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Hi Leute!
Ich verstehe nicht wie man den Zusammenhang
[mm] \vec{a} (t) = \dot v \cdot \vec{\hat t} + \frac{v^{2}}{\rho} \cdot \vec{\hat n}[/mm]
herleitet.
Ich weiß das der Tangentialeinheitsvektor [mm]\vec{\hat t} [/mm] durch die Normierung des Geschwindigkeitsvektors [mm]\vec{v}[/mm] berechnet wird und das man dann die Beschleunigung auch so formulieren kann:
[mm] \vec{a} = \vec{\dot v} = \frac{d}{dt}(v \cdot \vec{\hat t}) [/mm]
Da die Geschwindigkeit und somit auch der Tangentialeinheitsvektor von der Zeit abhängig sind, kann man das ganze per Produktregel zu diesem Ausdruck bringen:
[mm] \vec{a} = \vec{\dot v} = \frac{d}{dt}(v \cdot \vec{\hat t}) = \dot v \cdot \vec{\hat t} + v \frac{d\vec{\hat t}}{dt} [/mm]
Nun ist mir der letze Schritt aber nicht mehr klar, wie ich dann noch den Krümmungsradius und den Normalenvektor mit reinbringe beim letzten Summanden. Irgendwie muss man die Zeitableitung des Tangentialnormalenvektors umschreiben, aber wie??
Vielen Dank schonmal!
Lg
Matze
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:03 Mi 14.10.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo Matze!
> Hi Leute!
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> Ich verstehe nicht wie man den Zusammenhang
> [mm]\vec{a} (t) = \dot v \cdot \vec{\hat t} + \frac{v^{2}}{\rho} \cdot \vec{\hat n}[/mm]
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> herleitet.
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> Ich weiß das der Tangentialeinheitsvektor [mm]\vec{\hat t}[/mm]
> durch die Normierung des Geschwindigkeitsvektors [mm]\vec{v}[/mm]
> berechnet wird und das man dann die Beschleunigung auch so
> formulieren kann:
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> [mm]\vec{a} = \vec{\dot v} = \frac{d}{dt}(v \cdot \vec{\hat t})[/mm]
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> Da die Geschwindigkeit und somit auch der
> Tangentialeinheitsvektor von der Zeit abhängig sind, kann
> man das ganze per Produktregel zu diesem Ausdruck bringen:
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> [mm]\vec{a} = \vec{\dot v} = \frac{d}{dt}(v \cdot \vec{\hat t}) = \dot v \cdot \vec{\hat t} + v \frac{d\vec{\hat t}}{dt}[/mm]
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> Nun ist mir der letze Schritt aber nicht mehr klar, wie ich
> dann noch den Krümmungsradius und den Normalenvektor mit
> reinbringe beim letzten Summanden. Irgendwie muss man die
> Zeitableitung des Tangentialnormalenvektors umschreiben,
> aber wie??
Das die Zeitableitung von [mm] $\Vec{\Hat{t}}$ [/mm] senkrecht auf [mm] $\Vec{\Hat{t}}$ [/mm] steht, ergibt sich durch Ableiten von [mm] $\Vec{\Hat{t}}^2 [/mm] = 1$. Die Ableitung der linken Seite ist nach der Produktregel
[mm] \bruch{d}{dt} \Vec{\Hat{t}}^2 = 2 \Vec{\Hat{t}} * \bruch{d}{dt}\Vec{\Hat{t}} [/mm],
und da die Ableitung der rechten Seite 0 ist, muss [mm] $\bruch{d}{dt}\Vec{\Hat{t}}$ [/mm] senkrecht auf [mm] $\Vec{\Hat{t}}$ [/mm] stehen, also die Form [mm] $k*\Vec{\Hat{n}}$ [/mm] haben.
Um $k$ zu bestimmen: wie ist [mm] $\rho$ [/mm] definiert!
Viele Grüße
Rainer
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