www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferenzialrechnungKettenregel
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Differenzialrechnung" - Kettenregel
Kettenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kettenregel: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:47 Sa 26.04.2008
Autor: AbraxasRishi

Aufgabe
f(x) = [mm] x^3*\wurzel{x+27}[/mm]

Löse mithilfe der Produktregel und eingeschränkten Kettenregel.

Hallo!

Habe Probleme mit dieser Aufgabe. Kann zwar sowohl Prudukt als auch Kettenregel getrennt anwenden, scheinbar bereitet mir die Kombination aber noch Schwierigkeiten.

Bin folgendermaßen vorgegangen:

Ableitung:

[mm] \wurzel{x+27}= 0,5(x+27)^-^0^,^5[/mm]

und

[mm] x^3 [/mm] = [mm] 3x^2 [/mm]

weiter mit der Produktregel:

f'(x) =  [mm] 0,5(x+27)^-^0^,^5*x^3+3x^2(x+27)^0^,^5[/mm]

Ergebniss sollte aber f(x) = [mm] x^2*\wurzel{x+27}*(\bruch{1}{2(x+27)}+3)[/mm]  sein.

Könnte mir bitte jemand schrittweise erklären wie man zu diesem Ergebniss kommt?

Bei einer weiteren Rechnung f(x) = [mm] \wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}[/mm]  komme ich ebenfalls nicht weiter.
Könnte ich in diesem Fall nicht einfach die Außdrücke unter den Wurzeln ausmultiplizieren, und den erhaltenen Außdruck ableiten?( f'(x) = 6x +26)

Wenn ich getrennt nach der Produktregel ableite erhalte ich f'(x)= [mm] 0,5(x+6)^-^0^,^5*(3x+8)^0^,^5+1,5(3x+8)^-^0^,^5*(x+6)^0^,^5 [/mm] und nicht wie angegeben:

f(x) = [mm]\bruch{\wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}}{2}(\bruch{1}{x+6}+\bruch{3}{3x+8})[/mm]


Vielen Dank im Voraus!

Gruß

Angelika


        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:11 Sa 26.04.2008
Autor: schachuzipus

Hallo Angelika,

> f(x) = [mm]x^3*\wurzel{x+27}[/mm]
>  
> Löse mithilfe der Produktregel und eingeschränkten
> Kettenregel.
>  Hallo!
>  
> Habe Probleme mit dieser Aufgabe. Kann zwar sowohl Prudukt
> als auch Kettenregel getrennt anwenden, scheinbar bereitet
> mir die Kombination aber noch Schwierigkeiten.
>  
> Bin folgendermaßen vorgegangen:
>  
> Ableitung:
>  
> [mm]\wurzel{x+27}= 0,5(x+27)^-^0^,^5[/mm] [ok]

Kleiner Tipp: schreibe die Exponenten in geschweifte Klammern { }

So ergibt etwa (x+27)^{-0,5} dies: [mm] $(x+27)^{-0,5}$ [/mm]

>
> und
>  
> [mm]x^3[/mm] = [mm]3x^2[/mm] [ok]
>  
> weiter mit der Produktregel:
>  
> f'(x) =  [mm]0,5(x+27)^-^0^,^5*x^3+3x^2(x+27)^0^,^5[/mm] [ok]

perfekt!

>  
> Ergebniss sollte aber f(x) =
> [mm]x^2*\wurzel{x+27}*(\bruch{1}{2(x+27)}+3)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

  sein.

>  
> Könnte mir bitte jemand schrittweise erklären wie man zu
> diesem Ergebniss kommt?

Das ist nur zusammengefasst, erweitere die $(x+27)^{-0,5}$ auf der linken Seite mit $\blue{\sqrt{x+27}}$

Das gibt von deinem Ausdruck ausgehend: $0,5(x+27)^{-0,5}*x^3+3x^2(x+27)^{0,5}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{\sqrt{x+27}}\cdot{}x^3+3x^2\cdot{}\sqrt{x+27}$

$=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\blue{\sqrt{x+27}}}{\sqrt{x+27}\cdot{}\blue{\sqrt{x+27}}}\cdot{}x^3+3x^2\cdot{}\sqrt{x+27}=\frac{1}{2}\cdot{}\frac{\sqrt{x+27}}{x+27}\cdot{}x^3+3x^2\sqrt{x+27}$

Nun kannst du $\red{x^2\sqrt{x+27}}$ ausklammern:

$=\red{x^2\sqrt{x+27}}\cdot{}\left(\frac{1}{2}\cdot{}\frac{1}{x+27}\cdot{}x+3}\right)$

>  
> Bei einer weiteren Rechnung f(x) =
> [mm]\wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}[/mm]  komme ich ebenfalls nicht
> weiter.
>  Könnte ich in diesem Fall nicht einfach die Außdrücke
> unter den Wurzeln ausmultiplizieren [ok]

Das kannst du machen, dann bekommst du: [mm] $f(x)=\sqrt{(x+6)(3x+8)}=\sqrt{3x^2+26x+48}$ [/mm]

Das kannsst du dann wieder mit der Kettenregel ableiten und soltest auf dein weiter unten errechnetes Ergebnis kommen

> , und den erhaltenen
> Außdruck ableiten?( f'(x) = 6x +26) [notok]
>  
> Wenn ich getrennt nach der Produktregel ableite erhalte ich
> f'(x)=
> [mm]0,5(x+6)^-^0^,^5*(3x+8)^0^,^5+1,5(3x+8)^-^0^,^5*(x+6)^0^,^5[/mm] [daumenhoch]

Das ist richtig

> und nicht wie angegeben:
>
> f(x) =
> [mm]\bruch{\wurzel{x+6}*\wurzel{3x+8}}{2}(\bruch{1}{x+6}+\bruch{3}{3x+8})[/mm]

Das ist auch richtig und ist äquivalent zu deinem Ergebnis, du kannst dein Ergebnis wie bei der anderen Aufgabe schön zusammenfassen und solltest dann auf den obigen Ausdruck kommen


> Vielen Dank im Voraus!
>  
> Gruß
>  
> Angelika
>  


Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:28 Sa 26.04.2008
Autor: AbraxasRishi

Danke vielmals für deine Mühe! Sehr verständlich erklärt!

Gruß

angelika

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differenzialrechnung"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]