Kinematik - ebene Bewegung < Physik < Naturwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:05 So 11.11.2007 | | Autor: | detlef |
| Aufgabe | | [Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich] |
Hallo,
ich habe die folgende Formel mal eingescannt und wollte mal wissen, was die einzelnen Komponenten bei der Beschleunigung anschaulich sind! Also man muss sich das ja vorstellen können!
detlef
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:24 Mo 12.11.2007 | | Autor: | detlef |
Hallo,
kann man mit der Formel von oben solche Aufgaben lösen, wie diese hier, weil die Bilder sich ziemlich ähneln!!
[Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:17 Mo 12.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> [Dateianhang nicht öffentlich] [Dateianhang nicht öffentlich]
> Hallo,
>
> ich habe die folgende Formel mal eingescannt und wollte mal
> wissen, was die einzelnen Komponenten bei der
> Beschleunigung anschaulich sind! Also man muss sich das ja
> vorstellen können!
Die Beschleunigung des Punktes P hat ja drei Anteile:
1. [mm]\vec{a}_B[/mm], die Beschleunigung, die der Punkt B erfährt,
2. [mm]\dot{\vec{\omega}}\times\vec{r}_BP[/mm], die Beschleunigung aufgrund einer Winkelbeschleunigung [mm]\dot{\vec{\omega}}[/mm], (da die Richtung von [mm]\vec{\omega}[/mm] sich nicht ändert, heisst aufgrund einer sich verändernden Drehzahl),
3. [mm]-\omega^2 \vec{r}_BP[/mm], die Zentripetalbeschleunigung des Punktes P relativ zum Punkt B, durch die P auf die gekrümmte Bahn relativ zu B gezwungen wird.
Beachte, dass vom Standpunkt des ruhenden Boabachters im Punkt Q auch [mm]\vec{a}_B[/mm] aus solchen Anteilen besteht, denn B bewegt sich ja auch auf einer Kreisbahn um Q.
In welchem Zusammenhang taucht diese Berechnung auf?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 12.11.2007 | | Autor: | detlef |
Hallo,
vielen dank, also ich denke mal, dass man die Aufgabe doch mit der Formel lösen kann oder sehe ich das falsch?
Die Aufgabe kommt aus der Technischen Mecahnik oder was meinst du?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:38 Mo 12.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> vielen dank, also ich denke mal, dass man die Aufgabe doch
> mit der Formel lösen kann oder sehe ich das falsch?
Hmm, die Formel, die du da hast, ist nicht allgemein gültig. Zum Beispiel ist der Abstandsvektor [mm]\vec{r}_{BP}[/mm] der Punkte B und P konstant, sonst müsste noch ein Term mit [mm]\doc{\vec{r}}_{BP}[/mm] vorkommen. Wenn ich die Zeichnung richtig verstehe, dann sind B und P starr verbunden. Deswegen meine Frage, in welchem Zusammenhang diese Formel aufgestellt wurde.
> Die Aufgabe kommt aus der Technischen Mecahnik oder was
> meinst du?
Ja, die Aufgabe verstehe ich schon, aber wo der Zusammenhang zu der ersten eingescannten Formel und Zeichnung ist, ist mir nicht ganz klar. Sind das zwei Teile derselben Aufgabe?
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:58 Di 13.11.2007 | | Autor: | detlef |
nein ,sorry, ich hatte nur gedahct, dass man mit der Formel die Aufgabe lösen kann und deshalb wollte ich das zusammen posten, aber wenn es nicht funktioniert, hmm...
Hat du einen Tipp;)
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:42 Mi 14.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> nein ,sorry, ich hatte nur gedahct, dass man mit der Formel
> die Aufgabe lösen kann und deshalb wollte ich das zusammen
> posten, aber wenn es nicht funktioniert, hmm...
>
> Hat du einen Tipp;)
Die Formel ist für einen einfacheren Fall gedacht. Die Grundprinzipien sind natürlich dieselben, aber du hast hier zwei überlagerte Kreisgewegungen.
Du musst diese Beziehung für die zeitliche Ableitung eines Vektors in den verschiedenen Bezugssystemen benutzen:
[mm]\left(\bruch{d\vec{x}}{dt}\right)_{\text{ruhend}} = \left(\bruch{d\vec{x}}{dt}\right)_{\text{rotierend}} + \vec{\omega}\times \vec{x}[/mm].
Die Zeichnung zu deiner Formel verdeutlicht den Grund: die Änderung des Vektors [mm]\vec{x}[/mm] in rotierenden Bezugssystem besteht aus der Änderung im nichtrotierenden System plus der Änderung, die durch die Drehung des Koordinatensystems entsteht. Wenn du höhere Ableitungen berechnest, kommt jedesmal ein Term mit [mm]\vec{\omega}\times[/mm] hinzu, außerdem die Ableitungen von [mm]\vec{\omega}[/mm].
In der Aufgabe hast du drei Koordinatensysteme: das Ruhesystem, das System, in dem die Stange ruht, und das System, in dem die Scheibe ruht.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:14 Mi 14.11.2007 | | Autor: | detlef |
oh, das hört sich ziemlich komplziert an!
