Kleinste Abstandssumme < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 Fr 10.06.2016 | | Autor: | Thales1 |
| Aufgabe | | keine "Aufgabe", die Fragestellung ergab sich im Matheunterricht einer 10. Klasse |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
In einer Ebene sind drei beliebige Punkte gegeben. Wie kann ich vorgehen, um denjenigen Punkt der Ebene zu finden, für den die Summe seiner Abstände zu den gegebenen Punkten minimal ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Fr 10.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
minimiere [mm] d^2=\sum_{i=1}^{3} (x-x_i)^2+(y-y_i)^2
[/mm]
für Klasse 10 erstmal [mm] \sum_{i=1}^{3} (x-x_i)^2 [/mm] minimieren danach dasselbe mit [mm] \sum_{i=1}^{3} (y-y_i)^2
[/mm]
für dich; grad d(x,y)=0
Gruß ledum
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 10:20 Sa 11.06.2016 | | Autor: | ErikErik |
Hallo,
ob man die erste Formel nimmt oder die Abstände in x-Richtung und die in y-Richtung jeweils getrennt minimiert, das wird einen Unterschied im Ergebnis ausmachen!
Erik
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(Korrektur) kleiner Fehler | | Datum: | 11:23 Sa 11.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
da die Ableitungen in x- und y Richtung hier unabhängig sind ist das Ergebnis von grad d und den einzelnen Rechnung dasselbe.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:58 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Thales1 |
Hallo ludum und Erik,
danke für Eure schnellen Antworten und die Hinweise. Ich glaube allerdings, dass mit ledums Formel $ [mm] d^2=\sum_{i=1}^{3} (x-x_i)^2+(y-y_i)^2 [/mm] $ nur die kleinste Summe der Abstandsquadrate gefunden wird und dass das nicht die kleinste Abstandssumme ist.
Minimiert werden müsste $ [mm] d=\sum_{i=1}^{3} \wurzel{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2} [/mm] $, und das führt bei der partiellen Ableitung (nach x oder nach y) zu einem "hässlichen" Term, den ich analytisch nicht lösen kann, wenn ich die Ableitung gleich Null setze.
Deshalb habe ich mich an das Geometrieforum gewandt.
Ein Beispiel zeigt, dass der Punkt mit der kleinsten Summe der Abstandsquadrate nicht der Punkt mit der kleinsten Summe der Abstände ist:
Zu den Punkten [mm] P_{1}(0|0), P_{2}(1|0), P_{3}(3|0) [/mm] ist P(1|0) der Punkt mit der kleinsten Abstandssumme, weil jeder Punkt auf der Strecke zwischen [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{3} [/mm] die gleiche Abstandssumme zu [mm] P_{1} [/mm] und [mm] P_{3} [/mm] hat und P zusätzlich den kleinsten Abstand zu [mm] P_{2} [/mm] hat. Mit [mm] \bruch{\partial d^2}{\partial x}=6x-2(x_{1}+x_{2}+x_{3})=0 [/mm] erhält man als Punkt mit der kleinsten Abstandsquadratsumme [mm] Q(\bruch{4}{3}|0) \not= [/mm] P.
Deshalb nochmal meine Bitte um Hilfe: Gibt es eine Alternative zu der Differentialrechnung mit den partiellen Ableitungen von $ [mm] d=\sum_{i=1}^{3} \wurzel{(x-x_i)^2+(y-y_i)^2} [/mm] $?
Eine numerische Lösung für den Einzelfall mit konkreten Punkten [mm] P_{i} [/mm] hilft ja nicht, das Problem allgemein zu lösen.
Viele Grüße
[mm] Thales_{1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:10 Sa 11.06.2016 | | Autor: | fred97 |
Ist $f: [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine nichtnegative Funktion, so gilt für ein [mm] x_0 \in \IR:
[/mm]
[mm] f(x_0) \le [/mm] f(x) für alle x [mm] \in \IR \quad \gdw \quad f(x_0)^2 \le f(x)^2 [/mm] für alle x [mm] \in \IR.
[/mm]
Du kannst also bedenkenlos [mm] d^2 [/mm] minimieren.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:09 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Thales1 |
Das ist zwar richtig, passt aber hier nicht, denn wenn $ [mm] f(x)=\wurzel{(x-x_1)^2} [/mm] + [mm] \wurzel{(x-x_2)^2} [/mm] + [mm] \wurzel{(x-x_3)^2}$ [/mm] ist, ist $ [mm] f^2(x)\not=(x-x_1)^2 [/mm] + [mm] (x-x_2)^2 [/mm] + [mm] (x-x_3)^2$.
[/mm]
Deshalb habe ich in meinem vorherigen Beitrag ja ein Beispiel eingefügt, das zeigt, dass für zwei unterschiedliche Punkte die Summe der Abstände und die Summe der Abstandsquadrate minimal ist. Und bekanntlich widerlegt ein Gegenbeispiel die Richtigkeit einer Aussage, wenn kein Fehler in dem Beispiel enthalten ist.
