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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:42 So 27.02.2005 | | Autor: | svenny |
hallo ihr lieben!!
brauche mal wieder dringend hilfe!!
Ich muss für ein Referat anhand von Kettenregeln beweisen, dass jede Nullstelle dritten Grades ein Terrassenpunkt ist!!!!
Dazu habe ich folgende Hilfestellung:
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Definition: Eine Zahl xo heißt Nullstelle einer Funktion f, wenn gilt:
f(x0)=0
Lässt sich eine Funktion f in der Form
f (x)= (x-xo)hoch k * r(x)
darstellen, so heißt x0 k-fache Nullstelle von f
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Für unsere Zwecke kann angenommen werden, dass r(x) =1
dann folgt f(x)= (x-xo) hoch 3 hat eine dreifache Nulstelle bei x0
f(x)'=.......Ableitungen
.....
.....
Insgesamt folgt: P (xo/0) ist ein Terrassenpunkt
das war alles was ich dazu habe!!!und jetzt????
was hat das mit Kettenregeln zu tun und wie kann ich es beiweßen????
Bitte helft mir!!
Svenja
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, svenny,
> Ich muss für ein Referat anhand von Kettenregeln beweisen,
> dass jede Nullstelle dritten Grades ein Terrassenpunkt
> ist!!!!
> Für unsere Zwecke kann angenommen werden, dass r(x) =1
Letzteres versteh' ich zwar nicht (stammt das von Dir oder hat das Dein Lehrer Dir so gesagt?), aber ich lass' es mal gelten!
>
> dann folgt f(x)= (x-xo) hoch 3 hat eine dreifache
> Nulstelle bei x0
> f(x)'=.......Ableitungen
> .....
> .....
> Insgesamt folgt: P (xo/0) ist ein Terrassenpunkt
>
>
> das war alles was ich dazu habe!!!und jetzt????
> was hat das mit Kettenregeln zu tun und wie kann ich es
> beiweßen????
>
Also: Nachdem Du ja nun (warum auch immer) r(x)=1 gesetzt hast, bleibt von Deiner Funktion nur noch [mm] f(x)=(x-x_{0})^{3} [/mm] übrig.
Naja: Und die leitest Du halt mit der KETTENREGEL ab:
f'(x) = [mm] 3*(x-x_{0})^{2}
[/mm]
f''(x) = [mm] 2*3*(x-x_{0}) [/mm] = [mm] 6*(x-x_{0}) [/mm]
f'''(x) = 6 [mm] \not= [/mm] 0 (Bestätigung für WP!)
Den Rest schaffst Du ja nun alleine, oder?
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:30 So 27.02.2005 | | Autor: | svenny |
Hmm Danke aber das ist nicht ganz das was ich wissen wollte!!!Die ableitungen sind mir klar!!aber die haben ja nicht direkt was mit der Kettenregel zu tun!!!Weil Kettenregel is ja innere und äußere Ableitung!!aber das was du mir geschrieben hast nur die ganz normale oder???
hab die pünktchen nur gemacht weil ich nicht alle ableitungen hin schreiben wolte!!!
verstehst du was ich meine???
also ich brauche den beweiß, dass jede Nullstelle dritten Grades ein Terrasenpunkt ist!!!! und ich verstehe halt nicht was das, was ich als vorgabe habe, mit den Kettenregeln zu tun hat!!!
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Hi, svenny,
> Hmm Danke aber das ist nicht ganz das was ich wissen
> wollte!!!Die ableitungen sind mir klar!!aber die haben ja
> nicht direkt was mit der Kettenregel zu tun!!!Weil
> Kettenregel is ja innere und äußere Ableitung!!aber das was
> du mir geschrieben hast nur die ganz normale oder???
NÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖÖ!!!!!
Pass auf, einfaches Beispiel: f(x) = [mm] (x-3)^{2} [/mm] = [mm] x^{2}-6x [/mm] + 9
"Normale" Ableitung: f'(x) = 2x - 6
Mit Kettenregel: f'(x) = 2*(x-3).
Dass dabei die "innere" Ableitung gleich 1 ist, ändert an der Tatsache nix, das das die Kettenregel ist!!!
> also ich brauche den beweiß, dass jede Nullstelle dritten
> Grades ein Terrasenpunkt ist!!!! und ich verstehe halt
> nicht was das, was ich als vorgabe habe, mit den
> Kettenregeln zu tun hat!!!