Also was sollte ich jetzt erstmal aufschreiben, damit ich einen Anfang finde? Die Formel mit dem dx/dt sagt mir ehrlich gesgat nicht so viel, wie ich da anfangen soll! Das Koordinatensystem ist ja auch vorgegeben!
Ich habe dich ja richtig verstanden, dass es drei Systeme zu betrachten gilt, aber wie werden diese denn zusammengefügt?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:10 Do 15.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> oh, das hört sich ziemlich komplziert an!
Ach, das ist gar nicht so schlimm. Du musst das Problem nur in einfache Teile zerlegen.
> Also was sollte ich jetzt erstmal aufschreiben, damit ich
> einen Anfang finde? Die Formel mit dem dx/dt sagt mir
> ehrlich gesgat nicht so viel, wie ich da anfangen soll! Das
> Koordinatensystem ist ja auch vorgegeben!
> Ich habe dich ja richtig verstanden, dass es drei Systeme
> zu betrachten gilt, aber wie werden diese denn
> zusammengefügt?
Am besten beginnst du damit, die Koordinaten der Punkte in den verschiedenen Koordinatensystemen aufzuschreiben. Nennen wir die Koordinaten im üblichen System [mm](x,y)[/mm] und die im System der rotierenden Stange (wie angegeben) [mm](\xi,\eta)[/mm].
Was ist die Beziehung zwischen diesen beiden Koordinatenpaaren. Ich behaupte, es ist
[mm]\xi= x \cos(\Omega t) + y \sin(\Omega t)[/mm] und [mm]\eta= -x \sin(\Omega t) + y \cos(\Omega t)[/mm]
oder umgekehrt:
[mm]x= \xi \cos(\Omega t) - \eta \sin(\Omega t)[/mm] und [mm]y= \xi \sin(\Omega t) + \eta \cos(\Omega t)[/mm]
Die Koordinaten des Punktes A im System [mm](\xi,\eta)[/mm] sind (l,0), also im System [mm](x,y)[/mm]: [mm](l\cos(\Omega t),l\sin(\Omega t) )[/mm].
Damit du siehst, wie das geht, berechne ich Geschwindigkeit und Beschleunigung des Punktes A in beiden Koordinatensystemen.
Fangen wir im [mm](\xi,\eta)[/mm]-System an: da der Punkt in diesem System ruht, ist seine Geschwindigkeit offensichtlich 0.
Wie sieht das im [mm](x,y)[/mm]-System aus?
Du könntest ja einfach die Koordinaten ableiten, das ergibt
[mm]\bruch{d}{dt} (l\cos(\Omega t),l\sin(\Omega t) ) = (-l(\Omega+\dot{\Omega} t)\sin(\Omega t),l(\Omega+\dot{\Omega} t)\cos(\Omega t) ) = l(\Omega+\dot{\Omega} t) (-sin(\Omega t),\cos(\Omega t) ) [/mm].
Das ist offensichtlich falsch, denn der Term mit [mm]\dot{\Omega}t[/mm] wächst linear mit der Zeit an.
Tatsächlich ist der korrekte Ausdruck für die Geschwindigkeit [mm]l\Omega (-sin(\Omega t),\cos(\Omega t) )[/mm].
Das ist plausibel: anschaulich ist es die zeitliche Änderung im (x,y)-System.
Der Zusammenhang mit der Formel
[mm]\left(\bruch{d\vec{x}}{dt}\right)_{\text{ruhend}} = \left(\bruch{d\vec{x}}{dt}\right)_{\text{rotierend}} + \vec{\omega}\times \vec{x}[/mm]
ist dieser: wenn du deine Größen als dreidimensionale Vektoren aufschreibst, so ist
[mm]\vec{\Omega} = \vektor{0 \\ 0 \\ \Omega}[/mm] und [mm]\vec{x} = \vektor { l\cos(\Omega t) \\ l\sin(\Omega t) \\ 0 }[/mm] bezüglich des (x,y)-Systems.
Im rotierenden System ist [mm]\vec{x}[/mm] konstant, also die zeitliche Ableitung 0. Im (x,y)-System ist dann die zeitliche Ableitung von [mm]\vec{x}[/mm] gerade [mm]\vec{v} = \vec{\Omega} \times \vec{x}[/mm].
Und jetzt die Beschleunigung. Im [mm](\xi,\eta)[/mm]-System ist die Geschwindigkeit des Punktes A gleich 0, also auch seine Beschleunigung. Im [mm](x,y)[/mm]-System gilt:
[mm] \vec{a}_{(x,y)} = \vec{a}_{(\xi,\eta)} + \vec{\Omega} \times \vec{v}_{(\xi,\eta)} + \bruch{d}{dt}\left(\vec{\Omega} \times \vec {x}\right) [/mm]
[mm] = \vec{a}_{(\xi,\eta)} + \vec{\Omega} \times \vec{v}_{(\xi,\eta)} + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{x} + \vec{\Omega}\times \bruch{d\vec{x}}{dt} [/mm]
[mm] = \vec{a}_{(\xi,\eta)} + \vec{\Omega} \times \vec{v}_{(\xi,\eta)} + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{x} + \vec{\Omega}\times(\vec{v}_{(\xi,\eta)} + \Omega \times \vec{x})[/mm]
[mm] = \vec{a}_{(\xi,\eta)} + 2\vec{\Omega} \times \vec{v}_{(\xi,\eta)} + \vec{\Omega} \times(\vec{\Omega} \times \vec{x}) +\dot{\vec{\Omega}} \times \vec{x} [/mm].
