(Knifflige) Aufgabe zum Thema Zusammenhang < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Übungsaufgabe) Übungsaufgabe  | | Datum: | 02:09 So 11.07.2004 | | Autor: | Gnometech |
Gruß alle!
Also, erstmal vorweg, dies ist keine Frage im eigentlichen Sinn, da ich die Antwort schon kenne. Es ist vielmehr eine Übungsaufgabe, die ein Professor bei uns vor einigen Semestern im Rahmen einer Analysis II gestellt hat, die ich damals als Tutor begleitet habe. Ich habe recht lange an dieser Aufgabe geknobelt und von den Studenten hat sie damals leider niemand herausbekommen...
Das Ganze dient vorwiegend eurer Unterhaltung. :) Auch Lösungsansätze etc. sind willkommen!
Also, zur Aufgabe:
Zu jedem [mm] x \in [0,1][/mm] sei eine stetige Abbildung [mm] f_x: [-1,1] \rightarrow [-1,1][/mm] gegeben, mit der folgenden Eigenschaft:
[mm] f_x(-1) < 0 [/mm] und [mm] f_x(1) > 0[/mm] falls [mm] x \in \IQ [/mm]
[mm] f_x(-1) > 0 [/mm] und [mm] f_x(1) < 0[/mm] falls [mm] x \in \IR \backslash \IQ [/mm]
Definiere dann folgende Menge:
[mm] N := \{ (x,y,z) \in \IR^3 : x \in [0,1], y \in [-1,1], z = f_x(y) \} \subseteq \IR^3 [/mm]
Ist diese Menge zusammenhängend als Unterraum von [mm] \IR^3 [/mm]?
Viel Spaß beim Knobeln! :)
Lars
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt. :)
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:46 So 11.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Lars,
ich versuche mich mal mit einem Lösungsansatz.
>
> Das Ganze dient vorwiegend eurer Unterhaltung. :) Auch
> Lösungsansätze etc. sind willkommen!
>
> Also, zur Aufgabe:
>
> Zu jedem [mm]x \in [0,1][/mm] sei eine stetige Abbildung [mm]f_x: [-1,1] \rightarrow [-1,1][/mm]
> gegeben, mit der folgenden Eigenschaft:
>
> [mm]f_x(-1) < 0[/mm] und [mm]f_x(1) > 0[/mm] falls [mm]x \in \IQ[/mm]
> [mm]f_x(-1) > 0[/mm] und [mm]f_x(1) < 0[/mm] falls [mm]x \in \IR \backslash \IQ[/mm]
>
a) Die zusammenhängenden Mengen in [mm] $\IR$ [/mm] sind gerade die Intervalle.
b) Das Bild zusammenhängender Mengen unter stetigen Abbildungen ist wieder zusammenhängend.
Demnach wird für jedes [mm]x \in [0,1][/mm] unter [mm] $f_x$ [/mm] eine zusammenhängende Menge abgebildet. Das Bild ist wieder zusammenhängend.
> Definiere dann folgende Menge:
>
> [mm]N := \{ (x,y,z) \in \IR^3 : x \in [0,1], y \in [-1,1], z = f_x(y) \} \subseteq \IR^3[/mm]
>
Sei [mm] $x\in [/mm] [-1,1]$ fest. $[-1,1]$ ist kompakt und [mm] $f_x$ [/mm] stetig [mm] $\Rightarrow f_x([-1,1])$ [/mm] kompakt. Demnach ist der Quader [mm] $[0,1]\times [/mm] [-1,1] [mm] \times f_x([-1,1])$ [/mm] für festes $x$ kompakt (kann ich daraus folgern, dass es zusammenhängend ist?)
Stefan
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Hallo Stefan!
Also, zunächst mal liegst Du richtig - für jedes [mm] x \in [0,1][/mm] ist der Graph [mm] f_x([-1,1])[/mm] eine kompakte und auch zusammenhängende Menge.
Nun ist es aber so, dass alle diese Graphen quasi "aneinandergereiht" in diesen Quader gelegt werden. Und dadurch geht die Kompaktheit im Allg. verloren, denn die Abbildung, die das Paar [mm](x,y) [/mm] auf [mm] f_x(y)[/mm] abbildet ist nur in [mm] y[/mm] stetig, aber nicht in [mm] x[/mm] - die einzelnen Graphen brauchen nichts miteinander zu tun zu haben! Einzig die in der Aufgabe formulierte Bedingung steht zur Verfügung.
