Kettenregel mehrere Variablen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:25 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Sea2605 |
Es sei [mm] f(x_{1},x_{2}) [/mm] = [mm] x_{1}^3 [/mm] - [mm] x_{1}x_{2} [/mm] + [mm] x_{2}^3 [/mm] wobei [mm] x_{1}=r*cos(\phi) [/mm] und [mm] x_{2}=r*sin(\phi)
[/mm]
Jetzt soll mit der Kettenregel [mm] \bruch{\partial f}{\partial r} [/mm] und [mm] \bruch{\partial f}{\partial \phi} [/mm] berechnet werden.
Ich glaube zu wissen, dass die Kettenregel folgendermaßen aussieht (habe sie mir zumindest so vorgestellt, da sie für mich so sinn ergibt)...
(f [mm] \circ [/mm] g)' [mm] (r,\phi) [/mm] = [mm] f'(g(r,\phi)) [/mm] * [mm] g'(r,\phi) [/mm]
bzw. in unserer Schreibweise
[mm] Dh(r,\phi) [/mm] = [mm] Df(g(r,\phi)) [/mm] * [mm] Dg(r,\phi)
[/mm]
Habe zwar die Lösung auch hier, verstehe allerdings nicht,
0. was denn nun mein g ist (falls g die Funktion/Matrix [mm] \vektor{x_{1} \\ x_{2}} [/mm] = [mm] \vektor{rcos(\phi) \\ rsin(\phi)} [/mm] sein sollte, frag ich mich, wieso man das einfach machen darf)
1. wieso in der Lösung zuerst [mm] Df(x_{1},x_{2}) [/mm] berechnet wird,
2. wieso dieses [mm] Df(x_{1},x_{2}) [/mm] einen Zeilenvektor ergibt
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Hallo!
> Es sei [mm]f(x_{1},x_{2})[/mm] = [mm]x_{1}^3[/mm] - [mm]x_{1}x_{2}[/mm] + [mm]x_{2}^3[/mm]
> wobei [mm]x_{1}=r*cos(\phi)[/mm] und [mm]x_{2}=r*sin(\phi)[/mm]
>
> Jetzt soll mit der Kettenregel [mm]\bruch{\partial f}{\partial r}[/mm]
> und [mm]\bruch{\partial f}{\partial \phi}[/mm] berechnet werden.
>
> Ich glaube zu wissen, dass die Kettenregel folgendermaßen
> aussieht (habe sie mir zumindest so vorgestellt, da sie
> für mich so sinn ergibt)...
>
> (f [mm]\circ[/mm] g)' [mm](r,\phi)[/mm] = [mm]f'(g(r,\phi))[/mm] * [mm]g'(r,\phi)[/mm]
> bzw. in unserer Schreibweise
> [mm]Dh(r,\phi)[/mm] = [mm]Df(g(r,\phi))[/mm] * [mm]Dg(r,\phi)[/mm]
>
> Habe zwar die Lösung auch hier, verstehe allerdings nicht,
> 0. was denn nun mein g ist (falls g die Funktion/Matrix
> [mm]\vektor{x_{1} \\ x_{2}}[/mm] = [mm]\vektor{rcos(\phi) \\ rsin(\phi)}[/mm]
Wieso Matrizen, bzw. Vektoren? Bei deiner Funktion handelt es sich um ein Skalarfeld; das ist ein Unterschied. Die Funktion ordnet dabei jedem Flächenpunkt P eine skalare Größe f zu:
[mm] f:(x_{1},x_{2})\to{f}(x_{1},x_{2})
[/mm]
> sein sollte, frag ich mich, wieso man das einfach machen
> darf)
> 1. wieso in der Lösung zuerst [mm]Df(x_{1},x_{2})[/mm] berechnet
> wird,
> 2. wieso dieses [mm]Df(x_{1},x_{2})[/mm] einen Zeilenvektor ergibt
Bei der Kettenregel trennt man zunächst zwei ineinander verkette Funktionen auf. Dann differenziert man zunächst die äußere Funktion und multipliziert diese Ableitung mit der Ableitung der inneren Funktion. Die Formeln hast du ja bereits vorliegen. Betrachte dazu beispielsweise den ersten Summanden deiner Funktion:
[mm] f(x)=x^{3}, [/mm] mit [mm] x={r}cos(\varphi)
[/mm]
Dann hat man
[mm] f(\varphi)=r^{3}*cos^{3}(\varphi)=r^{3}*\varphi^{3}\circ{cos(\varphi)}
[/mm]
[mm] \bruch{d}{d\varphi}f(\varphi)=-r^{3}*3\varphi^{2}\circ{cos(\varphi)}*sin(\varphi)=-r^{3}*3cos^{2}(\varphi)*sin(\varphi)
[/mm]
Versuche dich jetzt mal an den anderen beiden Summanden.