Der Summand [mm]2\vec{\Omega} \times \vec{v}_{(\xi,\eta)}[/mm] ist die Coriolisbeschleunigung, [mm]\vec{\Omega }\times(\vec{\Omega} \times \vec{x}) [/mm] die Zentripetalbeschleunigung. Wenn, wie in der Aufgabe, der Vektor [mm]\vec{\Omega}[/mm] senkrecht zur Bewegungsebene steht, dann ist sie gerade [mm]-\Omega^2 \vec{x}[/mm].
Zur Erklärung kannst du noch ![[]](/images/popup.gif) hier und hier nachlesen.
Zuletzt noch der Zusammenhang mit der ersten Zeichnung: da ist wie hier die Geschwindigkeit im rotierenden System [mm]\vec{v}_{(\xi,\eta)} = 0[/mm], dann bleiben nur noch die zwei Terme übrig.
FÜr die Berechnung im [mm](\xi,\eta)[/mm]-System lässt sich das doch anwenden, weil die rotierende Scheibe starr ist und damit im Ruhesystem der Scheibe die Geschwindigkeit wieder 0.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:54 Fr 16.11.2007 | | Autor: | detlef |
Vielen dank, aber ich muss noch einige Sachen klären:
1) Wieso muss es $ [mm] \xi= [/mm] x [mm] \cos(\Omega [/mm] t) + y [mm] \sin(\Omega [/mm] t) $ heißen, ich
komme immer auf x/cos(..) ?
x = .. und y= .. das habe ich auch so hinbekommen!
2) Wieso muss man das überhaupt in x und y- System darstellen und kann nicht das rotierende System nehmen?
3)Wenn man den Punkt A als Vektor darstellt, wieso kann man dann nicht Komponentenweise ableiten, dass ist mir noch nicht so ersichtlich, wieso das falsch sein muss?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:45 Fr 16.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> Vielen dank, aber ich muss noch einige Sachen klären:
>
> 1) Wieso muss es [mm]\xi= x \cos(\Omega t) + y \sin(\Omega t)[/mm]
> heißen, ich
> komme immer auf x/cos(..) ?
>
> x = .. und y= .. das habe ich auch so hinbekommen!
Du meinst, du hast x und y durch [mm]\xi[/mm] und [mm]\eta[/mm] ausgedrückt? Nimm einfach die Gleichung für x mit cos und die für x mit sin mal, dann siehst du, dass es stimmt. Da musst du immer na irgendeiner Stelle [mm]\sin^2 + \cos^2 = 1[/mm] reinstecken.
Die Drehung in der Ebene wird immer durch eine Matrix der Form
[mm]\begin{pmatrix} \cos\varphi & \sin\varphi \\ \-\sin\varphi&\cos\varphi\end{pmatrix} [/mm]
beschrieben. Bei der inversen Matrix drehen sich die Vorzeichen beider Sinusterme um.
> 2) Wieso muss man das überhaupt in x und y- System
> darstellen und kann nicht das rotierende System nehmen?
Musst du nicht. Aber einmal musst du umrechnen, spätestens wenn du die rotierende Scheibe betrachtest, und diese Betrachtung ist etwas einfacher.
> 3)Wenn man den Punkt A als Vektor darstellt, wieso kann man
> dann nicht Komponentenweise ableiten, dass ist mir noch
> nicht so ersichtlich, wieso das falsch sein muss?
Das ist in der Komponentenform nicht direkt ersichtlich. Am besten finde ich die Betrachtung, die auf der einen von mir verlinkten Seite gemacht wird: du betrachtest die Zerlegung eines Vektors [mm]\vec{r}[/mm] in den Komponenten bezüglich einer Orthonormalbasis:
[mm]\vec{r} = \summe_{i} r_i \vec{e}_{i} \implies \dot{\vec{r}} = \summe_{i} \dot{r}_i \vec{e}_{i} + \summe_{i}r_i \dot{\vec{e}}_{i}[/mm]
Der zweite Term ergibt die Transformation zwischen den Koordinatensystemen. Die Änderung der EInheitsvektoren ergibt sich nur durch die Drehung, ein zusätzlicher Term, der ihre Länge ändern würde, kann nicht vorkommen.
Ich gebe zu, das ist nicht so einfach zu verstehen; ich muss mal nach einer besseren Erklärung suchen.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:47 Fr 16.11.2007 | | Autor: | detlef |
Ja, also das schwierige finde ich ist, dass man sich das alles vorstellen will und das nicht so leicht ist!
also ich habe das ja alles gelesen und da steht ja:
Der erste Summand auf de rechten Seite ist die Geschw. in S', Punkt A ruht ja in dem einen System, also von S aus gesehen starr mitrotiert.
Also müsste doch der eine Term null sein oder nicht, also nur vxomega überbleiben!