Lassen wir diese mal fallen, dann kann man leicht ein Gegenbeispiel konstruieren, dass die Menge [mm] N[/mm] nicht mehr kompakt sein muß. Beschränkt ist sie sicherlich, also kann einem nur die Abgeschlossenheit fehlen. Ist aber z.B. [mm] f_0(y) = y[/mm] und [mm] f_x (y) = 0[/mm] für [mm] x \in ]0,1][/mm], dann ist die so entstehende Menge mit Sicherheit nicht abgeschlossen, denn für eine beliebige streng monoton fallende Nullfolge [mm] x_n[/mm] gilt ja:
[mm] f_{x_n}(-1) = 0[/mm] für jedes [mm] n \in \IN[/mm], aber der Häufungspunkt liegt nicht in der Menge, da [mm] f_0(-1) = -1 \not= 0[/mm]
Trotzdem ist Kompaktheit ein guter Gedanke - die Kompaktheit und der Zusammenhang des Intervalls gehen nämlich in die Aufgabe ein!
Vielleicht noch ein Hinweis: eine schöne Methode, Zusammenhang zu untersuchen besteht darin, eine stetige Abbildung in den diskreten Raum [mm] \{0,1\} [/mm] zu betrachten. Wenn man zeigen kann, dass jede solche konstant ist, muß die Menge zusammenhängend sein, sonst ist sie es nicht, wie aus der anderen Aufgabe folgt.
Lars
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 23:30 So 11.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Lars,
ich bin mir jetzt nicht sicher, wie ich das in die Baumstruktur packen soll. Eventuell verschieb es ruhig.
Nachdem du mich bestärkt hast, greife ich mal in die Trickkiste und hoffe, es geht nicht schief (beim Prof klappt das immer!).
Ich hatte gezeigt, dass der Quader $ [mm] [0,1]\times [/mm] [-1,1] [mm] \times f_x([-1,1]) [/mm] $ für festes $ x $ kompakt und zusammenhängend ist. Definiere nun die Menge
[Edit] [mm] $M_x =\{x\} \times [/mm] [-1,1] [mm] \times f_x([-1,1]) [/mm] $
für jedes [mm] $x\in [/mm] [0,1]$. Dann habe ich eine Familie [mm] $\{M_{x_i}, i \in I\}$ [/mm] zusammenhängender Teilmengen für die gilt:
a) [mm] $\cup_{i\in I} M_{x_i} [/mm] = N$
b) für je zwei paarweis verschiedene Indizes [mm] $i\neq [/mm] j$ ist der Schnitt [mm] $M_i \cap M_j \neq \emptyset$
[/mm]
Dann ist aber $N$ zusammenhängend.
(vgl. Heuser, Übungsbuch zur Analysis, Teil 2, Kapitel 160, Hilfssatz 160.5)
q.e.d.
Noch Einwände?
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:19 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Stefan,
ja, stimmt!
Und bin auch gespannt. Habe mich wie ein Honigbär am Bienennest gefreut, obwohl ich annehme, dass Lars die Lösung zerreissen und mir den Honig aus den Pfoten schlagen wird... Aberr so lange freue ich mich noch weiter und schlecke noch etwas.
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:14 Mo 12.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan Wessel,
> Ich hatte gezeigt, dass der Quader [mm][0,1]\times [-1,1] \times f_x([-1,1])[/mm]
> für festes [mm]x[/mm] kompakt und zusammenhängend ist. Definiere nun
> die Menge [mm]M_x = [0,1]\times [-1,1] \times f_x([-1,1])[/mm] für
> jedes [mm]x\in [0,1][/mm]. Dann habe ich eine Familie [mm]\{M_{x_i}, i \in I\}[/mm]
> zusammenhängender Teilmengen für die gilt:
>
> a) [mm]\cup_{i\in I} M_{x_i} = N[/mm]
> b) für je zwei paarweis
> verschiedene Indizes [mm]i\neq j[/mm] ist der Schnitt [mm]M_i \cap M_j \neq \emptyset[/mm]
>
>
> Dann ist aber [mm]N[/mm] zusammenhängend.
