Kettenregel mal anschaulich < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:43 Do 23.08.2012 | | Autor: | msg08 |
| Aufgabe | u(v(x)) sei eine verschachtelte Funktion
dann gilt soweit für die Ableitung u'(v(x)) * v'(x) |
Kann mir vielleicht jemand erklären wie man erklären kann, warum die Multiplikation der Steigungen eben die Steigung der verketteten Funktion ergibt. Also die Herleitung ist mir schon bekannt, aber hilft mir so konkret nicht weiter. Wenn man sich soweit u als Funktion anschaut, hat sie irgendwie einen Verlauf. Und die Argumente werden also Funktionswerte von x unter v genommen. Also sprich, wäre v linear, irgendwie v(x) = 2x, dann hätte man so eine Stauchung. Wäre u soweit irgendwie zum Beispiel eine lineare Funktion, ne Gerade auch, so würde sie einfach ein wenig schneller ansteigen. Also wo vorher eben bei u(x) = y war, ist jetzt ja soweit bei u(v(x)) = u(2x) = 2y.
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Hallo,
du lieferst ja schon fast selbst eine Erklärung.
Da du ja eine anschauliche Erklärung suchst, ist vielleicht ein konkretes Beispiel mit zwei linearen Funktionen am einfachsten:
Es sei: [mm] u(v) = 3*v [/mm]
Ferner sei: [mm] v(x) = 2*x [/mm]
Daraus folgt: [mm] u(x) = 6*x [/mm]
NACHTRÄGLICHE VERBESSERUNG - ES MUSS HEISSEN: Daraus folgt: [mm] u(v(x)) = 6*x [/mm]
Es ist somit sehr anschaulich, dass in diesem konkreten Beispiel u bezüglich x doppelt so schnell ansteigt wie u bezüglich v.
Vielleicht hilft dir ja auch diese Schreibweise, um dir die Kettenregel zu veranschaulichen:
[mm] \bruch{du}{dx}=\bruch{du}{dv}*\bruch{dv}{dx}
[/mm]
Ich hoffe, dies hat dir wenigstens ein bisschen weitergeholfen.
Schöne Grüße
franzzink
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Do 23.08.2012 | | Autor: | msg08 |
d u/ d v * d v / d x = d u / d x
Ja genau, also hier ist es eine "simple" Rechnung die aufgeht. Anschaulich mal warum. Also das ist gerade meine Frage.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:05 Do 23.08.2012 | | Autor: | chrisno |
Vielleicht fehlt Dir nur dieses Stückchen:
Wenn Du nur einen Punkt betrachtest, dann kannst Du eine differenzierbare Funktion in (um) diesen Punkt durch eine Gerade darstellen. Damit gilt Deine Betrachtung für jeden Punkt einer differenzierbaren Funktion.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:09 Do 23.08.2012 | | Autor: | msg08 |
Also die Tangentensteigung an sich bzw. der Steigungsbegriff ist jetzt eigentlich nicht die Frage. Also dass man eben zu jedem Funktionswert einer "stetigen" Funktion eben mal so eine Steigung findet, ok, darum geht es aber nicht.
Also darum geht es schon, nur hier konkret eben warum die Bildung soweit eben halt ausgibt, was man dann halt haben mag. Das ist jetzt von der Herangehensweise anders, also wenn jetzt bei einer linearen Funktion die Sekantensteigung bildet und immer näher an den Punkt wandern lässt. Also die Schachtelung ist soweit von vom Verständnis her ok, also wenn man eben wissen möchte, wie man jetzt so einen Funktionswert berechnet.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:27 Do 23.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
1.Dass sich beim Einsetzen von Geraden in Gerasen di Steigungen multiplizieren hast du eingesehen?
2. also auch beim einsetzen von Tangenten in Tangenten!
3. In der Nähe eines Punktes [mm] (x-0,f(x_0)) [/mm] kann man aber jede differenzierbare Funktion ersetzen durch
[mm] f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)*\Delta [/mm] x also eine Gerade
umso genauer je kleiner [mm] \Delta [/mm] x
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:43 Do 23.08.2012 | | Autor: | msg08 |
Was meinst du mit dem 2. Punkt?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:53 Do 23.08.2012 | | Autor: | msg08 |
Also ich weiss wie man so einen Funktionswert einer geschatelten Funktion berechnet. Inneren Wert berechnen und eben das dann als Argument in die äussere Funktion genommen.
f: x |-> 2x
g: x |-> x^10
und g'(x) = [mm] 10x^9
[/mm]
(g' o f)(x) = g'(f(x)) = g'(2x) = [mm] 10*(2x)^9 [/mm] = 10 * [mm] 2^9 [/mm] * [mm] x^9
[/mm]
sowas ja nicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:20 So 26.08.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:32 Fr 24.08.2012 | | Autor: | leduart |
Hallo
zum 2 ten Punkt: man ersetzt die funktionen nahe beim punkt, an dem man die Ableitung will durch ihre Tangenten, dann setzt man die ineinander ein und hat das Produkt der Steigungen. deshalb hat auch die zusammengesetzte Fkt das Produkt der Steigungen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:07 Mi 29.08.2012 | | Autor: | msg08 |
> Hallo
> 1.Dass sich beim Einsetzen von Geraden in Gerasen di
> Steigungen multiplizieren hast du eingesehen?
Also es ist eben schön anschaulich im Fall die äusser Funktion ist linear. Die innere Funktion mit ihrer Ableitung macht die Skalierung aus und das ergibt eben den (x-abstand) auf der Definitionsachse.