Die beiden KS nimmt man, damit man ein festes Bezugssystem hat oder warum nimmt man nicht das gegebene für die Lösung? Weil das nicht fest ist? Kann man das so erklären?
detlef
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:24 So 18.11.2007 | | Autor: | detlef |
Dann muss ich jetzt ja noch ein KS bilden, dass mit der Scheibe rotiert und in Bezug zu x-y stellen oder wie?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:12 So 18.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Siehe meine Antwort auf die vorhergehende Frage.
Viele Grüße
Rainer
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 So 18.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
Hat ein bischen gedauert mit der Antwort...
> Ja, also das schwierige finde ich ist, dass man sich das
> alles vorstellen will und das nicht so leicht ist!
Ohja, ich kann mich auch noch daran erinnern, staunend davor gessen zu haben.
> also ich habe das ja alles gelesen und da steht ja:
>
> Der erste Summand auf de rechten Seite ist die Geschw. in
> S', Punkt A ruht ja in dem einen System, also von S aus
> gesehen starr mitrotiert.
> Also müsste doch der eine Term null sein oder nicht, also
> nur vxomega überbleiben!
Da bin ich mir nicht ganz klar darüber, was du meinst.
Im rotierenden System ruht der Punkt A (Ortsvektor [mm]\vec{r}_A[/mm]). Deswegen bleibt für die Geschwindigkeit dieses Punktes im (x,y)-System gerade [mm]\vec{\Omega}\times \vec{r}_A[/mm] übrig. Bei der Beschleunigung ist der Term der Coriolis-Beschleunigung 0, und es bleiben die Zentripetalbeschleunigung [mm]\vec{\Omega}\times (\vec{\Omega}\times \vec{r}_A)[/mm] und die Azimuthalbeschleunigung [mm]\dot{\vec{\Omega}}\times\vec{r}_A[/mm]. Da es eine ebene Bewegung ist, ist die Zentripetalbeschleunigung [mm]-\Omega^2 \vec{r}_A[/mm].
> Die beiden KS nimmt man, damit man ein festes Bezugssystem
> hat oder warum nimmt man nicht das gegebene für die Lösung?
> Weil das nicht fest ist? Kann man das so erklären?
Da haben wir aneinander vorbeigeredet. Ich wollte dir das Prinzip an dem einfachen Bespiel demonstrieren. Es ist meiner Meinung nach leichter zu verstehen, wenn eines der Koordinatensystem nicht beschleunigt ist.
Aber: die Gleichungen gelten auch, wenn du vom rotierenden System aus schaust. Was nicht mehr gilt, ist Newtons Gleichung, dass die Kraft gleich der zeitlichen Änderung des Impulses ist, was bei konstanter Masse äquivalent ist zu "Kraft gleich Masse mal Beschleunigung". Das gilt nur in nicht beschleunigten Bezugssystemen.
Mir ist allerdings nicht ganz klar, ob mit dem [mm](\xi,\eta)[/mm]-System in der Aufgabe das mit dem Stab rotierende System gemeint ist, oder ein ruhendes System, das gegen [mm](x,y)[/mm] um einen konstanten Winkel gedreht ist.
Im ersten Fall kannst du die Gleichungen einfach anwenden; im zweiten Fall musst du alle drei Koordinatensystem betrachten und zweimal umrechnen. Nur so als Tipp: Als erstes würde ich die Zeichung so drehen, dass der Stab waagrecht liegt; dann wird die Rechnung einfacher.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 So 18.11.2007 | | Autor: | detlef |
Also führe ich jetzt noch ein KS, dass für die Scheibe gilt und muss es in x,y-KS ausdrücken? Das ist doch dann genauso, wie bei dem anderen rotierenden KS oder nicht?
Wie diese Transformation aussehen soll, ist mir nicht klar!
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 So 18.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> Also führe ich jetzt noch ein KS, dass für die Scheibe gilt
> und muss es in x,y-KS ausdrücken? Das ist doch dann
> genauso, wie bei dem anderen rotierenden KS oder nicht?
Ja.
> Wie diese Transformation aussehen soll, ist mir nicht klar!
Du kannst die gleichen Formeln anwenden.
Zunächst mal drehst du dein Blatt Papier, sodass [mm]\xi[/mm] nach rechts und [mm]\eta[/mm] nach oben zeigt. Dann hat der Punkt A die Koordinaten [mm](A,0,0)[/mm], der Punkt B die Koordinaten [mm](A+R\cos\varphi,A-R\sin\varphi,0)[/mm].
Die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ist [mm](0,0,-\omega)[/mm], die Winkelbeschleunigung [mm](0,0,-\dot{\omega})[/mm].
Jetzt rechnest du erst einmal die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Punktes B nach den (schon für diesen Fall vereinfachten) Formeln
[mm] \vec{v} = \vec{\omega}\times\vec{r}[/mm],
[mm] \vec{a} = -\vec{\omega}^2 \vec{r} + \dot{\vec{\omega}}\times\vec{r} [/mm]
aus. Das ist Beschleunigung in dem System, in dem der Punkt A in Ruhe ist.
