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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:22 Fr 05.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
eigentlich ist die Kettenregel ja Schulmathe, aber heute ist sie in einer mir unbekannten Form untergekommen:
[mm] \frac{d}{dt}v(\gamma(t))=
[/mm]
Wobei das "=" mit der Kettenregel begründet ist. Das kann ich nicht nachvollziehen. Ich kenne die Kettenregel nur so: u(v)=v'*u'(v)
Viele Grüße,
Rutzel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:31 Fr 05.06.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> Hallo,
>
> eigentlich ist die Kettenregel ja Schulmathe, aber heute
> ist sie in einer mir unbekannten Form untergekommen:
>
> [mm]\frac{d}{dt}v(\gamma(t))=[/mm]
>
> Wobei das "=" mit der Kettenregel begründet ist. Das kann
> ich nicht nachvollziehen. Ich kenne die Kettenregel nur so:
> u(v)=v'*u'(v)
Das ist der einfachste Fall, wenn die Funktionen u und v von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR$ [/mm] gehen. Oben ist aber [mm] $\gamma$ [/mm] eine Funktion von [mm] $\IR$ [/mm] nach [mm] $\IR^3$ [/mm] und v hat den [mm] $\IR^3$ [/mm] als Definitionsbereich. Daher ist
[mm] \frac{d}{dt}v(\gamma(t)) = \bruch{\partial v}{\partial x}(\gamma(t))*\frac{d}{dt}\gamma_x(t) + \bruch{\partial v}{\partial y}(\gamma(t))*\frac{d}{dt}\gamma_y(t) + \bruch{\partial v}{\partial z}(\gamma(t))*\frac{d}{dt}\gamma_z(t) [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:43 So 07.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
dankeschön
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:39 Mo 08.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
jetzt habe ich doch noch eine Frage: Benutzt du diese Kettenregel: http://www.mathepedia.de/Verallgemeinerte_Kettenregel.aspx ?
(Du schreibst [mm] \gamma_x [/mm] , was ich als x-te Komponente des Vektors verstehe)
Wo ist der Unterschied der Kettenregel auf der verlinkten Website und Deiner?
Viele Grüße,
Rutzel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:39 Di 09.06.2009 | | Autor: | felixf |
Hallo Rutzel
> jetzt habe ich doch noch eine Frage: Benutzt du diese
> Kettenregel:
> http://www.mathepedia.de/Verallgemeinerte_Kettenregel.aspx
> ?
Ja, siehe auch ![[]](/images/popup.gif) hier.
> (Du schreibst [mm]\gamma_x[/mm] , was ich als x-te Komponente des
> Vektors verstehe)
Ja, das sollte auch gemeint sein.
> Wo ist der Unterschied der Kettenregel auf der verlinkten
> Website und Deiner?
Es gibt keinen. Ob man das jetzt als verallgemeinerte Kettenregel bezeichnet oder einfach als Kettenregel ist recht egal. Man koennte die ``klassische'' Kettenregel auch einfach als ``spezielle Kettenregel'' bezeichnen ;)
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Di 09.06.2009 | | Autor: | Rutzel |
Hallo,
aber diese Kettenregel http://www.mathepedia.de/Verallgemeinerte_Kettenregel.aspx
gilt doch nur für funktionen von [mm] \IR^n->\IR
[/mm]
(mit der Wikipedia-Seite kann ich nicht viel anfangen, für mich steht da einfach nur die klassische Kettenregel)
Auf der englischen Wikipedia steht ein bisschen mehr: Kettenregel
Dort steht dann "If we considered [mm] \vec{r}=(u,v)...." [/mm] und dann das mit gradient*Ableitung. Allerdings kann ich diesen Schritt nicht nachvollziehen.
Oder anders ausgedrückt: ich sehe den Zusammenhang zwischen
[mm] {dz\over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}
[/mm]
und
[mm] \frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla [/mm] f [mm] \cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}
[/mm]
nicht.
Viele Grüße,
Rutzel
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> ich sehe den Zusammenhang zwischen
> (1) [mm]{dz\over dt}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}[/mm]
>
> und
> (2) [mm]\frac{\partial f}{\partial x}=\vec \nabla{f}\cdot \frac{\partial \vec r}{\partial x}[/mm]
>
> nicht.
Hallo Rutzel,
das liegt wohl an den Bezeichnungen, die ein
wenig wie Kraut und Rüben durcheinander gehen.
In der ersten Gleichung haben wir eine Funktion
[mm] f:\IR^2\to \IR [/mm] mit f(x,y)=z . Ferner sind x und y
von einem reellen Parameter t abhängig:
x=x(t) und y=y(t).
Die Rolle, welche t in der ersten Gleichung hat,
wird in der zweiten Gleichung von einer Variablen x
übernommen. Um die Konfusion etwas zu vermin-
dern, können wir dieses x zu t umtaufen. Ferner
dürfen wir anstatt [mm] \partial{f} [/mm] ebensogut [mm] \partial{z} [/mm] schreiben.
Dann lautet die zweite Gleichung neu:
(2) [mm]\frac{\partial z}{\partial t}=\vec \nabla{ f}\cdot \frac{\partial \vec r}{\partial t}[/mm]
Der Vektor [mm] \vec{r} [/mm] der zweiten Gleichung entspricht
dem [mm] \vektor{x\\y} [/mm] der ersten. Also ist
[mm] \vec{r}(t)=\vektor{x(t)\\y(t)}
[/mm]
und
[mm] \frac{\partial \vec r}{\partial t}=\vektor{dx \over dt\\dy \over dt}
[/mm]
Weiter können wir schreiben:
[mm] f(\vec{r})=f(x,y) [/mm] und [mm] \vec{\nabla}{f}=\vektor{\partial f \over \partial x\\\partial f \over \partial y}
[/mm]
Nun können wir das Skalarprodukt auf der rechten
Seite der (neuen) Gleichung (2) als Summe von
Produkten schreiben und kommen so exakt zur
Gleichung (1) .
LG Al-Chwarizmi
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