Gruß, Marcel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:38 Mo 27.06.2011 | | Autor: | Sea2605 |
Vielen Dank für die Antwort!
Das es sich um Skalarfelder handelt, wusste ich nicht. Das Wort
kommt nicht einmal in unserem Skript vor ;)) Hatte mir die
Funktionen mit mehreren Veränderlichen auch schon immer
als Abbildung eines kartesischen Punktes auf einen Skalar vorgestellt, wusste nur keinen Namen dafür, thx!
Du hattest bei deinem Beispiel geschrieben,
[mm] f(\varphi)=r^{3}*cos^{3}(\varphi)=r^{3}*\varphi^{3}\circ{cos(\varphi)}
[/mm]
1. Müsste es nicht f(r, [mm] \varphi) [/mm] (und später [mm] \bruch{d}{d\varphi}f(r, \varphi) [/mm] ) lauten?
2. Aber zunächst: Wie kommt man auf die Verkettung [mm] =r^{3}*\varphi^{3}\circ{cos(\varphi)}?
[/mm]
Ich glaube bei mir hakts hier an der Übertragung der Kettenregel auf diese Aufgabe :(
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Hallo Sea2605,
> Vielen Dank für die Antwort!
> Das es sich um Skalarfelder handelt, wusste ich nicht. Das
> Wort
> kommt nicht einmal in unserem Skript vor ;)) Hatte mir
> die
> Funktionen mit mehreren Veränderlichen auch schon immer
> als Abbildung eines kartesischen Punktes auf einen Skalar
> vorgestellt, wusste nur keinen Namen dafür, thx!
>
> Du hattest bei deinem Beispiel geschrieben,
>
> [mm]f(\varphi)=r^{3}*cos^{3}(\varphi)=r^{3}*\varphi^{3}\circ{cos(\varphi)}[/mm]
>
> 1. Müsste es nicht f(r, [mm]\varphi)[/mm] (und später
> [mm]\bruch{d}{d\varphi}f(r, \varphi)[/mm] ) lauten?
Das ist nur teilweise richtig, denn da f
von 2 Variablen abhängig ist, muss die Ableitung lauten:
[mm]\bruch{\blue{\partial} f}{\blue{\partial} \varphi}[/mm]
> 2. Aber zunächst: Wie kommt man auf die Verkettung
> [mm]=r^{3}*\varphi^{3}\circ{cos(\varphi)}?[/mm]
Zunächst ist:
[mm]r^{3}*\cos^{3}(\varphi)=r^{3}*\left( \cos\left(\varphi\right) \ \right)^{3}[/mm]
Definieren wir nun 2 Funktionen:
[mm]g\left(r, \ \varphi\right)=r^{3}*\varphi^{3}[/mm]
[mm]h\left(\varphi\right)=\cos\left(\varphi\right)[/mm]
So schreibt sich obiges auch:
[mm]g\left(\ r, \ h\left(\varphi\right) \ \right)= \left(g \circ h\right)\left(r, \ \varphi\right)=r^{3}*\varphi^{3} \circ \cos\left(\varphi\right)[/mm]
>
> Ich glaube bei mir hakts hier an der Übertragung der
> Kettenregel auf diese Aufgabe :(
>
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Di 28.06.2011 | | Autor: | Sea2605 |
Danke! Stimmt, es muss die partielle Ableitung sein,
hab das übersehen :)
1. Frage
Etwas verwirrend war für mich, dass du bei deinem g und h
beide male [mm] \varphi [/mm] verwendet hast. Hatte das einen bestimmten
Grund? Hättest du nicht g und h so definieren können...
g(r, [mm] \alpha) [/mm] := [mm] r^3\alpha^3
[/mm]
[mm] h(\varphi) [/mm] := [mm] cos(\varphi)
[/mm]
...um jetzt [mm] h(\varphi) [/mm] an Stelle von [mm] \alpha [/mm] einzusetzen?