Es sind also weiter gute Ideen gesucht! ![[aufgemerkt]](/images/smileys/aufgemerkt.gif "[aufgemerkt]") .
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:16 Sa 11.06.2016 | | Autor: | fred97 |
> Das ist zwar richtig, passt aber hier nicht, denn wenn
> [mm]f(x)=\wurzel{(x-x_1)^2} + \wurzel{(x-x_2)^2} + \wurzel{(x-x_3)^2}[/mm]
> ist, ist [mm]f^2(x)\not=(x-x_1)^2 + (x-x_2)^2 + (x-x_3)^2[/mm].
na und ? Von Deinem obigen f hat niemand gesprochen, schau Dir die obigen Antworten an.
die wurzel geht über die Summe.
>
> Deshalb habe ich in meinem vorherigen Beitrag ja ein
> Beispiel eingefügt, das zeigt, dass für zwei
> unterschiedliche Punkte die Summe der Abstände und die
> Summe der Abstandsquadrate minimal ist. Und bekanntlich
> widerlegt ein Gegenbeispiel die Richtigkeit einer Aussage,
> wenn kein Fehler in dem Beispiel enthalten ist.
>
> Es sind also weiter gute Ideen gesucht! .
Etwas weniger Arroganz wäre angebracht !
fred
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:05 So 12.06.2016 | | Autor: | Thales1 |
Hallo FRED,
ich kann Deinen Vorwurf der Arroganz nicht nachvollziehen.
Als Mathematiker sind wir doch gewohnt, dass widersprüchliche Aussagen nicht gleichzeitig richtig sein können und dass ein Gegenbeispiel eine Aussage widerlegt.
Ein sehr einfach nachvollziehbares Gegenbeispiel zu Deiner Aussage steht oben bereits mit den Punkten $ [mm] P_{1}(0|0), P_{2}(1|0), P_{3}(3|0) [/mm] $ (in meinem Posting vom 11.06.2016 um 17:58 Uhr).
Dazu schrieb ich, wie Du richtig zitiert hast: "wenn kein Fehler in dem Beispiel enthalten ist."
Es ist doch offensichtlich meine eigene Überzeugung, dass das Beispiel richtig ist, sonst hätte ich es ja nicht hier genannt, zusammen mit der Bitte um Überprüfung, ob ein Fehler in dem Beispiel enthalten ist. Siehst du in dieser Formulierung einen arroganten Absolutheitsanspruch?
Weise doch einfach einen Fehler in dem Beispiel nach oder nimm Deinen Vorwurf der Arroganz zurück, falls er sich auf diesen Teil bezieht.
Im zweiten Teil geht es um den von Dir genannten Satz
Ist $ f: [mm] \IR \to \IR [/mm] $ eine nichtnegative Funktion, so gilt für ein $ [mm] x_0 \in \IR: [/mm] $
$ [mm] f(x_0) \le [/mm] $ f(x) für alle x $ [mm] \in \IR \quad \gdw \quad f(x_0)^2 \le f(x)^2 [/mm] $ für alle x $ [mm] \in \IR. [/mm] $
Hierzu habe ich meine Sichtweise geäußert, dass dieser Satz hier nicht weiterhilft, weil [mm] f(x)=\wurzel{(x-x_1)^2} [/mm] + [mm] \wurzel{(x-x_2)^2} [/mm] + [mm] \wurzel{(x-x_3)^2} [/mm] ist. Darauf antwortetest Du, dass "mein" f nicht passt. Auch diesen Punkt sollten wir sachlich klären.
Die Summe von Abständen ist eine Summe aus Termen der Form $ [mm] d_i(x,y)=\wurzel{(x-x_i)^2 + (y-y_i)^2} [/mm] $. Die y und [mm] y_i [/mm] entfallen, wenn - wie in dem genannten Beispiel - alle Punkte die y-Koordinate Null haben.
Mit dieser (sinnvollen) Vereinfachung passt "mein" Term für f(x) doch wohl?!? Falls ich hier irre, bitte ich Dich, einen inhaltlichen Beleg anzugeben.
Deine Aussage
"na und ? Von Deinem obigen f hat niemand gesprochen, schau Dir die obigen Antworten an."
hilft dabei nicht weiter. Welche richtige Aussage in den obigen Antworten widerlegt denn meine Darstellung? Bitte um sachdienlichen Hinweis, ich finde nichts.
Und lass uns im Sinne der Nettiquette das Problem inhaltlich und sachlich lösen und uns nicht gegenseitig beschimpfen. Das bringt doch niemanden weiter.
Viele Grüße
[mm] Thales_{1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:22 Fr 10.06.2016 | | Autor: | abakus |
Nicht geeignet für Klasse 10, aber interessant:
Die Menge aller Punkte, deren Abstandssumme zu A und B konstant ist, ist (jeweils) eine Ellipse mit den Brennpunkten A und B.
