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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:53 Mi 14.03.2012 | | Autor: | clemenum |
| Aufgabe | | Seien die W. für die Kinderzahlen [mm] $0,1,\ldots [/mm] , 5 $ einer Familie durch $0.3 ,0.2,0.2, 0.15,0.1$ gegeben (weiter Kinderzahlen sollen vernachlässigt werden). Wie groß ist nun die W. , dass ein zufällig ausgewählter Knabe mindestens ein Schwesterchen hat? Die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt sei gleich der einer Bubengeburt. |
(Der besseren Unterscheidbarkeit wegen, habe ich oben das Komma mit "." versehen und die Trennzeichen mit "," )
Für mich scheint hier ein (n-stufiges) Bernoilli-Experiment vorzuliegen, denn:
1) Es gibt genau zwei Versuchsausgänge (Bub oder Mädchen)
2) Jeder Versuch läuft unter den gleichen Voraussetzungen ab (die Wahrscheinlichkeit einer Mädchengeburt ist - bei vorliegender Schwangerschaft - gleich 1/2. Ebenso für die Bubengeburt)
Es scheint also einen starken Zusammenhang zur Binomialverteilung zu geben. Das einzige, was hier nicht danach scheint, ist, dass die Kindzahlwahrscheinlichkeiten pro Kind abnehmen. Ich habe gewisse Probleme, die Wahrscheinlichkeit 1/2 mit den Kindwahrscheinlichkeiten in Verbindung zu bringen.
Meine bisherigen Erkenntnisse:
Ich habe mir ein Baumdiagramm aufgezeichnet, und da sehe ich sofort, dass es sich so ausspreizt, wie das Pascal'sche Dreieck.
Die Wahrscheinlichkeit scheint für mich in etwa folgender Art berechenbar zu sein: Seien dazu B... Bub, M.... Mädchen
P(BM) + P(BMM) + P(BMMM) + P(BMMM)
Offenbar gibt es bei der i-ten [mm] $(i=1,\ldots,4 [/mm] )$ Wahrscheinlichkeit genau $i+1$ Möglichkeiten, für deren Auftreten im (Wahrscheinlichkeits-)Baumdiagramm.
So kann etwa BMM auch als MBM oder MMB auftreten. Es treten also jedesmal $4 [mm] \choose [/mm] i $ Möglichkeiten auf, eine bestimmte Kinderkonstellation zu erhalten. Ich kann mir jedoch nur schwer zusammenreimen, wie ich dies nun mit den einzelnen Kinderwahrscheinlichkeiten verknüpfen soll.
Meine Vermutung: Ich multipliziere die jeweiligen Kindwahrscheinlichkeiten mit den Binomialkoefizienten und gleichzeitig mit einer Potenz von 1/2. (je nach Anzahl der Kinder in der Summe).
Kann mir jemand den Zusammenhang ein wenig klarer machen?
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Hallo clemenum,
ich glaube, du gehst die Sache zu kompliziert an. Es ist für mich ein zweistufiges Experiment:
- hat der Bub überhaupt Geschwister, wenn ja, wie viele mit welcher Waqhrscheinlichkeit?
- davon abhängig: hat er mindestens eine Schwester?
Die Antwort auf die erste Frage ergibt sich aus der angegebenen Verteilung. Es macht dabei nur Sinn, die Kinderzahlen 2 bis 5 zu betrachten. Hier muss man dann für jeden Ausgang eine eigene Binomialverteilung für die zweite Stufe ansetzen, da in jedem Fall die Anzahl n der Zufallsveruche eine andere ist, nämlich jeweils n-1.
Gruß, Diophant
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