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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:57 So 26.02.2006 | | Autor: | arual |
| Aufgabe 1 | g(x)= 0,25x²+1,75x f(x)= -1/64x³+0,75x
a) Die Schnittpunkte der Parabel g mit der x-Achse und ihr Exrempunkt bilden ein Dreieck. Berechnen Sie den Flächeninhalt dieses Dreiecks.
b) Jede Gerade mit der Gleichung x=u (-8 [mm] \le [/mm] u [mm] \leO) [/mm] schneidet den Graphen der Funktion f im Punkt Ru und die betrachtete Parabel g im Punkt Qu. Für welches u ist der Abstand der Punkte Ru und Qu ein Maximum? |
| Aufgabe 2 | f(x)= x²+9/2x
a) Definitionsbereich, Nullstellen, Polstellen, Extrempunkte, Symmetrie, Verhalten im Unendlichen
b) Am Graph der Funktion f existieren Tangenten, welche parallel zur Winkelhalbierenden des II. und IV. Quadranten verlaufen. Bestimmen Sie rechnerisch eine Gleichung einer solchen Tangenten!
c) Der Punkt O sei der Koordinatenursprung, der Punkt P(x;f(x)) mit x>0 liegt auf dem Graphen der Funktion f. Die Parallele zur x-Achse durch den Punkt P schneidet die y-Achse im Punkt R. Die Parallele zur y-Achse durch den Punkt P schneidet die x-Achse im Punkt S. Bestimmen Sie x so, dass der Umfang des Rechtecks OSPR minimal wird. Berechnen Sie diesen Umfang.
d) Für jedes k (k [mm] \in [/mm] R) ist durch die Gleichung y=k eine Gerade bestimmt. Untersuchen Sie die Anzahl der Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Graph von f in Abhängigkeit von k. |
Hallöle!
Ich weiß, dass die Aufgaben irrsinnig viel sind, aber ich schreibe Dienstag ne Matheklausur und habe diese Aufgaben (teilweise) als Übungen gelöst. Jetzt habe ich einige Fragen bzw. brauche Hilfe. Es wäre super nett, wenn das mal jemand durchrechnen könnte und mir Tips geben. Hier meine Ansätze bzw. Fragen:
Aufgabe 1)
a) Ich habe mir das aufgezeichnet und es entsteht ein Dreieck unterhalb der x-Achse. Jetzt habe ich die Nullstellen x1=0 und x2=-7 ausgerechnet. Als Extrempunkt habe ich Pmin(-3,5;-49/16). Ist das richtig?
Dann habe ich das Dreieck in zwei Teile geteilt und mir Funktionsgleichungen für die beiden Dreiecksseiten hergeleitet. h(x)=7/8x und i(x)=-x-7 und das dann mit den Grenzen integriert und die beiden Flächeninhalte addiert, aber ich komme auf 11,48 FE, weiß aber das Ergebnis eigentlich 10,7 FE sein müsste. Was habe ich falsch gemacht?
b) Hier habe ich noch nichts. Muss man dafür die beiden Gleichungen jeweils mit u gleichsetzen? Oder was muss man machen?
Aufgabe 2:
a) DB: [mm] x\inR, x\not=0; [/mm] keine Nullstellen?; Polstelle: xp=0; Extrema: Pmin(3;3) Pmax(-3;-3); punktsymmetrisch; lim x [mm] \to+= [/mm] +; lim x [mm] \to-=-
[/mm]
b) Wäre f(x)=-2x+9 so eine Tangente?
c) Hier habe ich [mm] x=\wurzel{3}, [/mm] bin mir aber ziemlich sicher, dass das falsch ist!? Wie würde ich jetzt den Umfang ausrechnen?
d) Hier habe ich wieder nichts. Muss man hier k=f(x) setzen? Und dann?
Es wäre echt super, wenn ihr mir helfen könntet, da ich (wie ihr seht) noch einige Lücken habe. Schon mal vielen Dank im Voraus.
LG arual
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Also zu Aufgabe 1)
1a) da hast du dich bei der zweiten Geraden verrechnet.
$ i(x) = - [mm] \bruch{7}{8} [/mm] x - [mm] \bruch{49}{8} [/mm] $
Würd das ganze aber anders angehen. Du hast ein DREIECK!!
$ A = [mm] \bruch{g*h}{2} [/mm] $
g ist der Abstand der Nullstellen also 7 weil die beiden auf der x-Achse liegen.
und h ist f(x) für x = -3,5 also Maximalstelle. (das ganze gleich positiv weil es ne Fläche ist)
$ A = [mm] \bruch{7*49}{2 * 16} [/mm] = [mm] \bruch{343}{32} \approx [/mm] 10,71 $
Kannst natürlich auch Integrieren, aber das ist hier eher umständlich.
1b) hier ist einfach der "Abstand" der beiden Graphen gefragt.