>
> (vgl. Heuser, Übungsbuch zur Analysis, Teil 2, Kapitel 160,
> Hilfssatz 160.5)
Ich kenn den Heuser nicht, bezweifle aber diese Argumentation.
EDIT: Ich hab mich verlesen, sorry! Der folgende Absatz ist damit hinfällig.
Seien [mm] $N=\{0,1\}\times[-1,1]$, $M_1=\{0\}\times[-1,1]$ [/mm] und [mm] $M_2=\{1\}\times[-1,1]$ [/mm] Teilmengen des [mm] \IR^2.
[/mm]
Dann sind [mm] M_1 [/mm] und [mm] M_2 [/mm] kompakt und zusammenhängend, und es ist
a) [mm] $M_1\cup M_2=N$,
[/mm]
b) [mm] $M_1\cap M_2=\emptyset$,
[/mm]
aber N nicht zusammenhängend.
Hab ich was übersehen?
EDIT: Aber den folgenden Einwand halte ich noch immer für berechtigt.
Übrigens ist bei dir die Vereinigung der [mm] M_x [/mm] nicht N, sondern erst wenn du [mm] M_x [/mm] so definierst:
[mm]M_x = \{x\}\times \{(y, f_x(y)\ |\ y\in[-1,1]\}[/mm]
Dein [mm] M_x [/mm] ist ein Quader (oder Rechteck, wenn du das [0,1] durch {x} ersetzt, was aber wohl so beabsichtigt war?), du brauchst aber nur den Graphen von [mm] f_x.
[/mm]
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:20 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo Sir Jective, hallo Stefan!
Ich glaube wir haben uns beide verlesen (jedenfalls ich mich). Es heißt ja:
> > a) [mm]\cup_{i\in I} M_{x_i} = N[/mm]
> > b) für je zwei paarweis
>
> > verschiedene Indizes [mm]i\neq j[/mm] ist der Schnitt [mm]M_i \cap M_j \red{\neq} \emptyset[/mm]
Dieser Satz stimmt natürlich. Aber:
Ich hatte [mm] $M_i \cap M_j \red{=} \emptyset$ [/mm] gelesen (aber das hätte zugegebenermaßen auch keinen Sinn gemacht  ).
Und bei dir, Stefan, gilt ja [mm] $M_i \cap M_j \red{=} \emptyset$.
[/mm]
Und, ja, die [mm] $M_i$'s [/mm] waren immer noch falsch definiert.
Okay, dann kümmern wir uns mal um SirJectives Lösung und versuchen die mal etwas mehr zu formalisieren, bisher ist es ja noch sehr heuristisch.
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:36 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo Stefan
>
> Ich hatte [mm]M_i \cap M_j \red{=} \emptyset[/mm] gelesen (aber das
> hätte zugegebenermaßen auch keinen Sinn gemacht ).
>
> Und bei dir, Stefan, gilt ja [mm]M_i \cap M_j \red{=} \emptyset[/mm].
>
Warum? Sie schneiden sich mindestens alle in der y-Ebene
$[-1,1] [mm] \subset M_{x_i} \cap M_{x_j} [/mm] $
>
> Und, ja, die [mm]M_i[/mm]'s waren immer noch falsch definiert.
>
Ok, ich habe das korrigiert, wobei mir das - unter uns - magenschmerzen gemacht hat. Denn eigentlich wollte ich im Schnitt die X-Achse und die Y-Achse ganz haben.
Wegen der Stetigkeit von [mm] $f_x$ [/mm] kann ich auch sicherstellen, dass damit alle Mengen [mm] $M_{x_i}$ [/mm] den Punkt $(x,y,0) beinhalten, der Schnitt also auch dreidimensionale Elemente enthält.
Stefan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:41 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Stefan!