Wenn du das hast, kannst du die Formel, die ich schon allgemein hingeschrieben hatte, für die Transformation ins System des Ursprungs anwenden. Hier musst du beachten, dass der Punkt B im Ruhesystem von A die die Geschwindigkeit [mm]\vec{v}[/mm] hat und die Beschleunigung [mm]\vec{a}[/mm] erfährt.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 Di 20.11.2007 | | Autor: | detlef |
OKAY, es macht gerade klick klick! Aber noch nicht zu 100%! Wieso betrachtest du das im x-y-System und nicht in dem gegebenen? ALso das System drehen und dann wie in deinem letzten Beitrag [mm] v_B [/mm] berechnen, weil ist das nicht das richtige Ergebis? Es wird ja die Beschl. in diesem KS gesucht oder nicht?
Ich will nix falsches sagen, dein Weg hat mir für die Anschauung sehr geholfen, aber ich meine nur, weil das in der Aufgabe so steht! Wäre das Ergebnis im x-y-System nicht sogar dann falsch?
[mm] v_B [/mm] = [mm] (0,0,-\omega)x(A+cos (\phi)*R,A-R*sin(\phi),0)
[/mm]
Dann bekomme ich ja einen Vektor mit A drin, was setze ich dafür ein?
A = (l,0,0) oder?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:43 Di 20.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> OKAY, es macht gerade klick klick! Aber noch nicht zu 100%!
> Wieso betrachtest du das im x-y-System und nicht in dem
> gegebenen? ALso das System drehen und dann wie in deinem
> letzten Beitrag [mm]v_B[/mm] berechnen, weil ist das nicht das
> richtige Ergebis? Es wird ja die Beschl. in diesem KS
> gesucht oder nicht?
>
> Ich will nix falsches sagen, dein Weg hat mir für die
> Anschauung sehr geholfen, aber ich meine nur, weil das in
> der Aufgabe so steht! Wäre das Ergebnis im x-y-System nicht
> sogar dann falsch?
Ich bin mir nicht ganz sicher, wie die Aufgabe gemeint ist. Da steht "Berechnen Sie die absolute Beschleunigung des Punktes B im [mm]\xi[/mm],[mm]\eta[/mm]-Koordinatensystem!"
Ist damit gemeint:
a) ein K-System, in dem der Punkt A ruht, oder
b) ein K-System, in dem der Punkt A um den Ursprung rotiert?
Für a) wäre das [mm]\vec{a}[/mm] aus meinem letzten Post schon die Antwort. Nur wäre dafür weder [mm]\Omega[/mm] noch [mm]\dot{\Omega}[/mm] nötig.
Es ist aber nach der absoluten Beschleunigung gefragt; dieser Begriff bezieht sich normalerweise auf Inertialsysteme. Deswegen denke ich, dass b) gemeint ist, der nur das Ursprungssystem ist ein Inertialsystem.
> [mm]v_B[/mm] = [mm](0,0,-\omega)x(A+cos (\phi)*R,A-R*sin(\phi),0)[/mm]
> Dann
> bekomme ich ja einen Vektor mit A drin, was setze ich dafür
> ein?
> A = (l,0,0) oder?
Ja, tut mir leid, das meinte ich.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:02 Di 20.11.2007 | | Autor: | detlef |
ja, die absolute Beschl. in der Momentanen Stellung!
Hmm, gute Frage!
SORRY
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:31 Mi 21.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
Ja, die Lösung besteht aus der Beschleunigung des Punktes B relativ zum Punkt A, wie schon ausgerechnet, und der Beschleunigung, die der Punkt A durch die Rotation um den Ursprung erfährt, das sind die Terme mit [mm]\Omega[/mm] und [mm]\dot{\Omega}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:21 Mi 21.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
Eben fiel mir noch auf, dass dein Ansatz für die Geschwindigkeit falsch ist; die Scheibe rotiert doch um den Punkte A, nicht um dne Ursprung, deswegen darf der Term mit l nicht auftauchen:
[mm]\vec{v}= \vektor{0\\0\\-\omega}\times\vektor{R\cos\phi\\-R\sin\phi\\0} = \vektor{-\omega R \sin\phi\\-\omega R \cos\phi \\0}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:02 Do 22.11.2007 | | Autor: | detlef |
Ist dann die absolute Geschw.:
(dx/dt) = [mm] v_B+(0,0,Omega)x(l*cos(omega*t,l*sin(omega*t),0) [/mm]
stimmt das?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:23 Do 22.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> Ist dann die absolute Geschw.:
>
> (dx/dt) = [mm]v_B+(0,0,Omega)x(l*cos(omega*t,l*sin(omega*t),0)[/mm]
Meinst du das so:
[mm]\bruch{d\vec{x}}{dt} = \vec{v}_B + \vektor{0\\0\\\Omega}\times \vektor{l\cos(\omega t)\\l\sin(\omega t)\\0}[/mm]?
Die Drehbewegung der Scheibe relativ zu Punkt A steckt doch schon in [mm]\vec{v}_B[/mm]. Der Ortsvektor des Punktes A im [mm](\xi,\eta)[/mm]-System ist einfach [mm]\vektor{l\\0\\0}[/mm], also:
[mm]\bruch{d\vec{x}}{dt} = \vec{v}_B + \vektor{0\\0\\\Omega}\times \vektor{l\\0\\0}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:40 Mo 26.11.2007 | | Autor: | detlef |
Aber ich denke, dass ich das ins x-y-System Transformerien muss und deshlab mit cos und sin arbeiten muss?!