$ h(x) = | f(x) - g(x) | $ schätze mal du hast da noch ne Angabe vergessen weil sonst wird das ganze für x nach unendlich maximal.
Ich mach mal die Betrachtung für $ -8 <= u <= 0 $
$ h(x) = [mm] -\bruch{1}{64} x^3 [/mm] + [mm] \bruch{3}{4}x [/mm] - [mm] \bruch{1}{4} x^2 [/mm] + [mm] \bruch{7}{4}x [/mm] $
$ h(x) = [mm] -\bruch{1}{64} x^3 [/mm] - [mm] \bruch{1}{4}x^2 [/mm] - x $
Maximum:
$ h'(x) = [mm] -\bruch{3}{64} x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -1 $
Soviel mal zur 1
$ h''(x) = [mm] -\bruch{3}{32} [/mm] x - [mm] \bruch{1}{2} [/mm] $
$ h'(x) = 0 = [mm] -\bruch{3}{64} x^2 [/mm] - [mm] \bruch{1}{2}x [/mm] -1 $
$ [mm] x_1 [/mm] = -8 $ $ [mm] x_2 [/mm] = [mm] -\bruch{8}{3} [/mm] $
$ [mm] h''(x_1) [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] also Tiefpunkt
$ [mm] h''(x_2) [/mm] = - [mm] \bruch{1}{4}$ [/mm] also Hochpunkt
Das heißt für $ -8 <= u <= 0 $ wird der Abstand der Graphen bei $ x = [mm] -\bruch{8}{3} [/mm] $ maximal.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:43 So 26.02.2006 | | Autor: | arual |
Vielen Dank für deine Antwort. Sieht irgendwie ganz einfach aus, wenn man es so liest, aber ich kam nicht drauf. ;)
Wäre nett, wenn du oder jemand anders auch noch die zweite Aufgabe durchgucken könnte, da gibt es ja noch mehr Lücken meinerseits.
Schon mal vielen Dank im Voraus.
LG arual
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:39 Mo 27.02.2006 | | Autor: | arual |
Vielen Dank für deine Hilfe Loddar!
Ich hab noch ein paar Fragen bzw. Antworten auf deine Fragen. ;)
a) Ja, ich meinte das, wusste nur nicht wie ich das schreiben soll.
b) Da hatte ich mich verguckt und als Funktion -2x. Muss ich dann in die Normalform einer Geraden den Anstieg -1 und z.B. den Punkt (3;3) einsetzen? Dann würde ich auf die Tangente ft(x)=-x+6 kommen. Ist das richtig?
c) Ich hab es genauso gemacht, wie du geschrieben hast, mir war nur kurzzeitig entfallen, wie es weiter geht, weiß auch nicht warum. Geprüft habe ich das auch und es ist mit [mm] \wurzel{3} [/mm] ein Minimum. Als Umfang komme ich dann auf rund 23,2 , richtig?
d) Hier habe ich doch dann 0=x²-2kx+9, oder? Und dann
[mm] x1/2=k\pm\wurzel{k²-9} [/mm] oder? Nun weiß ich aber nicht, wie weiter, also wie ich die Wurzel auflöse?
So, das waren meine Fragen. Wäre schön wenn sie mir nochmal jemand beantworten könnte. Schon mal danke im Voraus.
LG arual
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:51 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo arual!
> b) Da hatte ich mich verguckt und als Funktion -2x. Muss
> ich dann in die Normalform einer Geraden den Anstieg -1 und
> z.B. den Punkt (3;3) einsetzen? Dann würde ich auf die
> Tangente ft(x)=-x+6 kommen. Ist das richtig?
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") Hat denn die Funktion $f(x)_$ an der Stelle $x \ =\ 3$ die Steigung $1_$ ?
Du musst Dir zunächst eine der beiden x-Werte ermitteln, an der die genannte Steigung vorliegt:
$f'(x) \ = \ -1$
Und hier nach $x_$ umstellen.
> c) Ich hab es genauso gemacht, wie du geschrieben hast, mir
> war nur kurzzeitig entfallen, wie es weiter geht, weiß auch
> nicht warum. Geprüft habe ich das auch und es ist mit
> [mm]\wurzel{3}[/mm] ein Minimum. Als Umfang komme ich dann auf rund
> 23,2 , richtig?
Hier habe ich etwas anderes: [mm] $U_{\min} [/mm] \ [mm] \approx [/mm] \ 10.4$ .
Wie lautet denn Deine Umfangsfunktion $U(x)_$ ?
> d) Hier habe ich doch dann 0=x²-2kx+9, oder? Und dann
> [mm]x1/2=k\pm\wurzel{k²-9}[/mm] oder? Nun weiß ich aber nicht, wie
> weiter, also wie ich die Wurzel auflöse?