Dann hätten wir
[mm] g(r,\alpha) [/mm] = [mm] g(r,h(\varphi)) [/mm] = [mm] (g\circ h)(r,\alpha) [/mm] = [mm] (g\circ h)(r,h(\varphi))= r^3\alpha^3\circ cos(\varphi) [/mm] = [mm] r^3h(\varphi)^3\circ cos(\varphi) [/mm] (was total komisch aussieht ^^)
2. Frage
Du schreibst [mm] g(r,h(\varphi)) [/mm] = [mm] (g\circ h)(r,\varphi)=...usw. [/mm]
[mm] h(\varphi) [/mm] ist doch per Definition eigentlich nur von [mm] \varphi [/mm] abhängig, darf man die Verkettung dann trotzdem als [mm] (g\circ h)(r,\varphi) [/mm] bilden? Müssten wir nicht h als h( r , [mm] \varphi) [/mm] = [mm] cos(\varphi) [/mm] definieren, damit wir das so schreiben dürfen? Wobei in h ja eigentlich nicht mal ein r vorkommt...
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Hallo Sea2605,
> Danke! Stimmt, es muss die partielle Ableitung sein,
> hab das übersehen :)
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> 1. Frage
> Etwas verwirrend war für mich, dass du bei deinem g und h
> beide male [mm]\varphi[/mm] verwendet hast. Hatte das einen
> bestimmten
> Grund? Hättest du nicht g und h so definieren können...
>
> g(r, [mm]\alpha)[/mm] := [mm]r^3\alpha^3[/mm]
> [mm]h(\varphi)[/mm] := [mm]cos(\varphi)[/mm]
>
> ...um jetzt [mm]h(\varphi)[/mm] an Stelle von [mm]\alpha[/mm] einzusetzen?
> Dann hätten wir
> [mm]g(r,\alpha)[/mm] = [mm]g(r,h(\varphi))[/mm] = [mm](g\circ h)(r,\alpha)[/mm] =
> [mm](g\circ h)(r,h(\varphi))= r^3\alpha^3\circ cos(\varphi)[/mm] =
> [mm]r^3h(\varphi)^3\circ cos(\varphi)[/mm] (was total komisch
> aussieht ^^)
Die Ersetzung von [mm]\alpha[/mm] ist hier nicht mehr vorzunehmen:
[mm](g\circ h)(r,h(\varphi))= r^3\alpha^3\circ cos(\varphi)[/mm]
>
> 2. Frage
> Du schreibst [mm]g(r,h(\varphi))[/mm] = [mm](g\circ h)(r,\varphi)=...usw.[/mm]
> [mm]h(\varphi)[/mm] ist doch per Definition eigentlich nur von
> [mm]\varphi[/mm] abhängig, darf man die Verkettung dann trotzdem
> als [mm](g\circ h)(r,\varphi)[/mm] bilden? Müssten wir nicht h als
> h( r , [mm]\varphi)[/mm] = [mm]cos(\varphi)[/mm] definieren, damit wir das so
> schreiben dürfen? Wobei in h ja eigentlich nicht mal ein r
> vorkommt...
Ganz korrekt ist diese Schreibweise nicht.