Anscheinend habe ich es immer noch nicht kapiert, welche Terme hier auftreten!
Ich habe im Anhang mal die Geschw. von Punkt B berechnet, wie ich das dachte!
Bei der Geschl. weiss ich nicht, welche Terme bei der Kreisbewegung um A auftreten!?
detlef
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:59 Di 27.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> Aber ich denke, dass ich das ins x-y-System Transformerien
> muss und deshlab mit cos und sin arbeiten muss?!
Sorry, wir haben wieder aneinander vorbeigeredet.
In der Aufgabe stand, das Ergebnis in der momentanen Stellung im [mm](\xi,\eta)[/mm]-System anzugeben, nicht im (x,y)-System. Das ist ja schon gedreht.
Oder anders ausgedrückt: das [mm](\xi,\eta)[/mm]-System bekommst du, indem du dein Blatt Papier solange drehst, bis der Stab (O-A) waagrecht liegt. Kein Winkel, und damit kein Sinus oder Cosinus mehr!
Wenn du aber fragst: wie sieht die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t (statt zum Zeitpunkt 0) aus, dann tauchen sin und cos auf.
Allerdings stimmt sie so nicht, denn der erste Term ist bei dir konstant. Der Punkt B rotiert aber um
A, daher muss da statt einfach [mm]\phi[/mm] immer [mm]\phi+\omega*t[/mm] stehen.
> Ich habe im Anhang mal die Geschw. von Punkt B berechnet,
> wie ich das dachte!
> Bei der Geschl. weiss ich nicht, welche Terme bei der
> Kreisbewegung um A auftreten!?
Die Terme die du hingeschrieben hast, sind richtig: mit [mm]\vec{r}_A=(0,0,l)[/mm] kommen die aus der Musterlösung heraus: das sind nämlich genau Zentripetal- und Azimuthalbeschleunigung des Punktes A. Da A im rotierenden System ruht, gibt es keine Coriolisbeschleunigung.
Was dir noch fehlt für die Gesamtbeschleunigung von B ist der Anteil relativ zu A, also die Beschleunigung von B im Ruhesystem von A.
Das ist [mm]-\omega^2 \vec{r}_B + \dot{\vec{\omega}}\times \vec{r}_B [/mm].
Dann setzt du [mm]\vec{r}_B = \vektor{ A+ R\cos\phi \\ A -R \sin\phi \\0}[/mm] ein.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:46 Mi 28.11.2007 | | Autor: | detlef |
Daas habe ich dann ja völlig falch verstanden. ich dahcte, dass man zu x-y-System die Beschleunigung sucht!
Wann genau gibt es denn immer eine Corioliskraft?
Die gesuchte Beschleunigung ist also nur
$ [mm] -\omega^2 \vec{r}_B [/mm] + [mm] \dot{\vec{\omega}}\times \vec{r}_B [/mm] $
? Weil das doch die einzige Bewegung zu dem rotierendem KS ist?!
Aber ich glaube gerade, dass ich das gesuchte KS immer noch nicht auf dem Schirm habe?!
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:03 Do 29.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> Wann genau gibt es denn immer eine Corioliskraft?
Die Corioliskraft erscheint, wenn sich ein Körper mit einer gewissen Geschwindigkeit bewegt. Das wahrscheinlich berühmteste Beispiel sind die Passatwinde, die eigentlich in Richtung Äquator wehen (Geschwindigkeit ungleich Null). Nun dreht sich aber die Erde, sodass eine Corioliskraft wirkt und der Wind in Richtung Westen abgelenkt wird.
>
> Die gesuchte Beschleunigung ist also nur
> [mm]-\omega^2 \vec{r}_B + \dot{\vec{\omega}}\times \vec{r}_B[/mm]
> ?
> Weil das doch die einzige Bewegung zu dem rotierendem KS
> ist?!
Das ist die Beschleunigung des Punktes B relativ zu dem Koordinatensystem, in dem der Punkt A ruht.
Gefragt ist aber in der Aufgabe die absolute Beschleunigung. Um die rauszukriegen, musst die Beschleunigung des Punktes A noch addieren, und das ist
[mm] -\Omega^2 \vec{r}_A + \dot{\vec{\Omega}}\times \vec{r}_A[/mm]
Die ergibt sich mit den Koordinaten des Punktes A im [mm](\xi,eta)[/mm]-System: [mm]\vec{r}_A = \vektor{l \\ 0 \\0}[/mm].
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 09:59 Do 29.11.2007 | | Autor: | detlef |
ok, das sollte ich hinbekommen zu berechnen!
Zu der Corioliskraft: Hier dreht sich doch ein Körper mit einer gewissen Geschw.?
Dann noch zu [mm] r_B [/mm] =(l+cos [mm] (\phi) [/mm] *r ; [mm] -sin(\phi)*r [/mm] ; 0)
Du hattest da was anderes, aber wieso?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:54 Do 29.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> Dann noch zu [mm]r_B[/mm] =(l+cos [mm](\phi)[/mm] *r ; [mm]-sin(\phi)*r[/mm] ; 0)
Das ist richtig.
> Du hattest da was anderes, aber wieso?
Ich seh's gerade. Ich hatte aus Versehen bei der y-Koordinate ein A stehen und das jedesmal wieder kopiert.