> 2. also auch beim einsetzen von Tangenten in Tangenten!
Sei f(g(x)) also so eine verkettete Funktion. Die Tangentensteigung für so ein [mm] x_0 [/mm] wäre für so eine einfache Funktion f: [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] f'(x_0) [/mm] * [mm] (x_0-x). [/mm] Bei der verketteten wäre es etwas anders. Unser [mm] x_0 [/mm] wäre [mm] g(x_0) [/mm] ja. Also sowas [mm] f(g(x_0)) [/mm] + [mm] f'(g(x_0)) [/mm] * [mm] (g(x_0)-(g(x)) [/mm] wäre dann so eine Tangentensteigung? Naja weiss nicht. Meinst sicher was ganz anderes.
> 3. In der Nähe eines Punktes [mm](x-0,f(x_0))[/mm] kann man aber
> jede differenzierbare Funktion ersetzen durch
> [mm]f(x_0+\Delta x)=f(x_0)+f'(x_0)*\Delta[/mm] x also eine Gerade
> umso genauer je kleiner [mm]\Delta[/mm] x
Kenn ihn nicht und daher einfach skizzierte Idee zum Satz?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:09 Mi 29.08.2012 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du anstelle der beliebigen differenzierbaren Funktion eine lineare Funktion nimmst, dann verstehst Du die Veranschaulichung.
Hab ich das soweit richtig gelesen?
Wenn Du eine beliebige differenzierbare Funktion hast, dann kannst Du sie an irgendeiner Stelle durch eine Gerade annähern. Das ist die Tangente, deren Steigung gerade die Ableitung an dieser Stelle ist.
Wenn Du diese Tangente nimmst, dann hast Du eine Lineare Funktion und der Fall wäre für Dich klar, oder?
Nun musst Du nur noch einsehen, dass die Tangente so gut die Funktion annähert, das die Steigung der Tangente und die des Funnktionsgraphen die gleiche ist. Für ein sehr kleines Intervall in x, kannst Du Funktionsgraph und Tangente praktisch gleich setzen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:50 Do 30.08.2012 | | Autor: | msg08 |
> Wenn Du anstelle der beliebigen differenzierbaren Funktion
> eine lineare Funktion nimmst, dann verstehst Du die
> Veranschaulichung.
> Hab ich das soweit richtig gelesen?
> Wenn Du eine beliebige differenzierbare Funktion hast,
> dann kannst Du sie an irgendeiner Stelle durch eine Gerade
> annähern. Das ist die Tangente, deren Steigung gerade die
> Ableitung an dieser Stelle ist.
> Wenn Du diese Tangente nimmst, dann hast Du eine Lineare
> Funktion und der Fall wäre für Dich klar, oder?
Ja genau.
> Nun musst Du nur noch einsehen, dass die Tangente so gut
> die Funktion annähert, das die Steigung der Tangente und
> die des Funnktionsgraphen die gleiche ist. Für ein sehr
> kleines Intervall in x, kannst Du Funktionsgraph und
> Tangente praktisch gleich setzen.
Das ist es.
Habe da auch noch eine Herangehensweise, die baut auf der Anschauung auf, dass die Funktionen im kleinen dem Verlauf der Tangenten ähnlich sind. f o g(x) sei dann so eine beliebige verkettete Funktion. Sei h infinitesimal. So gilt eben für den Funktionswert im Punkt [mm] x_0+h:
[/mm]
[mm] f(x_0+h) [/mm] = [mm] f(x_0) [/mm] + [mm] f'(x_0)*h [/mm] + o(h)
und für g im Punkt g(f(x+h)-f(x)):
[mm] g(f(x_0+h)) [/mm] = [mm] g(f(x_0)) [/mm] + [mm] g'(f(x_0)) [/mm] * [mm] (f(x_0+h)-f(x_0)) [/mm] + o(h) = [mm] g(f(x_0)) [/mm] + [mm] g'(f(x_0)) [/mm] * [mm] f'(x_0) [/mm] * h
und interpretiert man das jetzt als so eine Tangentengleichung, die dann aber direkt in so einem [mm] x_0 [/mm] anfängt, hat man dann auch schon die Kettenregel. Und o(h) wäre so ein kleiner Korrekturwert, der dann für immer kleinere Werte für h gegen 0 geht und damit vernachlässigbar ist. Aber anschaulich wär es ja auch hier mit dem die Funktionen verhalten sich im Kleinen eben wie lineare Funktionen. Also vielen Dank.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 07:59 Fr 24.08.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
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> du lieferst ja schon fast selbst eine Erklärung.
>
> Da du ja eine anschauliche Erklärung suchst, ist
> vielleicht ein konkretes Beispiel mit zwei linearen
> Funktionen am einfachsten:
>
> Es sei: [mm]u(v) = 3*v[/mm]
>
> Ferner sei: [mm]v(x) = 2*x[/mm]
>
> Daraus folgt: [mm]u(x) = 6*x[/mm]
daraus würde [mm] $u(x)=3*x\,$ [/mm] folgen - denn nun heißt ja nur das [mm] $v\,$ [/mm] einfach [mm] $x\,.$
[/mm]
Du meinst, dass $(u [mm] \circ \mathbf{v})(x)=u(\red{\mathbf{v}}(x))=3*(2*x)=6*x\,$ [/mm] ist!
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 09:27 Fr 24.08.2012 | | Autor: | franzzink |
Hallo Marcel,
das war mein Fehler. Danke für den Hinweis.
Schöne Grüße
franzzink
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