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Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Der Physikbuchautor Herr Demtröder zeigt uns in seiner kryptisch knappen Art, wie sich der Druck eines Gases auf eine Fläche berechnen lässt.
Hier der Text (Experimentalphysik 1, Vierte Auflage, Seite 205/206) ([mm]f[/mm] ist dabei die Geschwindigkeitsverteilung der Gasteilchen)
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Dazu habe ich nun einige Fragen. Die brennendsten davon sind:
1) Weshalb können wir den Raumwinkel unabhängig von dA wählen? Meine Überlegung: Wenn der Raumwinkel zu gross gewählt wird, treffen die Teilchen im "Volumen über dA" ([mm]dA cos(\theta) v{\Delta}t[/mm]) nicht auf die Fläche dA.
2) Wie kommt Gleichung (7.18) zustande? Vermutlich denkt Herr Demtröder dabei an eine Substitutionsformel. Ohne Zweifel ist ein solcher Raumwinkel für das weiterrechnen sehr angenehm. Weshalb liegt hier ein Raumwinkel vor, bei dem Gleichung (7.18) stimmt? Weshalb entspricht das der physikalischen Situation? In der Graphik ist der Raumwinkel (für mein Empfinden am falschen Ort) als Kreisfläche eingezeichnet (weshalb?) und nicht als "verbogenes Rechteck" (wie Formel (7.18) suggeriert).
Ich habe schon viel zu viel Zeit für diesen Abschnitt verwendet und komme dem Verständnis keinen Schritt näher. Bitte helft mir.
Vielen Dank für Eure Hilfe
Leo
Dateianhänge:
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Hallo,
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LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:53 So 23.03.2014 | | Autor: | LeoSutter |
Da das mit den Bildern nicht geklappt hat, hier noch der Text aus dem Lehrbuch, auf den sich meine Frage bezog:
#### Zitat aus Demtröder, Experimentalphysik 1, Auflage 4, Seite 205/206 ###
Wir betrachten nun ein Flächenelement [mm]dA[/mm], auf das von allen Seiten des oberen Halbraumes Moleküle prallen.
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Im Zeitintervall [mm] {\Delta}t [/mm] treffen aus dem Raumwinkelbereich [mm] d{\Omega} [/mm] um den Winkel [mm] \theta [/mm] gegen die Flächennormale [mm]F[/mm] im Mittel
[mm]Z = n * f(v) dv * dA cos(\theta) * v {\Delta}t * \bruch{d{\Omega}}{4\pi}[/mm] (Formel 7.17)
Moleküle mit Geschwindigkeitsbeträgen im Intervall [mm]v[/mm] bis [mm]v + dv[/mm] auf [mm]dA[/mm]. Dabei ist [mm]n[/mm] die Teilchenzahldichte.
Gleichung (7.17) sieht man wie folgt ein: Das Produkt [mm]n * f(v)dv[/mm] gibt die Telchenzahldichte im Geschwindigkeitsintervall [mm]dv[/mm] an. Im Zeitintervall [mm]dt[/mm] konnen alle Telchen bis zu einer Entfernung [mm]vdt[/mm] von [mm]dA[/mm] die effektive Fläche [mm]dA*cos(\theta)[/mm] unter dem Winkel [mm] \theta [/mm] erreichen. Von allen Teilchen mit isotrop verteilten Geschwindigkeiten fliegt nur der Bruchteil [mm]d{\Omega}/4{\pi}[/mm] innerhalb des Raumwinkels [mm]d{\Omega}[/mm] auf die Fläche. Die Impulsänderung [mm]|{\Delta}p|[/mm] eines Teilchens beim elastischen Aufprall ist
[mm]|{\Delta}p|=2mv * cos(\theta)[/mm]
Der Impulsübertrag, der pro Zeiteinheit durch [mm]Z[/mm] Teilchen bewirkt wird, ist deshalb [mm]Z * |{\Delta}p| / {\Delta}t[/mm].
Durch Integration über alle Geschwindigkeitsbeträge [mm]v[/mm] und alle möglichen Auftreffwinkel [mm]\theta[/mm] erhalte wir den gesamten Imulsübertrag pro Zeiteinheit und damit den Druck auf die Fläche [mm]dA[/mm].
Mit
[mm]d{\Omega} = \bruch{r*d{\theta} * r * sin(\theta) * d\phi}{r^2} = d{\theta} * sin(\theta)*d{\phi}[/mm] (Gleichung 7.18)
ergibt sich
[mm]p = \bruch{\Delta p_{total} }{dA * {\Delta}t} = \bruch{2n * m}{4\pi}\integral_{v = 0}^{\infty}{v^2 f(v) dv} * \integral_{\phi = 0}^{2 \pi}{\integral_{\theta = 0}^{\pi / 2}{cos^2 (\theta) * sin (\theta) d\theta} d\phi}[/mm]
Das erste Integral ergibt den Mittelwert [mm]\overline{v^2}[/mm]. Das zweite Doppelintegral ist elementar lösbar und hat den Wert [mm]2\pi / 3[/mm].
