | Autor: | Ole-Wahn |
| Aufgabe | Sei [mm] $\alpha=[a_1,a_2,a_3,...]\notin \IQ$.Zeige:
[/mm]
1) [mm] $-\alpha=[-a_1,-1,1,a_2-1,a_3,a_4,...]$ [/mm] falls [mm] $a_2>1$
[/mm]
[mm] 2)$-\alpha=[-a_1-1,a_3+1,a_4,a_5,...]$ [/mm] fals [mm] $a_2=1$.
[/mm]
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Hallo,
irgendwie ist mir die Aufgabe ein Rätsel- ist die Kettenbruchdarstellung nicht eindeutig?
[mm] $-\alpha$ [/mm] ist ja in jedem Fall wie folgt darzustellen:
[mm] $-\alpha=-[a_1,a2,...]=-a_1 [/mm] - [mm] \frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+...}}=-a_1 +\frac{1}{-a_2+\frac{1}{-a_3+...}}=[-a_1,-a_2,...]$
[/mm]
Wie kann ich jetzt bitte an diesem unendlichen Kettenbruch Umformungen vornehmen, sodass ich auf die gewünschte Darstellung komme? Und warum spielt [mm] $a_2$ [/mm] da so eine Sonderrolle?
lg,
Ole
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:37 Mo 30.06.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo Ole
> Sei [mm]\alpha=[a_1,a_2,a_3,...]\notin \IQ[/mm].Zeige:
>
> 1) [mm]-\alpha=[-a_1,-1,1,a_2-1,a_3,a_4,...][/mm] falls [mm]a_2>1[/mm]
Meinst du nicht eher [mm] $[-a_1-1,1,a_2-1,a_3,a_$,...]$?
[/mm]
> 2)[mm]-\alpha=[-a_1-1,a_3+1,a_4,a_5,...][/mm] fals [mm]a_2=1[/mm].
>
>
> Hallo,
>
> irgendwie ist mir die Aufgabe ein Rätsel- ist die
> Kettenbruchdarstellung nicht eindeutig?
Doch, ist sie.
> [mm]-\alpha[/mm] ist ja in jedem Fall wie folgt darzustellen:
>
> [mm]-\alpha=-[a_1,a2,...]=-a_1 - \frac{1}{a_2+\frac{1}{a_3+...}}=-a_1 +\frac{1}{-a_2+\frac{1}{-a_3+...}}=[-a_1,-a_2,...][/mm]
Nein, das ist keine Kettenbruchentwicklung, da die Koeffizienten ab dem ersten alle [mm] $\ge [/mm] 1$ sein sollen: bei dir sind sie [mm] $\le [/mm] -1$.
> Wie kann ich jetzt bitte an diesem unendlichen Kettenbruch
> Umformungen vornehmen, sodass ich auf die gewünschte
> Darstellung komme?
Es ist doch [mm] $\alpha [/mm] = [mm] a_1 [/mm] + [mm] \frac{1}{a_2 + \frac{1}{a_3 + \frac{1}{\beta}}}$, [/mm] wobei [mm] $\beta [/mm] = [mm] [a_4, a_5, \dots]$ [/mm] ist.
Du willst also im Fall [mm] $a_2 [/mm] > 1$ zeigen, dass [mm] $-\alpha [/mm] = [mm] -a_1 [/mm] - 1 + [mm] \frac{1}{1 + \frac{1}{a_2 - 1 + \frac{1}{a_3 + \frac{1}{\beta}}}}$. [/mm] Und im Fall [mm] $a_2 [/mm] = 1$, dass [mm] $-\alpha [/mm] = [mm] -a_1 [/mm] - 1 + [mm] \frac{1}{a_3 + 1 + \frac{1}{\beta}}$ [/mm] ist.
Du musst also einfach nachrechnen, dass dies so stimmt; sprich: setz das [mm] $\alpha$ [/mm] ein!
> Und warum spielt [mm]a_2[/mm] da so eine Sonderrolle?
Weil wenn das gleich $1$ ist, dann ist [mm] $a_2 [/mm] - 1 = 0$, und das ist kein gueltiger Koeffizient mehr. Und da sich $[0, x, y, ...]$ wie [mm] $\frac{1}{[x, y, ...]}$ [/mm] verhaelt muss man dann halt etwas tricksen.
LG Felix
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