Tut mir leid.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:09 Do 29.11.2007 | | Autor: | detlef |
Also muss man immer vom Ursprung den Abstand wählen? Es hätte ja auch sein können, dass ich [mm] r_B [/mm] wähle als die Abstand zu dem Rotationspunkt, weil es ja um A rotiert?! Weisst du was ich meine?
Also [mm] r_A [/mm] ist (l,0,0) und [mm] r_B [/mm] dann (cos [mm] (\phi)*r [/mm] ; [mm] -sin(\phi)*r) [/mm] ;0)
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:14 Do 29.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> Also muss man immer vom Ursprung den Abstand wählen? Es
> hätte ja auch sein können, dass ich [mm]r_B[/mm] wähle als die
> Abstand zu dem Rotationspunkt, weil es ja um A rotiert?!
> Weisst du was ich meine?
Du musst konsistent sein: du darfst nicht den einen Vektor relativ zu A angeben und den anderen relativ zu O (ohne klar zu sagen, dass du in verschiedenen Bezugssystemen rechnest).
Aber du darfst dir das Rechnen leichter machen, indem du zunächst die Bewegung von B relativ zu A bestimmst und dann das Ergebnis ins Ursprungssystem transformierst.
> Also [mm]r_A[/mm] ist (l,0,0) und [mm]r_B[/mm] dann (cos [mm](\phi)*r[/mm] ; [mm]-sin(\phi)*r)[/mm] ;0)
Da ist [mm]r_A[/mm] relativ zu O angegeben und [mm]r_B[/mm] relativ zu A. Wenn du dann [mm]r_B[/mm] relativ zu O angibst, musst du die Vektoren (l,0,0) und (cos [mm](\phi)*r[/mm] ; [mm]-sin(\phi)*r)[/mm] ;0) addieren.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:30 Do 29.11.2007 | | Autor: | detlef |
Also auf die angegebene Lösung komme ich ja nur, wenn ich A in Bezug auf 0 wähle und B in Bezug auf A! Dann komme ich auf die Lösung!
Aber woher weiss ich denn, wann ich welchen Bezug wählen muss? Wieso ist [mm] r_B [/mm] nicht auch von 0 aus, z.b.?
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:36 Do 29.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> Also auf die angegebene Lösung komme ich ja nur, wenn ich A
> in Bezug auf 0 wähle und B in Bezug auf A! Dann komme ich
> auf die Lösung!
>
> Aber woher weiss ich denn, wann ich welchen Bezug wählen
> muss? Wieso ist [mm]r_B[/mm] nicht auch von 0 aus, z.b.?
Ich glaube, jetzt verstehe ich deine Schwierigkeit.
Du musst beachten, wie die jeweiligen Rotationsachsen verlaufen. Die Scheibe rotiert ja relativ zu A, deswegen setzt du in [mm]\vec{\omega}\times \vec{r}_B[/mm] den Vektor [mm]\vec{r}_B[/mm] relativ zu A an.
Der Stab rotiert relativ zu O, deswegen setzt du in [mm]\vec{\Omega}\times\vec{r}_A[/mm] den Vektor [mm]\vec{r}_A[/mm] relativ zu O an.
Ich habe so gerechnet: Zunächst drehe ich mein (x,y)-Koordinatensystem nach rechts, sodass [mm]\xi[/mm] nach rechts und [mm]\eta[/mm] nach oben zeigt. Das macht die Rechnung einfacher. Dann berechne ich relativ zu O:
[mm]\vec{r}_B = \underbrace{\vektor{l\\0\\0}}_{\text{Koordinaten von A}} + \underbrace{\vektor{R\cos\varphi\\-R\sin\varphi\\0}}_{\text{Koord. von B relativ zu A}}[/mm].
Die Beschleunigung von B relativ zu A ist (das rechne ich so aus, weil die Rotationsachse durch A geht):
[mm] -\omega^2 \vec{r}_B + \dot{\vec{\omega}}\times \vec{r}_B = \vektor{ -\omega^2 R\cos\varphi\\ \omega^2 R\sin\varphi \\0 } + \vektor{ - \dot{\omega} R \sin\varphi \\ - \dot{\omega} R \cos\varphi \\0 } [/mm].
Die Beschleunigung von A relativ zu O ist (weil diese Rotationsachse durch O geht):
[mm] -\Omega^2 \vec{r}_A + \dot{\vec{\Omega}} \times \vec{r}_A = \vektor { -\Omega^2 l\\0\\0} + \vektor {0\\-\dot{\Omega} l\\0} [/mm] .
Die Beschleunigung von B relativ zu O ist dann
(Beschleunigung von B relativ zu A) + (Beschleunigung von A relativ zu O)
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:04 Fr 30.11.2007 | | Autor: | detlef |
ok,
aber eine Sache hab ich noch nicht, wieso schreibst du
[mm] r_B [/mm] = Koordinate von 0 zu A + Koordinate von A zu B
aber bei der Beschl.