> Warum? Sie schneiden sich mindestens alle in der y-Ebene
> [mm][-1,1] \subset M_{x_i} \cap M_{x_j}[/mm]
Moment: Wenn ich sozusagen zwei "Halme"
[mm] $M_x [/mm] = [mm] \{(x,y,f_x(y)),\, y \in [-1,1]\}$
[/mm]
und
[mm] $M_{x'} [/mm] = [mm] \{(x',y,f_{x'}(y)),\, y \in [-1,1]\}$
[/mm]
mit $x [mm] \ne [/mm] x'$ haben, dann können die doch keinen Schnittpunkt haben.
Zwei beliebige Elemente aus [mm] $M_x$ [/mm] und [mm] $M_{x'}$ [/mm] stimmen ja auf keinen Fall in der ersten Komponente überein (und das ist ja wohl ein notwendiges Kriterium dafür, dass sie gleich sind.
Oder?
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:47 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Lieber Stefan,
DOONNNG!
Gibt es hier eine "ich schäme mich Ecke?" oder "gehe in das Gefängnis!" oder "zurück auf Los?"
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:21 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Wessel |
Hallo SirJective
>
> EDIT: Aber den folgenden Einwand halte ich noch immer für
> berechtigt.
>
> Übrigens ist bei dir die Vereinigung der [mm]M_x[/mm] nicht N,
> sondern erst wenn du [mm]M_x[/mm] so definierst:
> [mm]M_x = \{x\}\times \{(y, f_x(y)\ |\ y\in[-1,1]\}[/mm]
> Dein [mm]M_x[/mm]
> ist ein Rechteck, du brauchst aber nur den Graphen von
> [mm]f_x.
[/mm]
>
Ja, da hat mich Stefan schon drauf aufmerksam gemacht. Akzeptiere ich. Werde ich jetzt oben in meiner Ausführung korrigieren. Darf ich die dann wieder auf "modus normal" von "modus falsch" umstellen?
Gruß,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Lieber Stefan!
Jetzt hast du deine Antwort grün markiert, aber sie ist immer noch falsch, und zwar aus den folgenden Gründen:
1) Die [mm] $M_x$ [/mm] sind immer noch falsch definiert (schau dir SirJectives oder meine Definition an, ich denke mal du hast da mein "Edit" in meinem Beitrag zu spät gesehen).
2) Du kannst den Satz aus dem Heuser nicht anwenden, da die Schnitte ja eben nicht nichtleer (also leer ) sind.
Liebe Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:33 Mo 12.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan!
> Darf ich die dann wieder auf "modus normal"
> von "modus falsch" umstellen?
Darfst du, ist bloss immer noch falsch *g*
Es besteht ein großer Unterschied zwischen
[mm]M_{x,1} = \{x\}\times \{(y, f_x(y)\ |\ y\in[-1,1]\}[/mm]
und
[mm]M_{x,2} = \{x\}\times [-1,1]\times f_x([-1,1])[/mm]
Die Vereinigung der ersten ergibt N, die Vereinigung der zweiten nicht.
Ist z.B. [mm] f_x(y)=y [/mm] für rationale x und [mm] f_x(y)=-y [/mm] für irrationale x, dann ist die Vereinigung der [mm] M_{x,2} [/mm] der Quader [0,1]x[-1,1]x[-1,1], während N aber nur ein "löchriges Kreuz" ist.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:00 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Wessel |
> Hallo Stefan!
>
> > Darf ich die dann wieder auf "modus normal"
> > von "modus falsch" umstellen?
>
> Darfst du, ist bloss immer noch falsch *g*
OK, naja, gibt sicherlich auch eine Grund dafür, dass der Griff in die Trickkiste nur beim Prof klappt [schnief].
>
> Es besteht ein großer Unterschied zwischen
> [mm]M_{x,1} = \{x\}\times \{(y, f_x(y)\ |\ y\in[-1,1]\}[/mm]
>
> und
> [mm]M_{x,2} = \{x\}\times [-1,1]\times f_x([-1,1])[/mm]
> Die
> Vereinigung der ersten ergibt N, die Vereinigung der
> zweiten nicht.
>
> Ist z.B. [mm]f_x(y)=y[/mm] für rationale x und [mm]f_x(y)=-y[/mm] für
> irrationale x, dann ist die Vereinigung der [mm]M_{x,2}[/mm] der
> Quader [0,1]x[-1,1]x[-1,1], während N aber nur ein
> "löchriges Kreuz" ist.