Damit wird der Druck [mm]p[/mm] auf die Fläche [mm]dA[/mm] [...]
[mm]p = \bruch{1}{3}nm\overline{v^2}[/mm]
### Ende Zitat ###
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Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Leider kann ich den Demtröder-Test nicht lesen. Ich geb dir mal meine Herleitung, bei der kannst du genau die Annahmen erkennen.
Gegeben ist eine Kugel mit Radius r und glatten Wänden, die zunächst ein einziges Teilchen der Masse m enthält. Dieses fliegt geradlinig mit der konstanten Geschwindigkeit v, bis es vollkommen elastisch gegen die Wand der Kugel prallt und dann im selben Winkel reflektiert wird und weiter fliegt. Die reflektierte Flugbahn bis zum nächsten Aufprall ist symmetrisch zur ersten, es entstehen fortwährend gleich lange Sehnen, die jeweils in der selben Zeit [mm] \Delta [/mm] t zurückgelelgt werden.
[Dateianhang nicht öffentlich]
In der Skizze ist der zurückgelegte Weg [mm] 2s=2*r*sin\Phi [/mm] (kann leider das Zeichen für Phi nicht finden) und damit die Flugzeit [mm] \Delta t=2*r*sin\phi/v.
[/mm]
Nach dem Aufprall erhältst du die neue Flugbahn, indem du die gesamte gezeichnete Figur so drehst, dass die neue Sehne am Ende der gezeichneten beginnt. Du drehst somit Punkt A auf punkt B und damit die gesamte Figur um [mm] 2\phi. [/mm] Also ist nun auch der neue Geschwindigkeitsvektor [mm] v_2 [/mm] um [mm] 2\phi [/mm] gegen [mm] v_1 [/mm] gedreht (außerhalb der Kugel gezeichnet). Der hierzu nötige Änderungsimpuls geschieht durch den Vektor der Geschwindigkeitsdifferenzen (rot) mit dem Betrag [mm] \Delta v=2*v*sin\phi [/mm] und der Richtung von B zum Mittelpunkt, also radial.
Für die resultierende Impulsänderung [mm] \Delta p=m\Delta v=m*2*v*sin\phi [/mm] ist nun eine Kraft F nötig mit
[mm] F=\bruch{\Delta p}{\Delta t}, [/mm] wobei [mm] \Delta [/mm] t die uns unbekannte Aufparallzeit ist.
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Einschub: Nehmen wir an, dass der Körper am Kugelrand entlangschrammt und damit permanent eine solche Kraft erfährt, so ist die Aufprallzeit gleich der Flugzeit, und man erhält
[mm] F=\bruch{\Delta p}{\Delta t}=\bruch{m*2*v*sin\phi}{2*r*sin\phi/v}
[/mm]
[mm] =\bruch{m*v^2}{r}= [/mm] Zentripetalkraft.
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Da die Kraft tatsächlich immer nur beim Aufprall auftritt und dann wieder nicht, verteilen wir sie nun gleichmäßig auf die gesamte Fllugzeit. Damit ergibt sich nun ebenfalls:
[mm] F=\bruch{\Delta p}{\Delta t}=\bruch{m*2*v*sin\phi}{2*r*sin\phi/v}
[/mm]
[mm] =\bruch{m*v^2}{r} [/mm] unabhängig vom Winkel bzw. der Sehnenlänge!!!
Nun stellen wir uns vor, dass die Kugel nicht nur dieses eine Teilchen, sondern extrem viele mit gleichen Geschwindigkeiten enthält, die sich gegenseitig aber nicht beeinflussen. Dann prasseln immer iegendwo irgendwelche Teilchen gegen die Wände, und es ist nun gerechtfertigt, für die Aufprallzeit die o.a. Flugzeit anzusetzen.
Nun addieren wir alle Kräfte der n Teilchen: [mm] F_{gesamt}=n*F= \bruch{n*m*v^2}{r}=\bruch{m_{gesamt}*v^2}{r}=\bruch{\rho*Vol*v^2}{r}=\bruch{\rho*4~\pi~r^3*v^2}{3r}=\bruch{\rho*4~\pi~r^2*v^2}{3}.
[/mm]
Diese drückt gegen die Kugelfläche [mm] A=4\pi r^2.
[/mm]
Da Druck =Kraft pro Fläche ist, erhält man nun
P = [mm] \bruch{F}{A}=\bruch{\rho*4\pi r^2*v^2}{3*4*\pi r^2}=\bruch{\rho*v^2}{3}
[/mm]
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Anhang Nr. 1 (Typ: JPG) [nicht öffentlich]
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