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(Frage) überfällig  | | Datum: | 05:29 Mi 11.09.2013 | | Autor: | SoWhat |
| Aufgabe | | Die Klassenzahl einer reell-quadratischen Körpererweiterung [mm] $Q_{[\sqrt{D}]}$ [/mm] ist identisch mit der Anzahl der auftretenden verschiedenen Perioden in [mm] $Q_{[\sqrt{D}]}$. [/mm] |
Hallo!
Ich stehe vor einer Beobachtung, die ich nicht erklären kann.
Sei beispielsweise die Diskriminante D=28, so tritt eine Periode für die Elemente dieser Körpererweiterung von [mm] $\IQ$ [/mm] auf. Die Klassenzahl beträgt auch 1. Dies lässt sich für (zumindest sehr sehr viele) Körpererweiterungen dieser Art D= 0 mod4 und D-1 = 0 mod4, feststellen.
Wie könnte man beweisen, dass die Anzahl von auftretenden, verschiedenen Perioden, für solche Diskriminanten, mit der Klassenzahl übereinstimmt?
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:53 Do 12.09.2013 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Die Klassenzahl einer reell-quadratischen
> Körpererweiterung [mm]Q_{[\sqrt{D}]}[/mm] ist identisch mit der
> Anzahl der auftretenden verschiedenen Perioden in
> [mm]Q_{[\sqrt{D}]}[/mm].
Was verstehst du unter "Perioden in [mm] $\IQ[\sqrt{D}]$"?
[/mm]
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:56 Do 12.09.2013 | | Autor: | SoWhat |
Diskriminante D fest, ganze positive Zahl. Erlaubte Diskriminanten: D [mm] \mod [/mm] 4=0 und (D-1) [mm] \mod4=0.
[/mm]
Radikant R=4*D, keine Quadratzahl.
Betrachte die reell-quadratischen Irrationalzahlen der [mm] $Q_{[\sqrt{28}]}$ [/mm] und davon (sogar) nur die positiven und deren regelmäßige Kettenbruchentwicklung. da reell-quadratische Irrationalzahlen (Euler-Lagrange)--> Periodisch.
Nun ist den reg. KB. dieser Elementen der reinperiodische Anteil [mm] $[\overline{1;1,1,4}]$ [/mm] gemein. (bei bedarf muss die Periode künstlich verlängert werden).
Sie sind alle äquivalent. (Perron)
Es gibt demnach eine äquivalenzklasse in [mm] $Q_{\sqrt{28}}$. [/mm]
Anders formuliert ist also meine Behauptung, dass die Anzahl der Äquivalenzklassen (in bezug auf KB) in [mm] $Q_{[\sqrt{D}]}$ [/mm] der Klassenzahl der Körpererweiterung [mm] $Q_{[\sqrt{D}]}$ [/mm] entspricht.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 06:20 Fr 13.09.2013 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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