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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Jend345 |
| Aufgabe | K offene Kreisscheibe um p in [mm] \IC
[/mm]
q [mm] \in [/mm] K
K(q) größte offene Kreisscheibe in K um q
A [mm] \subset [/mm] K
A kompakt
[mm] \Rightarrow \exists \epsilon [/mm] > 0 : { z | [mm] \exists [/mm] z' [mm] \in [/mm] A : |z-z'|< [mm] \epsilon [/mm] } [mm] \subset [/mm] K(q) [mm] \forall [/mm] q mit |p-q|< [mm] \epsilon
[/mm]
Wir definieren U:={ z | [mm] \exists [/mm] z' [mm] \in [/mm] A : |z-z'|< [mm] \epsilon [/mm] }
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Hi. Ich arbeite gerade an diesem Beweis und irgendwie will es gerade nicht so richtig. Er ist aus dem Jänich Funktionentheorie S.60 falls man am Zusammenhang interessiert ist.
Also folgendes habe ich mir überlegt:
Sei z [mm] \in [/mm] U. Sei r der Radius von K(q). Sei R der Radius von K.
z.Z. : z [mm] \in [/mm] K(q) [mm] \gdw [/mm] |q-z|<r
Beobachtung: R = r + |p-q| < r + [mm] \epsilon
[/mm]
A kompakt [mm] \rightarrow [/mm] A hat einen Abstand a>0 vom Rand von K.
Wähle [mm] \epsilon [/mm] := a/3
Jetzt ein bisschen Abschätzen:
|q-z| <= |q-z'| + |z'-z| <= |q-z'| + a/3 <= |q-p|+|p-z'|+a/3 <= a/3 + a/3 + |p-z'| <= a/3 + a/3 + R <= a + r
Ja also irgendwie komm ich nicht drauf. Ich vermute, dass die letzte Abschätzung ein bisschen zu doll ist.
Ansonsten bin ich über jede Hilfe sehr dankbar!!
Beste Grüße!!!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:59 Fr 28.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
> K offene Kreisscheibe um p in [mm]\IC[/mm]
> $q [mm] \in [/mm] K$
> K(q) größte offene Kreisscheibe in K um q
> [mm]A \subset K [/mm]
> A kompakt
> [mm]\Rightarrow \exists \epsilon > 0 : \{ z \mid\exists z'\in A : |z-z'|< \epsilon \}\subset K(q) \forall q \text{mit $|p-q|< \epsilon$}[/mm]
>
> Wir definieren [mm]U:=\{ z \mid\exists z' \in A : |z-z'|< \epsilon \}[/mm]
>
> Hi. Ich arbeite gerade an diesem Beweis und irgendwie will
> es gerade nicht so richtig. Er ist aus dem Jänich
> Funktionentheorie S.60 falls man am Zusammenhang
> interessiert ist.
>
> Also folgendes habe ich mir überlegt:
> Sei z [mm]\in[/mm] U. Sei r der Radius von K(q). Sei R der Radius
> von K.
> z.Z. : [mm]z \in K(q) \gdw |q-z|
> Beobachtung:[mm] R = r + |p-q| < r + \epsilon[/mm]
> A kompakt [mm]\rightarrow[/mm] A hat einen Abstand a>0 vom Rand von
> K.
> Wähle [mm]\epsilon[/mm] := a/3
> Jetzt ein bisschen Abschätzen:
> [mm]|q-z| \le |q-z'| + |z'-z| \le |q-z'| + a/3 \le |q-p|+|p-z'|+a/3 \le a/3 + a/3 + |p-z'| \le a/3 + a/3 + R \le a + r [/mm]
>
> Ja also irgendwie komm ich nicht drauf. Ich vermute, dass
> die letzte Abschätzung ein bisschen zu doll ist.
In der Tat: Da A den Abstand a vom Rand von K hat, muss $|p-z'| [mm] \le [/mm] R-a$ sein.
Daher:
[mm]|q-z| \le |q-z'| + |z'-z| \mathbin{\red{<}} |q-z'| + a/3 \le |q-p|+|p-z'|+a/3 \mathbin{\red{<}} a/3 + a/3 + |p-z'| \le R-a/3 < r [/mm]
Viele Grüße
Rainer
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:22 Fr 28.08.2009 | | Autor: | Jend345 |
Okay! Super! Danke!
Mal noch eine andere Frage - zugegeben etwas spezielle Frage:
Definiere die Funktion:
Sei [mm] \alpha: [/mm] [a,b] [mm] \to \IC [/mm] ein Integrationsweg.
Definiere: [mm] \psi [/mm] : [mm] [t_{\nu -1} [/mm] , [mm] t_{\nu}] \to \IR [/mm]
[mm] \psi [/mm] (t) := [mm] Im(L_{\nu} \circ \alpha(t) [/mm] )
Dabei ist [mm] L_{\nu} [/mm] eine Logarithmusfunktion.
Meine Frage:
Warum gilt: [mm] L_{\nu+1} [/mm] = [mm] L_{\nu} [/mm] + [mm] 2*pi*i*k_{\nu} [/mm] mit [mm] k_{\nu} \in \IZ
[/mm]
Außerdem: Warum folgt nun [mm] \psi_{nu+1} [/mm] = [mm] \psi_{nu} [/mm] + [mm] 2*pi*k_{\nu} [/mm] ?
Ich denke das sind nur Umforungsschritte. Außerdem ist mir nicht klar was die Verknüpfung "+" in Zusammenhang mit Funktionen (hier Logarithmen) genau bedeutet? Ist das äquivalent zu [mm] \circ [/mm] ?
Wer den Zusammenhang wissen will:
http://www.math.uni-wuppertal.de/~fritzsch/an3_kap3.pdf
S.65 unten (Abschnitt über stetige Argumentfunktionen)
Noch eine Frage zu dem Beweis: Gibt es dahinter eine Intuition?
Wie kommt man darauf :P ?? Was ist die Anschauung??? ^^
Beste Grüße und Vielen Dank im Voraus?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:57 Fr 28.08.2009 | | Autor: | rainerS |
Hallo!
Bitte mache für eine neue Frage einen neuen Thread auf (siehe Forenregeln)!
Außerdem gehört die Frage nicht ins Topologie-Forum.
Viele Grüße
Rainer
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