Von all diesen Punkten liegt einer besonders nahe an C.
Seine besondere Eigenschaft ist, dass die Normale an diesem Punkt durch C geht. (Einschränkung: Es gibt noch einen zweiten (weiter weg liegenden) Punkte der Ellipse, dessen Normale auch durch C geht).
Die Kunst ist nun, von den unendlich vielen Ellipsen mit den Brennpunkten A und B die "optimale" zu finden.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:51 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Thales1 |
Hallo Abakus,
danke für den sehr interessant klingenden Ansatz. Das könnte auch etwas für die 10. Klasse an einer Oberstufenschule für Hochgegabte sein, wenn man Kegelschnitte thematisiert. Da muss ich mich aber erst einmal selbst einarbeiten. Wie würdest Du den Vorschlag mit der Normalen denn weiter verfolgen?
Ich denke, ein Richtungsvekter der Winkelhalbierenden [mm] $\angle$F_{1}PF_{2} [/mm] sollte mit linearer Algebra ermittelbar sein (wenn wir die 10. Klasse mal außer Acht lassen). Dann hätte man eine Ellipsenschar mit den Parametern a und b für die beiden Halbachsen der Ellipse mit den Brennpunkten [mm] F_{1}=P_{1} [/mm] und [mm] F_{2}=P_{2} [/mm] und einen weiteren Parameter für den speziellen Punkt P, durch den die Normale mit minimalem Abstand zum dritten Punkt [mm] P_{3} [/mm] geht. Ohne das ausprobiert zu haben vermute ich, dass man dann einen ziemlichen Klotz hätte, den man mit partieller Differentiation zu minimieren versucht. Teilst Du diese Vermutung?
Hat jemand noch eine Idee, wie man die Idee von Abakus einfacher fortführen könnte, vielleicht auf geometrische Art? (Das ist leider nicht mein stärkstes Gebiet ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") ) Danke für alle sachdienlichen Hinweise!
Viele Grüße
[mm] Thales_{1}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Mo 13.06.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:03 Sa 11.06.2016 | | Autor: | M.Rex |
Hallo und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Meiner Meinung nach sollte der Schwerpunkt des Dreiecks sein, dessen Eckpunkte die drei gegebenen Punkte sind, der gesuchte Punkt mit minimaler Abstandssumme sein.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:55 Sa 11.06.2016 | | Autor: | Thales1 |
Hallo M.Rex,
danke für Deinen Hinweis. Ich glaube, der Schwerpunkt ist der Punkt mit der kleinsten Summe der Abstandsquadrate. Könntest du bitte erläutern, woher die Information kommt, dass es der Punkt mit der kleinsten Abstandssumme ist? Danke.
Viele Grüße
[mm] Thales_{1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:26 So 12.06.2016 | | Autor: | M.Rex |
> Hallo M.Rex,
>
> danke für Deinen Hinweis. Ich glaube, der Schwerpunkt ist
> der Punkt mit der kleinsten Summe der Abstandsquadrate.
Das sehe ich genauso.
> Könntest du bitte erläutern, woher die Information kommt,
> dass es der Punkt mit der kleinsten Abstandssumme ist?
Wenn du eine Funktion f(x) hast, die an einer Stelle [mm] x_{0} [/mm] einen Tiefpunkt hat, kannst du diese Funktion auch quadrieren, und die neue Funktion [mm] f^{2}(x) [/mm] hat immer noch den Tiefpunkt bei [mm] x_{0}
[/mm]
Ich fürchte aber, dass in meiner Arumentation doch irgendwo ein Denkfehler ist, nach Leopolds Hinweis mit dem Fermat-Torricelli-Punkt.
Ich fürchte nämlich, dass die Tatsache, dass das Dreieck ja eine Fläche ist, meinen Gedanken widerspricht, denn ich habe nur Funktionen betrachtet, die von einer Variablen abhängen. Der Schwerpunkt des Dreeicks ist aber durch zwei Koordinaten festgelegt.
> Danke.
>
> Viele Grüße
> [mm]Thales_{1}[/mm]
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:54 So 12.06.2016 | | Autor: | leduart |
Hallo
Fermat-Toricelli hat zur Folge dass man von P aus alle Seiten unter 120° sieht. Das hat auch einen physikalischen Grund: Spannt man einen durchgehenden Gummi um das Dreieck, dann die 3 Sehnen durch eine Öse, müssen sie sich so ziehen, dass die Kräfte ein Minimum sind, das ist genau der fall , wenn alle 3 Kräfte Gleichmaß sind d.h. einen winkel von 120° haben.
also sucht man hier das Min der potentiellen Spannenergie.
übrigens gibt mein problem [mm] \sum d^2 [/mm] Minimum den Schwerpunkt, und der minimiert wirklich nicht den Abstand.
Gruß leduart
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Fermat-Torricelli-Punkt![[lichtaufgegangen]](/images/smileys/lichtaufgegangen.gif "[lichtaufgegangen]"){kind=small}