Ja, sehe ich. Danke,
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:59 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Gnometech |
Ihr nehmt mir die Worte aus dem Mund - so klappt es leider nicht.
Ich habe unten auf die Ideen von SirJective hin einen ausführlichen Ansatz gepostet, der noch vervollständigt werden muß... 
Aber wie man sieht sind diese Zusammenhangsgeschichten tückisch. Und doch kommen sie ganz oft und immer wieder auch in der "Natur" vor - unzusammenhängende Menge begegnen einem öfter als man denkt.
Ein Beispiel dafür ist die Gruppe der orthogonalen Matrizen über [mm] \IR[/mm] mit der Topologie, die von der Matrixnorm kommt (oder auch mit der Zariski-Topologie, falls die jemand kennt): diese Menge zerfällt in zwei Zusammenhangskomponenten, nämlich diejenigen orthogonalen Matrizen mit Determinante 1 und solche mit Determinante -1.
Also dann, weiterhin gutes Gelingen!
Lars
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Hallo gnometech,
> Zu jedem [mm]x \in [0,1][/mm] sei eine stetige Abbildung [mm]f_x: [-1,1] \rightarrow [-1,1][/mm]
> gegeben, mit der folgenden Eigenschaft:
>
> [mm]f_x(-1) < 0[/mm] und [mm]f_x(1) > 0[/mm] falls [mm]x \in \IQ[/mm]
> [mm]f_x(-1) > 0[/mm] und [mm]f_x(1) < 0[/mm] falls [mm]x \in \IR \backslash \IQ[/mm]
Daraus kann ich z.B. schließen, dass für [mm] x_1\in\IQ [/mm] und [mm] x_2\in\IR\setminus\IQ [/mm] ein [mm] y\in[-1,1] [/mm] existiert mit [mm] f_{x_1}(y)=f_{x_2}(y). [/mm] Das kann man vielleicht ausnutzen, wenn [mm] x_1 [/mm] und [mm] x_2 [/mm] nahe beieinander liegen. (Bezugspunkt: 1)
> Definiere dann folgende Menge:
>
> [mm]N := \{ (x,y,z) \in \IR^3 : x \in [0,1], y \in [-1,1], z = f_x(y) \} \subseteq \IR^3[/mm]
>
> Ist diese Menge zusammenhängend als Unterraum von [mm]\IR^3 [/mm]?
Jeder Schnitt durch N für konstantes x ist - wie schon festgestellt - als Graph von [mm] f_x [/mm] zusammenhängend. Ich frage mich also, ob je zwei dieser Graphen zusammenhängen.
Bei diesen Mengen vermute ich, dass ein Unterschied zwischen zusammenhängend und wegzusammenhängend besteht, glaube also, dass N durchaus nicht wegzusammenhängend sein kann. Aber danach ist auch nicht gefragt. Muss ich also mit offenen Umgebungen oder stetigen Abbildungen in diskrete Räume klarkommen.
N sei irgendwie von zwei disjunkten offenen Teilmengen [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] überdeckt, wobei [mm] U_1 [/mm] einen nichtleeren Schnitt mit N habe. Wenn ich nun zeige, dass ich von einem [mm] $(x,y,z)\in U_1\cap [/mm] N$ zu jedem anderen Punkt von N komme, und das durch einen Weg, der ganz in [mm] U_1 [/mm] liegt, dann liegt N ganz in [mm] U_1 [/mm] und ist damit zusammenhängend.
Sei nun also [mm] $(x,y,z)\in U_1\cap [/mm] N$, dann liegt [mm] $\{x\}\times\{(y,f_x(y))|y\in[-1,1]\}$ [/mm] in [mm] U_1, [/mm] und sei (a,b,c) ein beliebiger anderer Punkt von N.
Ich überlege nun, N mit allen offenen Kugeln zu überdecken, die in [mm] U_1 [/mm] bzw. [mm] U_2 [/mm] liegen. Wenn N kompakt ist - was ich noch nicht gezeigt habe, wovon ich auch nicht weiß, ob's gilt - dann reichen endlich viele dieser Kugeln aus. Nehme ich mal kurz an, dass N kompakt ist. Dann geht's vielleicht so weiter:
Ich kann mich dann geeignet von einer Kugel zur nächsten durchhangeln, um von (x,y,z) nach (a,b,c) zu kommen. Dabei nützt mir die oben genannte Eigenschaft (1), denn sie erlaubt mir, das x zu wechseln. Der Wechsel der y-Komponente ist unproblematisch, da der Graph von [mm] f_x [/mm] zusammenhängend und kompakt ist (das weiss ich immerhin).
