Klausuraufgabe zu Fraktil < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:48 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Meggie |
| Aufgabe | Die Dauer X eines Vorgangs sei über ein Intervall [0;1500] gemäß folgender Dichtefunktion f verteilt:
[mm] f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{1000}, & \mbox{für } 0 \le x \le 500 \\ \bruch{3}{2000} - 10^{-6} x, & \mbox{für } 500 \le x \le 1500 \end{cases}
[/mm]
Bestimmen Sie für X
a) das 25 % Fraktil
b) das 87,5 % Fraktil
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In alten Klausuraufgaben kommen immer wieder Aufgaben mit Fraktilen vor. Weder in der Vorlesung noch in der Übung wurde allerdings darauf eingegangen. Nun steht nächste Woche die Klausur an und keiner versteht wie man so eine Aufgabe löst bzw. wie man an diese Fraktile ran geht.
Ich würde mich sehr freuen wenn mir hier jemand einen Lösungsweg verraten könnte!!
Vielen Dank im Voraus!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:27 Fr 10.02.2006 | | Autor: | Astrid |
Hallo Meggie,
und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ! Auch wir freuen uns über eine nette Begrüßung! 
> Die Dauer X eines Vorgangs sei über ein Intervall [0;1500]
> gemäß folgender Dichtefunktion f verteilt:
>
> [mm]f(x)=\begin{cases} \bruch{1}{1000}, & \mbox{für } 0 \le x \le 500 \\ \bruch{3}{2000} - 10^{-6} x, & \mbox{für } 500 \le x \le 1500 \end{cases}[/mm]
>
> Bestimmen Sie für X
> a) das 25 % Fraktil
> b) das 87,5 % Fraktil
>
Das p-Fraktil [mm] $x_p$, [/mm] oder auch Quantil ist definert als:
[mm]x_p=\inf\{x \in \IR : F_X(x)\geq p \}[/mm]
Keine Angst! Das ist viel einfacher als es aussieht! Was bedeutet das? Zunächst ist [mm] F_X [/mm] die zur Zufallsvariablen $X$ gehörende Verteilungsfunktion. Die kannst du aus der Dichte berechnen.
Nun ist z.B. das 25% Quantil (salopp) der kleinste $x$-Wert, so dass die Verteilungsfunktion an dieser Stelle $x$ einen Wert von mindestens 0,25 annimmt.
Oder: Der kleinste x-Wert, so dass die Wahrscheinlichkeit [mm] $P(X\leq [/mm] x)$ mindestens 25% ist.
In deinem Beispiel mußt du nun zuerst die Verteilungsfunktion berechnen. Falls diese (auf einem Intervall) umkehrbar ist, dann ist das 25%-Quantil einfach die Umkehrfunktion der Verteilungsfunktion, also: [mm] $x_p=F_X^{-1}(0,25)$.
[/mm]
Du suchst also den kleinsten Wert $x$ so, dass die Zufallsvariable mindestens mit W-keit 25% einen Wert kleiner oder gleich deinem $x$ annimmt.
Alles klar?
Viele Grüße
Astrid
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