>
Nur die Ableitungen sollst Du mit Kettenregel berechnen, weil Du mit Hilfe der - wie Du's nennst - "normalen" Ableitung beim Nullsetzen viel mehr rechnen müsstest. Ohne Kettenregel wär' nämlich schon mal
f(x) = [mm] x^{3}-3*x_{0}*x^{2}+3*x_{0}^{2}*x-x_{0}^{3}
[/mm]
und somit:
f'(x) = [mm] 3x^{2}-6x_{0}*x+3x_{0}
[/mm]
und dann noch:
f''(x) = [mm] 6x-6x_{0}
[/mm]
Na? Jetzt klar, wieso die Kettenregel hier besser ist als die "normale" Ableitung???
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:02 So 27.02.2005 | | Autor: | svenny |
hallo zwerglein,
danke jetzt habe ich das mit den ableitungen verstanden!!!
aber was ich immer noch nicht verstehe ist:
was hat das ganze mit dem beweiß zu tun, dass jede nullstelle dritten grades ein terrasenpunkt ist???und was bedeutet, Insgeamt folgt: P(xo/0) ist ein Terrassenpunkt??
svenja
p.s.
oh ich hab grad noch was gefunden!! was bedeutet diese Aussage:
Wenn ich einen Funktionswert an einer bestimmten Stelle x0 berechnen will setzte ich xo zunächst in g(x) ein und dann das Ergebnis in h(x) oder gleich in f(x) ?????????
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Hi, svenny,
da kommst Du doch selber drauf, wenn Du Dir überlegst, was das Typische an einem Terrassenpunkt ist:
(1) Er ist ein Wendepunkt (2.Ableitung=0; 3. Ableitung aber nicht!))
(2) Waagrechte Tangente (1.Ableitung=0)
Übrigens: Dass zufällig (!) auch f(x)=0 (3-fache NS) ist nicht typisch für einen Terrassenpunkt!
Vielleicht solltest Du das in Dein Referat einbauen:
3-fache NS => Terrassenpunkt;
aber:
Terrassenpunkt [mm] \not=> [/mm] 3-fache Nullstelle!
(Beispiel: [mm] f(x)=(x-1)^{3} [/mm] + 1 hat bei x=1 einen Terrassenpunkt (T(1;1),
aber natürlich keine dreifache Nullstelle!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:23 Do 03.03.2005 | | Autor: | svenny |
hallo!!
sorry das ich nochmal fragen muss aber irgentwie komm ich immer noch nicht so ganz klar!!
es ist doch noch kein beweiß, dass die 2 ableitung 0 ist und die 3 nicht und auch nicht, dass die 1ableitung 0 ist oder???
weil ich will doch beweisen, dass jede nullstelle dritten grades ein terrassenpunkt ist.
zwergerl hat aber geschrieben, dass es nicht typisch für einen terrasenpunkt ist, dass f(x)=0 (3-fache NS)!!!
ich blick nicht mehr durch!!
bitte helft mir!!!habe nicht mehr viel zeit!!!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:59 Do 03.03.2005 | | Autor: | Max |
> hallo!!
Hallo
> sorry das ich nochmal fragen muss aber irgentwie komm ich
> immer noch nicht so ganz klar!!
>
> es ist doch noch kein beweis, dass die 2 ableitung 0 ist
> und die 3 nicht und auch nicht, dass die 1ableitung 0 ist
> oder???
Die Tatsache, dass [mm] $f''(x_0)=0 \wedge f'''(x_0)=6 \neq [/mm] 0$ ist ein Nachweis (Beweis), dass $f$ in [mm] $x_0$ [/mm] einen Wendepunkt hat. (Diese Bedingung ist sogar schärfer formuliert als nötig.)
Und [mm] $f'(x_0)=0$ [/mm] bedeutet doch auch, dass die Tangente an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] waagerecht ist. Also liegt ein Terassenpunkt vor.
> weil ich will doch beweisen, dass jede nullstelle dritten
> grades ein terrassenpunkt ist.
Ja, eben dass hat er bewiesen!
> zwergerl hat aber geschrieben, dass es nicht typisch für
> einen terrasenpunkt ist, dass f(x)=0 (3-fache NS)!!!
Damit hat zwerglein natürlich völlig recht - aus jeder Funktion mit dreifacher Nullstelle in [mm] $x_0$ [/mm] kann man natürlich durch Addition einer Konstanten - also verschieben parrallel zur $y$-Achse - eine Funktion machen, die dort keine Nullstelle mehr hat. Allerdings bleiben die anderen Eigenschaften, wie Steigung der Tangenete und Wendepunkt davon unberührt.
> ich blick nicht mehr durch!!
Les dir noch mal die Antworten in Ruhe durch. Vielleicht hilfst...
Gruß Brackhaus
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