Es hätte hier stehen müssen:
[mm]g(r,h(\varphi))=g\left( \ \left(r,h\left(\varphi\right) \ \right) \ \right)[/mm]
Definiert man jetzt
[mm]k\left(r,\varphi\right):=\pmat{r \\ h\left(\varphi\right)}[/mm]
so muss das dann heißen:
[mm]g(r,h(\varphi))=g\left( \ \left(r,h\left(\varphi\right) \ \right) \ \right)=g\left( \ k\left(r,\varphi \ \right) \ \right)=\left(g \circ k\right)\left(r,\varphi\right)[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:36 Di 28.06.2011 | | Autor: | Sea2605 |
Gut, dann versuch ich sie die Aufgabe jetzt mal:
Zunächst setze ich [mm] x_{1}=rcos(\varphi) [/mm] , [mm] x_{2}= rsin(\varphi) [/mm]
in [mm] f(x_{1}, x_{2}) [/mm] ein und erhalte
[mm] f(x_{1}, x_{2})= r^3cos^3(\varphi) [/mm] - [mm] r^2sin(\varphi)cos(\varphi) +r^3sin^3(\varphi)
[/mm]
Nun wäre ja
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \varphi} [/mm] = [mm] -3r^3 cos^2(\varphi)sin(\varphi) [/mm] - [mm] r^2 (cos^2(\varphi) [/mm] + [mm] sin^2(\varphi))+ 3r^3sin^2(\varphi)cos(\varphi)
[/mm]
= [mm] -3r^3 cos^2(\varphi)sin(\varphi) [/mm] - [mm] r^2 [/mm] + [mm] 3r^3sin^2(\varphi)cos(\varphi)
[/mm]
Ist meine Lösung so richtig? Kommts nur mir so vor, als hätte ich die Kettenregel gar nicht angewandt ?! In meiner Lösung kommt ausserdem ein Paar à la ( x-x+x-x , y-yy+yy ) raus
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Hallo Sea2605,
> Gut, dann versuch ich sie die Aufgabe jetzt mal:
>
> Zunächst setze ich [mm]x_{1}=rcos(\varphi)[/mm] , [mm]x_{2}= rsin(\varphi)[/mm]
> in [mm]f(x_{1}, x_{2})[/mm] ein und erhalte
> [mm]f(x_{1}, x_{2})= r^3cos^3(\varphi)[/mm] -
> [mm]r^2sin(\varphi)cos(\varphi) +r^3sin^3(\varphi)[/mm]
>
> Nun wäre ja
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial \varphi}[/mm] = [mm]-3r^3 cos^2(\varphi)sin(\varphi)[/mm]
> - [mm]r^2 (cos^2(\varphi)[/mm] + [mm]sin^2(\varphi))+ 3r^3sin^2(\varphi)cos(\varphi)[/mm]
Hier ist ein Vorzeichenfehler passiert:
[mm]-r^2 (cos^2(\varphi) \blue{-} sin^2(\varphi))[/mm]
>
> = [mm]-3r^3 cos^2(\varphi)sin(\varphi)[/mm] - [mm]r^2[/mm] +
> [mm]3r^3sin^2(\varphi)cos(\varphi)[/mm]
>
> Ist meine Lösung so richtig? Kommts nur mir so vor, als
> hätte ich die Kettenregel gar nicht angewandt ?! In meiner
Die Kettenregel hast Du nur nach dem Einsetzen angewandt.
> Lösung kommt ausserdem ein Paar à la ( x-x+x-x , y-yy+yy
> ) raus
>
Dann musst Du wohl die Kettenregel zuerst anwenden.
Wenn die Funktion [mm]f\left( \ k\left(r, \varphi\right) \ \right)[/mm] nach [mm]\varphi[/mm] differenziert werden soll, dann ist:
[mm]\bruch{\partial f}{\partial \varphi}=\left( \ \operatorname{grad} f\left( \ k\left(r,\varphi\right) \ \right) \ \right)^{t}*\bruch{\partial k\left(r,\varphi\right)}{\partial \varphi}[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:09 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Sea2605 |
Jetzt stellt sich mir die Frage, was denn [mm] f(k(r,\varphi)) [/mm] konkret sein soll?!
k(r, [mm] \varphi) [/mm] hattest du als [mm] \vektor{r \\ h(\varphi)} [/mm] definiert,
und [mm] h(\varphi) [/mm] war [mm] cos(\varphi), [/mm] also ist k(r, [mm] \varphi) [/mm] = [mm] \vektor{r \\ cos(\varphi)}, [/mm] bisher richtig soweit?
Wie bild ich jetzt damit [mm] f(x_{1}, x_{2}) [/mm] ? Muss ja irgendwie [mm] k(r,\varphi) [/mm] in f einsetzen, um [mm] f(k(r,\varphi)) [/mm] zu erhalten... Aber wie?
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Hallo Sea2605,
> Jetzt stellt sich mir die Frage, was denn [mm]f(k(r,\varphi))[/mm]
> konkret sein soll?!
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> k(r, [mm]\varphi)[/mm] hattest du als [mm]\vektor{r \\ h(\varphi)}[/mm]
> definiert,
> und [mm]h(\varphi)[/mm] war [mm]cos(\varphi),[/mm] also ist k(r, [mm]\varphi)[/mm] =
> [mm]\vektor{r \\ cos(\varphi)},[/mm] bisher richtig soweit?
>
> Wie bild ich jetzt damit [mm]f(x_{1}, x_{2})[/mm] ? Muss ja
> irgendwie [mm]k(r,\varphi)[/mm] in f einsetzen, um [mm]f(k(r,\varphi))[/mm]
> zu erhalten... Aber wie?
