Kiste mit Kugeln < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:41 Sa 02.07.2005 | | Autor: | dh_zm |
Hi,
wäre toll wenn mir hier jemand weiterhelfen könnte:
In einer Kiste liegen m rote und n grüne Kugeln. Wir entnehmen der Kiste in jedem Schritt zufällig zwei Kugeln. Sind beide Kugeln gleichfarbig, so wird die Kiste mit einer roten Kugel aufgefüllt. Andernfalls legen wir eine grüne Kugel in die Kiste zurück. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die letzten beiden Kugeln gleichfarbig sind?
zuerst definiere ich mir:
$ [mm] m_k [/mm] := [mm] \mbox{Anzahl roter Kugeln in der Kiste vor dem} [/mm] (k+1) [mm] \mbox{-ten Schritt} [/mm] $
und analog
$ [mm] n_k [/mm] := [mm] \mbox{Anzahl gruener Kugeln in der Kiste vor dem} [/mm] (k+1) [mm] \mbox{-ten Schritt} [/mm] $
und nun noch:
$ [mm] m_0 [/mm] := m $
$ [mm] n_0 [/mm] := n $
jetzt gibt es ja 3 Fälle:
Jetzt der 1.Schritt:
(i) RR (2 rote wurden gezogen)
dieser Fall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von
$ [mm] \bruch{m_0}{m_0+n_0} [/mm] * [mm] \bruch{m_0}{m_0+n_0} [/mm] $
ein und es ist:
$ [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_0 [/mm] - 2 + 1 = [mm] m_0 [/mm] - 1 $
$ [mm] n_1 [/mm] = [mm] n_0 [/mm] $
(ii) GG (2 grüne wurden gezogen)
dieser Fall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von
$ [mm] \bruch{n_0}{m_0+n_0} [/mm] * [mm] \bruch{n_0}{m_0+n_0} [/mm] $
ein und es ist:
$ [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_0 [/mm] + 1 $
$ [mm] n_1 [/mm] = [mm] n_0 [/mm] - 2 $
(iii) RG od. GR (1 rote und 1 grüne wurden gezogen)
dieser Fall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von
$ 2* [mm] \bruch{m_0}{m_0+n_0} [/mm] * [mm] \bruch{n_0}{m_0+n_0} [/mm] $
ein und es ist:
$ [mm] m_1 [/mm] = [mm] m_0 [/mm] - 1 = [mm] m_0 [/mm] - 1 $
$ [mm] n_1 [/mm] = [mm] n_0 [/mm] - 1 + 1 = [mm] n_0 [/mm] $
so weit, so gut, aber wie bekomme ich denn jetzt die wahrscheinichkeit ohne so eine rekursionsformel heraus? denn damit kann ich ja nicht die wahrscheinlichkeit für das letzte paar kugeln sagen, ohne vorher jeden schritt durchrehnen zu müssen.
danke in vorraus,
daniel
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
Hallo Daniel!
> In einer Kiste liegen m rote und n grüne Kugeln. Wir
> entnehmen der Kiste in jedem Schritt zufällig zwei Kugeln.
> Sind beide Kugeln gleichfarbig, so wird die Kiste mit einer
> roten Kugel aufgefüllt. Andernfalls legen wir eine grüne
> Kugel in die Kiste zurück. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit dafür, dass die letzten beiden Kugeln
> gleichfarbig sind?
>
Ich habe den Eindruck, dass es sich hier um keine wahrscheinlichkeitstheoretische Fragestellung handelt. Hast Du mal ein paar Beispiele ausprobiert? Meine Vermutung ist, dass es in Abhängigkeit von m und n entweder so ist, dass man niemals oder immer am Ende zwei gleichfarbige Kugeln rausziehen wird. Die möglichen Veränderungen in der Kiste sind ja:
2 grüne Kugeln weg und eine rote dazu
ODER
1 rote Kugel weg
Wenn n ungerade ist, wird man niemals dazu kommen, dass am Ende 2 grüne Kugeln in der Kiste sind, weil ja immer 2 grüne gleichzeitig rausgenommen werden. Wenn aber irgendwann nur noch eine grüne drin ist, bedeutet dies, dass nach jedem Zug eine rote Kugel weggenommen wird, also man letztendlich bei einer grünen und einer roten Kugel landet.
Wenn n gerade ist, wird man dagegen nie dahin kommen, dass am Ende noch eine grüne (und eine rote Kugel) drinliegen. Dann sind die Kugeln also in jedem Fall gleichfarbig.
Bitte überprüfe diesen Gedankengang noch mal. Ich habe mich nicht mit der letzten Detailtreue damit auseinandergesetzt. Ich bin aber zuversichtlich, dass das die Lösung des Problems ist.
Viele Grüße
Brigitte
> zuerst definiere ich mir:
>
> [mm]m_k := \mbox{Anzahl roter Kugeln in der Kiste vor dem} (k+1) \mbox{-ten Schritt}[/mm]
>
> und analog
>
> [mm]n_k := \mbox{Anzahl gruener Kugeln in der Kiste vor dem} (k+1) \mbox{-ten Schritt}[/mm]
>
> und nun noch:
>
> [mm]m_0 := m[/mm]
> [mm]n_0 := n[/mm]
>
> jetzt gibt es ja 3 Fälle:
>
>
>
> Jetzt der 1.Schritt:
>
> (i) RR (2 rote wurden gezogen)
>
> dieser Fall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von
>
> [mm]\bruch{m_0}{m_0+n_0} * \bruch{m_0}{m_0+n_0}[/mm]
>
> ein und es ist:
>
> [mm]m_1 = m_0 - 2 + 1 = m_0 - 1[/mm]
> [mm]n_1 = n_0[/mm]
>
> (ii) GG (2 grüne wurden gezogen)
>
> dieser Fall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von
>
> [mm]\bruch{n_0}{m_0+n_0} * \bruch{n_0}{m_0+n_0}[/mm]
>
> ein und es ist:
>
> [mm]m_1 = m_0 + 1[/mm]
> [mm]n_1 = n_0 - 2[/mm]
>
> (iii) RG od. GR (1 rote und 1 grüne wurden gezogen)
>
> dieser Fall tritt mit einer Wahrscheinlichkeit von
>
> [mm]2* \bruch{m_0}{m_0+n_0} * \bruch{n_0}{m_0+n_0}[/mm]
>
> ein und es ist:
>
> [mm]m_1 = m_0 - 1 = m_0 - 1[/mm]
> [mm]n_1 = n_0 - 1 + 1 = n_0[/mm]
>
>
>
> so weit, so gut, aber wie bekomme ich denn jetzt die
> wahrscheinichkeit ohne so eine rekursionsformel heraus?
> denn damit kann ich ja nicht die wahrscheinlichkeit für das
> letzte paar kugeln sagen, ohne vorher jeden schritt
> durchrehnen zu müssen.
>
> danke in vorraus,
> daniel
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
|
|