Die Wurzel selber brauchst Du gar nicht auflösen. Aber den Ausdruck unter der Wurzel weiter betrachten (also [mm] $k^2-9$ [/mm] ).
Denn wenn gilt: [mm] $k^2-9 [/mm] \ < \ 0$ gibt es keine Lösung in [mm] $\IR$.
[/mm]
Für [mm] $k^2 [/mm] -9 \ = \ 0$ gibt es genau eine Lösung, und für [mm] $k^2-9 [/mm] \ > \ 0$ gibt es zwei Lösungen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:23 Mo 27.02.2006 | | Autor: | arual |
Danke nochmal!
Aber bei mir ist immer noch nicht alles klar:
b) Ich hab jetzt gleichgesetzt:
2x²-18/4x²=-1
Und komme dann auf [mm] x1=\wurzel{1/3} [/mm] und [mm] -\wurzel{1/3}
[/mm]
bitte sag jetzt nicht, dass das auch noch falsch ist. ;)
Dann hab ich den y-Wert für [mm] \wurzel{1/3} [/mm] ausgrechnet und komme auf etwa 8,08. Die Tangentengleichung müsste dann hoffentlich -x+8,66 sein. *bitte*
c) Hier muss ich mich verrechnet haben, jetzt hab ich auch 10,4 raus. Keine Ahnung, aber wahrscheinlich Tippfehler.
d) Achso, also nur das betrachten. Also <0 ist klar, aber gibt es bei =0 nicht zwei Lösungen, weil man die Wurzel zieht. Und bei >0: liegt k da nicht zwischen -3 und 3? Oje, dass ist bestimmt schon wieder voll falsch, oder?
Na gut, vielen Dank.
LG arual
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo arual!
> b) Ich hab jetzt gleichgesetzt: 2x²-18/4x²=-1
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Und komme dann auf [mm]x1=\wurzel{1/3}[/mm] und [mm]-\wurzel{1/3}[/mm]
> bitte sag jetzt nicht, dass das auch noch falsch ist. ;)
![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
Aber dann müsste ich flunkern ... ich habe erhalten: [mm] $x_{1/2} [/mm] \ = \ [mm] \pm\wurzel{3}$ [/mm] .
> Dann hab ich den y-Wert für [mm]\wurzel{1/3}[/mm] ausgrechnet und
> komme auf etwa 8,08. Die Tangentengleichung müsste dann
> hoffentlich -x+8,66 sein. *bitte*
Natürlich Folgefehler ...
> c) Hier muss ich mich verrechnet haben, jetzt hab ich auch
> 10,4 raus. Keine Ahnung, aber wahrscheinlich Tippfehler.
Fein!
> d) Achso, also nur das betrachten. Also <0 ist klar, aber
> gibt es bei =0 nicht zwei Lösungen, weil man die Wurzel zieht.
Es handelt sich dann um eine Lösung, allerdings um eine sogenannte "doppelte Lösung".
> Und bei >0: liegt k da nicht zwischen -3 und 3? Oje,
> dass ist bestimmt schon wieder voll falsch, oder?
Genau umgekehrt! Setze doch mal $k \ = \ 2$ ein (das liegt ja zwischen -3 und 3). Dann erhalten wir:
[mm] $2^2-9 [/mm] \ = \ 4-9 \ = \ -5 \ [mm] \red{<} [/mm] \ 0$
Also gibt es zwei Lösungen, wenn gilt: $|k| \ > \ 3$ , d.h.
$k \ < \ -3$ oder $k \ > \ +3$.
Und keine Lösung existiert also für $|k| \ < \ 3$ [mm] $\gdw$ [/mm] $-3 \ < \ k \ < \ +3$ .
Nun klar(er) und ![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]") ??
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:57 Mo 27.02.2006 | | Autor: | arual |
Danke, ich denke das ist jetzt klar, wenn die Funktion f(x)=-x+5,2 ist!?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:04 Mo 27.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo arual!
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Und genauer: [mm] $y_1 [/mm] \ = \ [mm] -x+\bruch{9}{\wurzel{3}}$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:34 Mo 27.02.2006 | | Autor: | arual |
Danke, danke, danke!
Ich hoffe morgen bei der Klausur komme ich schneller auf die richtigen Lösungen. Aber jetzt weiß ich wenigstens, wie es funktioniert.
Nochmals danke. :D
LG arual
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:10 Di 28.02.2006 | | Autor: | arual |
Danke für's Daumen drücken, ich hoffe mal es hat was genützt.
Also ich kann das noch nicht so ganz einschätzen, aber ich denke mal spätestens Freitag bekommen wir sie zurück, dann guck ich mal ob deine Hilfe und das Daumendrücken wirklich was genützt hat. :D
LG arual
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p/q-Formel![[kleeblatt]](/images/smileys/kleeblatt.gif "[kleeblatt]"){kind=small}
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