www.matheraum.de
Das Matheforum.
Das Matheforum des MatheRaum.

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer VeränderlichenKettenregel
Foren für weitere Studienfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Astronomie • Medizin • Elektrotechnik • Maschinenbau • Bauingenieurwesen • Jura • Psychologie • Geowissenschaften
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - Kettenregel
Kettenregel < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Kettenregel: Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 22:49 Mo 04.06.2012
Autor: Lustique

Aufgabe
Es sei $p$ die wie folgt definierte Abbildung

[mm] $p\colon (0,\infty)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, \quad p\begin{pmatrix}r\\ \phi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}.$ [/mm]

Des Weiteren sei [mm] $u\colon U\to\mathbb{R}^2$ [/mm] eine auf der offenen Menge [mm] $U\subseteq\mathbb{R}^2$ [/mm] zweimal stetig differenzierbare Funktion.

a) Berechnen Sie die folgenden partiellen Ableitungen auf [mm] $p^{-1}(U)$: [/mm]

    i) [mm] $\partial_r(u\circ [/mm] p)$

   ii) [mm] $\partial_r^2(u\circ [/mm] p)$

  iii) [mm] $\partial_\phi^2(u\circ [/mm] p)$

b) Weisen Sie auf der Menge [mm] $p^{-1}(U)$ [/mm] folgende Identität nach:

[mm] $(\Delta u)\circ p=\partial_r^2(u\circ p)+\frac{1}{r}\partial_r(u\circ p)+\frac{1}{r^2}\partial_\phi^2(u\circ [/mm] p).$

Hi, ich brauche mal wieder eure Hilfe, und zwar hapert es bei dieser Aufgabe bei mir schon daran, überhaupt zu erkennen, wie [mm] $u\circ [/mm] p$ auf [mm] $p^{-1}(U)$ [/mm] genau aussieht. Könntet ihr mir da vielleicht auf die Sprünge helfen?
Wenn ich das nicht mal habe, dann kann ich mir ja auch noch keine Gedanken um den Rest machen...

Ist [mm] $(u\circ [/mm] p)$ auf [mm] $p^{-1}(U)$ [/mm] einfach: [mm] $u\circ p\colon (0,\infty)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad u\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}$? [/mm]

Wie immer bin ich dankbar für alle Tipps!

(Ich befürchte bei dieser einen Frage wird es auch nicht bleiben, die Aufgabe sieht irgendwie nicht besonders nett aus...)

        
Bezug
Kettenregel: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:10 Di 05.06.2012
Autor: fred97


> Es sei [mm]p[/mm] die wie folgt definierte Abbildung
>
> [mm]p\colon (0,\infty)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^2, \quad p\begin{pmatrix}r\\ \phi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}.[/mm]
>
> Des Weiteren sei [mm]u\colon U\to\mathbb{R}^2[/mm] eine auf der
> offenen Menge [mm]U\subseteq\mathbb{R}^2[/mm] zweimal stetig
> differenzierbare Funktion.
>
> a) Berechnen Sie die folgenden partiellen Ableitungen auf
> [mm]p^{-1}(U)[/mm]:
>
> i) [mm]\partial_r(u\circ p)[/mm]
>  
> ii) [mm]\partial_r^2(u\circ p)[/mm]
>  
> iii) [mm]\partial_\phi^2(u\circ p)[/mm]
>
> b) Weisen Sie auf der Menge [mm]p^{-1}(U)[/mm] folgende Identität
> nach:
>
> [mm](\Delta u)\circ p=\partial_r^2(u\circ p)+\frac{1}{r}\partial_r(u\circ p)+\frac{1}{r^2}\partial_\phi^2(u\circ p).[/mm]
>  
> Hi, ich brauche mal wieder eure Hilfe, und zwar hapert es
> bei dieser Aufgabe bei mir schon daran, überhaupt zu
> erkennen, wie [mm]u\circ p[/mm] auf [mm]p^{-1}(U)[/mm] genau aussieht.
> Könntet ihr mir da vielleicht auf die Sprünge helfen?
> Wenn ich das nicht mal habe, dann kann ich mir ja auch noch
> keine Gedanken um den Rest machen...
>
> Ist [mm](u\circ p)[/mm] auf [mm]p^{-1}(U)[/mm] einfach: [mm]u\circ p\colon (0,\infty)\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}, \quad u\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}[/mm]?

Ja

FRED

>
> Wie immer bin ich dankbar für alle Tipps!
>
> (Ich befürchte bei dieser einen Frage wird es auch nicht
> bleiben, die Aufgabe sieht irgendwie nicht besonders nett
> aus...)


Bezug
                
Bezug
Kettenregel: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:33 Di 05.06.2012
Autor: Lustique


> Ja
>  
> FRED

Danke Fred,

könntest du mir vielleicht einen Tipp geben, wie man die erste geforderte Ableitung bestimmt?

Es müsste ja auf Folgendes hinauslaufen:

Kettenregel:

[mm] $(f\circ g)(x)=f'\big(g(x)\big)\circ [/mm] g'(x)$, also hier im konkreten Fall:

[mm] $\partial_r(u\circ p)\begin{pmatrix}r\\ \phi\end{pmatrix}=\partial_r u\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}\circ \partial_r p\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}, [/mm]
oder?

Aber irgendwie kann ich damit gerade so gar nichts anfangen. Könntest du mich da vielleicht "in die richtige Richtung lenken"?

Ich habe bis jetzt nur: [mm] $\partial_r p\begin{pmatrix}r\cos\phi\\ r\sin\phi\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\phi\\ \sin\phi\end{pmatrix}$, [/mm] aber das wars dann auch schon. Und wie ich dann das Ganze später verketten soll, weiß ich gerade auch nicht...

Bezug
                        
Bezug
Kettenregel: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Do 07.06.2012
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheforum.net
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]