$ [mm] -\omega^2 \vec{r}_B [/mm] + [mm] \dot{\vec{\omega}}\times \vec{r}_B [/mm] = [mm] \vektor{ -\omega^2 R\cos\varphi\\ \omega^2 R\sin\varphi \\0 } [/mm] + [mm] \vektor{ - \dot{\omega} R \sin\varphi \\ - \dot{\omega} R \cos\varphi \\0 } [/mm] $
rechnest du dann mit [mm] r_B, [/mm] welches nur von A zu B geht!Also die Beschleunigung hätte ich jetzt auch mit einem [mm] r_B [/mm] von A zu B berechnet, aber wieso schreibst du weiter oben, dass [mm] r_B [/mm] die Summe von beiden
Strecken ist? Soll das vllt nur r heißen?
weisst du was ich meine?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:31 Fr 30.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> ok,
>
> aber eine Sache hab ich noch nicht, wieso schreibst du
> [mm]r_B[/mm] = Koordinate von 0 zu A + Koordinate von A zu B
>
> aber bei der Beschl.
> [mm]-\omega^2 \vec{r}_B + \dot{\vec{\omega}}\times \vec{r}_B = \vektor{ -\omega^2 R\cos\varphi\\ \omega^2 R\sin\varphi \\0 } + \vektor{ - \dot{\omega} R \sin\varphi \\ - \dot{\omega} R \cos\varphi \\0 }[/mm]
>
> rechnest du dann mit [mm]r_B,[/mm] welches nur von A zu B geht!Also
> die Beschleunigung hätte ich jetzt auch mit einem [mm]r_B[/mm] von A
> zu B berechnet, aber wieso schreibst du weiter oben, dass
> [mm]r_B[/mm] die Summe von beiden
> Strecken ist? Soll das vllt nur r heißen?
Hab ich doch geschrieben: der Term ist die Beschleunigung von B relativ zu A, weil die Rotationsachse durch A geht. Und dann rechne ich die Beschleunigung von B relativ zu O aus, indem ich die Beschleunigung von A relativ zu O addiere.
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:57 Fr 30.11.2007 | | Autor: | detlef |
ja aber [mm] r_B [/mm] ist doch der Vektor von A zu B und nicht schon die Addition von
O zu A und A zu B?!
Man rechnet mit [mm] r_A [/mm] die Beschleunigung von A und mit [mm] r_B [/mm] die Beschleunigung von B zu A ?!
detlef
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Fr 30.11.2007 | | Autor: | rainerS |
Hallo Detlef!
> ja aber [mm]r_B[/mm] ist doch der Vektor von A zu B und nicht schon
> die Addition von
> O zu A und A zu B?!
[mm] \vec{r}_B [/mm] ist der Ortsvektor des Punktes B, dessen Darstellung von Koordinatensystem zu Koordinatensystem verschieden ist. Das heisst: wenn ich ein Koordinatensystem [mm]K_A[/mm] nehme, dessen Nullpunkt in A liegt, dann ist die Koordinatendarstellung
[mm] \vec{r}_B = \vektor{R\cos\varphi\\-R\sin\varphi\\0}} [/mm]
Nehme ich aber das Koordinatensystem [mm]K_O[/mm], dessen Nullpunkt O ist, so ist die Koordinatendarstellung
[mm]\vec{r}_B = \vektor{l\\0\\0}} + \vektor{R\cos\varphi\\-R\sin\varphi\\0}} [/mm]
Beide Gleichungen sind richtig, denn die Nullpunkte der beiden Koordinatensystem sind um [mm]\vektor{l\\0\\0}}[/mm] gegeneinander verschoben, also gilt für die Ortsvektoren beim Übergang zwischen den Koordinatensystemen
[mm]\left(\vec{r}\right)_{\text{in $K_O$}} = \vektor{l\\0\\0}} + \left(\vec{r}\right)_{\text{in $K_A$}} [/mm]
>
> Man rechnet mit [mm]r_A[/mm] die Beschleunigung von A und mit [mm]r_B[/mm]
> die Beschleunigung von B zu A ?!
Man rechnet es so, dass man möglichst wenig rechnen muss. 
Die Aussage ist dieselbe, unabhängig davon, wie du es rechnest. Wenn du Bewegung des Punktes B relativ zu O berechnen willst, musst du die Überlagerung der beiden Drehbewegungen berechnen.
Das ist am einfachsten, wenn du die beiden Bewegungen getrennt betrachtest. Deswegen gehst du zunächst in das System, in dem A ruht, berechnest die Bewegung von B in diesem System. In diesem System ist die Koordinatendarstellung
[mm] \vec{r}_B = \vektor{R\cos\varphi\\-R\sin\varphi\\0}} [/mm]
Du rechnest daraus Geschwindigkeit und Beschleunigung von B aus.
Dann transformierst du ins Inertialsystem, in dem O ruht. Das Ruhesystem von A rotiert mit [mm]\Omega[/mm] um O. Daraus ergibt sich die Beschleunigung des Punktes B im Inertialsystem, das ist die absolute Beschleunigung.
Viele Grüße
Rainer
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Sa 01.12.2007 | | Autor: | detlef |
ok jetzt habe ich das endlich verstanden!vielen dank für die ausführlichen erklärungen und die geduld!
detlef
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| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:38 Do 15.11.2007 | | Autor: | detlef |
hallo,
wie genau meinst du das mit den Koordinatensystemen, wie sollte ich erstmal anfangen?
detlef
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:45 Sa 17.11.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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