Kettenregel < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Mo 23.06.2008 | | Autor: | banaenn |
wer kann mir die kettenregel begreifbar machen? ich schreibe morgen eine wichtige letzte mathe klausur, und ich begreife einfach nicht was es mit der ganzen geschichte auf sich hat.
vielen dank, vielleicht schon mal :)
das ist vielleicht etwas schwammig meine frage. also genauer: wann verwendet man sie? wie verwende ich sie.
ich hab da auch ein beispiel, welches mein lehrer an die tafel geschrieben hat, ich verstehe es allerdings nicht:
g(f(x))= [mm] (x^4 [/mm] +3)²
(g(f(x)))´= 2 [mm] (x^4+3)* [/mm] 4x³= [mm] 8x³*(x^4+3) [/mm] = [mm] 8x^7 [/mm] +24x³
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo banaenn,
Ok, es gilt ja
(f(g(x))' = f'(g(x)) * g'(x)
Oder in Worten: Die Ableitung von f(g(x)) ist die Ableitung von f an der Stelle g(x) mal die Ableitung von g an der Stelle x.
Es klingt schwieriger als es ist, aber eigentlich ist es nur einsetzen 
An deinem Beispiel:
[mm]f(g(x)) = (x^4 + 3)^2[/mm]
Am besten machst du alles Schritt für Schritt:
Was ist f(x) in deinem Beispiel, was ist g(x)?
Was ist demzufolge erstmal f'(x) und g'(x) ?
Wenn du f'(x) hast, setze anstatt x einfach erstmal g(x) ein (das ist dann f'(g(x)) also f' an der Stelle g(x)) und dann setzt du g(x) ein.....
Schreibs hier mal auf
Lieben Gruß,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:20 Mo 23.06.2008 | | Autor: | banaenn |
genau das mit dem einsetzen ist mein problem. welche zahl steht jetzt wofür? ich habe ja [mm] (x^4 [/mm] +3)² , nur meine mathematische sichtweite reicht nicht so weit das in (f(g(x))) einzufügen. ichb erkenne da irgendwie keinen zusammenhang...
ich bin beeindruckt wie schnell das hier geht. danke!
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Nunja, dann versuchen wirs mal Bildlich zu erklären
f(g(x)) <-- ganz natürlich heisst hier f die äußere Funktion und g die innere.
[mm](x^4+3)^2[/mm] <-- jetzt guck dir mal das an, was steht hier "aussen" und was steht "innen" ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Mo 23.06.2008 | | Autor: | banaenn |
( [mm] x^4 [/mm] + 3) steht innen. und dann [mm] g^5 [/mm] außen. ??
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Also [mm] x^4 [/mm] + 3 ist innen, aber warum [mm] g^5 [/mm] innen? Doch wohl eher [mm] g^2?
[/mm]
Was ist also f und was ist g?
Ergänze:
f(x) =
g(x) =
MfGm
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mo 23.06.2008 | | Autor: | banaenn |
ja ich meinte auch g²
f(x) ist g²
und g(x) ist [mm] (x^4 [/mm] +3) ?
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Hallo,
[mm] g(f(x))=(x^{4}+3)^{2}
[/mm]
[mm] f(x)=x^{4}+3, [/mm] steht innerhalb der Klammer, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:06 Mo 23.06.2008 | | Autor: | banaenn |
danke sehr :)
lg anne
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:06 Mo 23.06.2008 | | Autor: | ardik |
Hallo banaenn,
> wer kann mir die kettenregel begreifbar machen? [...]
> genauer: wann verwendet man sie?
Immer dann, wenn Du eine "verschachtelte" (der Mathematiker spricht von "verkettet", daher "Ketten"-Regel) Funktion hast - eine Funktion, bei der ein Ausdruck in einem anderen drin steckt:
Nimm z.B. zunächst die simple (nicht verschachtelte) Funktion [mm] $f(x)=x^2$.
[/mm]
Für x kannst du allerlei einsetzen, z.B. 5 oder [mm] $\wurzel{7}$ [/mm] oder Vollkornbrot, etc.
Dann bekommst Du
[mm] $f(5)=5^2$
[/mm]
[mm] $f(\wurzel{7})=\wurzel{7}^2=7$
[/mm]
[mm] $f(\text{Vollkornbrot})=(\text{Vollkornbrot})^2$
[/mm]
Nun nimm eine zweite Funktion, z.B. [mm] $g(x)=x^4+3$.
[/mm]
Statt des Vollkornbrotes kannst Du auch diese in f(x) einsetzen:
$f(\ g(x)\ )= [mm] \left(\ g(x)\ \right)^2$
[/mm]
oder direkt eingesetzt:
$f(\ [mm] x^4+3\ [/mm] )=(\ [mm] x^4+3\ )^2$
[/mm]
Nun hast Du eine Funktion in eine andere hineingeschachtelt (bzw. die beiden Verkettet).
Das ist schon mal die Funktion aus Deinem Beispiel (allerdings habe ich - bewusst - andere Buchstaben genommen).
Nun schaust Du, welche Funktion in der anderen steckt, welches also die "innere", welches die "äußere" ist.
Hier steckt [mm] $x^4+3$ [/mm] in der anderen, das ist also die innere Funktion (die ich $g(x)$ nenne), hier also: [mm] $g(x)=x^4+3$
[/mm]
nun streichst Du aus Deiner Ausgangsfunktion diesen inneren Teil raus und ersetzt ihn (und das x von $f(x)$) durch ein g: [mm] $f(g)=(g)^2=g^2$.
[/mm]
Das ist jetzt die äußere Funktion.
Nun prägst Du Dir als Kettenregel ein:
Äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Die äußere Ableitung ist: [mm] $f'(g)=\blue{2g}$
[/mm]
Die innere lautet: [mm] $g'(x)=\green{4x^3}$
[/mm]
Also zusammen: [mm] $f'(x)=\blue{2g}*\green{4x^3}$.
[/mm]
Und zum Schluss erinnerst Du Dich, das [mm] $g(x)=x^4+3$ [/mm] ist und setzt das wieder ein:
[mm] $f'(x)=\blue{2(x^4+3)}*\green{4x^3}$
[/mm]
Mit ein wenig Übung wirst Du einige dieser Schritte zusammenfassen, vor allem die letzten beiden (statt des einsamen g gleich die innere Funktion hinschreiben).
Ach ja, oft sollte man zum Schluss natürlich noch ein wenig "aufräumen", hier also ausmultiplizieren.
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:02 Mo 23.06.2008 | | Autor: | banaenn |
wow danke schön ardirk. das schrittweise anwenden hab ich gebraucht. vielen vielen dank. ich weiß zwar noch nicht wie ich das ganze morgen in der klausur verwirklichen kann, aber wenigstens sind jetzt vielleicht schon mal ansätze da. -vollkornbrot- daumen hoch ;)
vielen dank auch an die anderen :)
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