Hier ist [mm]k\left(r,\varphi\right)=\pmat{r* \cos\left(\varphi\right) \\ r* \sin\left(\varphi\right)}[/mm]
Setze [mm]x_{1}=r*\cos\left(\varphi\right), \ x_{2}=r*\sin\left(\varphi\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Sea2605 |
Ok, dann müsste es also so lauten:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \varphi} [/mm] = (grad [mm] f(k(r,\varphi)))^T [/mm] . [mm] \bruch{\partial k}{\partial \varphi} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{2}}}^T [/mm] . [mm] \vektor{-rsin(\varphi) \\ rcos(\varphi)} [/mm] = [mm] \vektor{3x_{1}^2 - x_{2} \\ 3x_{2}^2 - x_{1}}^T [/mm] . [mm] \vektor{-rsin(\varphi) \\ rcos(\varphi)} [/mm]
= [mm] (3x_{1}^2 [/mm] - [mm] x_{2}) [/mm] . (-r [mm] sin(\varphi)) [/mm] + [mm] (3x_{2}^2 [/mm] - [mm] x_{1}) [/mm] . [mm] rcos(\varphi)[/mm]
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Hallo Sea2605,
> Ok, dann müsste es also so lauten:
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> [mm]\bruch{\partial f}{\partial \varphi}[/mm] = (grad
> [mm]f(k(r,\varphi)))^T[/mm] . [mm]\bruch{\partial k}{\partial \varphi}[/mm] =
> [mm]\vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{2}}}^T[/mm]
> . [mm]\vektor{-rsin(\varphi) \\ rcos(\varphi)}[/mm] =
> [mm]\vektor{3x_{1}^2 - x_{2} \\ 3x_{2}^2 - x_{1}}^T[/mm] .
> [mm]\vektor{-rsin(\varphi) \\ rcos(\varphi)}[/mm]
> = [mm](3x_{1}^2[/mm] - [mm]x_{2})[/mm] . (-r [mm]sin(\varphi))[/mm] + [mm](3x_{2}^2[/mm] -
> [mm]x_{1})[/mm] . [mm]rcos(\varphi)[/mm]
Jetzt nur noch für [mm]x_{1}=r*\cos\left(\varphi\right), \ x_{2}=r*\sin\left(\varphi\right)[/mm] einsetzen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:33 Mi 29.06.2011 | | Autor: | Sea2605 |
[mm] \bruch{\partial f}{\partial \varphi} [/mm] = (grad [mm] f(k(r,\varphi)))^T [/mm] . [mm] \bruch{\partial k}{\partial \varphi} [/mm] = [mm] \vektor{\bruch{\partial f}{\partial x_{1}} \\ \bruch{\partial f}{\partial x_{2}}}^T [/mm] . [mm] \vektor{-rsin(\varphi) \\ rcos(\varphi)} [/mm] = [mm] \vektor{3x_{1}^2 - x_{2} \\ 3x_{2}^2 - x_{1}}^T [/mm] . [mm] \vektor{-rsin(\varphi) \\ rcos(\varphi)} [/mm]
= [mm] (3x_{1}^2 [/mm] - [mm] x_{2}) [/mm] . (-r [mm] sin(\varphi)) [/mm] + [mm] (3x_{2}^2 [/mm] - [mm] x_{1}) [/mm] . [mm] rcos(\varphi) [/mm]
Klar, dann gehts so weiter:
= [mm] (3r^2cos^2(\varphi) [/mm] - [mm] rsin(\varphi)) [/mm] . [mm] (-rsin(\varphi)) [/mm] + [mm] (3r^2sin^2(\varphi) [/mm] - [mm] rcos(\varphi)) [/mm] . [mm] rcos(\varphi)
[/mm]
= [mm] -3r^3cos^2(\varphi)sin(\varphi) [/mm] + [mm] r^2sin^2(\varphi) +3r^3cos(\varphi)sin^2(\varphi) [/mm] - [mm] r^2cos^2(\varphi)
[/mm]
Habs gerade verglichen...RICHTIG !! :)
Jetzt müsste nur noch [mm] \bruch{\partial f}{\partial r} [/mm] berechnet werden. Anschließend haben Sie beides einfach zum Gradienten
von f zusammengepackt, daher das Paar als Lösung ;)
Vielen vielen Dank!
Habt /Hast mir wirklich weitergeholfen!
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