Naja, dies sind erstmal meine Ideen für heute Morgen.
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:03 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo SirJective!
Was ich hier nicht verstehe: Oben sagst du, dass die Menge vermutlich nicht wegzusammenhängend ist und unten zeigst du (mit einer kleinen Annahme der Kompaktheit), dass sie doch wegzusammenhängend ist. (Meiner Ansicht nach stimmt der Beweis dann auch.) Hast du zwischendurch deine Meinung geändert?
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:06 Mo 12.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo Stefan,
ich vermute immer noch, dass N nicht wegzusammenhängend ist.
Für wegzusammenhängend halte ich die offene Umgebung von N, die aus den endlich vielen Kugeln besteht (deren Existenzbeweis noch aussteht). Wenn mir gelingt, dies auch nachzuweisen, dann habe ich den Zusammenhang von N gezeigt (da [mm] U_1 [/mm] und [mm] U_2 [/mm] beliebig waren).
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:15 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Stefan |
Hallo SirJective!
Ach so, die Wege die du konstruierst, sollen nicht notwendig in $N$ verlaufen (mir war jetzt auch gerade nicht mehr klar, wie das gehen sollte), sondern in [mm] $U_1$?
[/mm]
Okay, dann verstehe ich es.
Viele Grüße
Stefan
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Gruß!
Wow, da ist man mal 1 Tag nicht da, schon explodiert die Aufgabe.
Aber das finde ich gut... sind sehr schöne Ideen dabei.
Gerade Deine Gedanken, SirJective, bewegen sich schon nahe an der Lösung. Allerdings ist N im allgemeinen wirklich nicht kompakt - und kann es auch nicht sein. Denn als Teilmenge des [mm] \IR^3 [/mm] wäre Kompaktheit von N äquivalent dazu, dass N abgeschlossen und beschränkt ist. Beschränkt ist die Menge mit Sicherheit. Die Abgeschlossenheit gilt aber nicht, wie folgendes Argument zeigt:
Sei [mm] x \in [0,1] [/mm] irrational und [mm] x_n \in [0,1] \cap \IQ [/mm] eine Folge, die gegen x konvergiert. Dann ist klar, dass [mm] f_{x_n}(-1) < 0 [/mm] für jedes n; nehme einen beliebigen Häufungspunkt dieser Folge (der ja wg. der Beschränktheit existieren muß), dann folgt, dass dieser das [mm] x[/mm] als erste Komponente hat (jede Teilfolge von [mm] x_n[/mm] konvergiert auch gegen x) und die y Koordinate ist -1 und die z Koordinate ist kleiner oder gleich 0 - dieser Punkt kann aber nicht in N liegen, denn [mm] f_x(-1) > 0[/mm]. Damit haben wir einen Häufungspunkt von Elementen aus N gefunden, der nicht in der Menge liegt - aber in deren Abschluss. Damit ist [mm] \bar{N} \not= N [/mm], also N nicht abgeschlossen, folglich auch nicht kompakt.
Das andere Argument stimmt aber auch: für rationales [mm] x[/mm] und irrationales [mm] x'[/mm] findet man stets ein [mm] y \in [-1,1][/mm] mit der Eigenschaft [mm] f_x(y) = f_{x'}(y) [/mm]. Das muß man auch ausnutzen.
Ich gebe eine Starthilfe: Sei eine stetige Abbildung [mm] g: N \rightarrow \{0,1\}[/mm] gegeben. Wir müssen zeigen, dass [mm] g[/mm] konstant ist. O.B.d.A. können wir annehmen, dass [mm] g(f_0([-1,1]) = 0[/mm], denn der erste "Teilgraph" wird sicherlich in einer Zusammenhangskomponente liegen - er ist ja wegzusammenhängend.
Die Abbildung ist stetig, also ist das Urbild der Menge [mm] \{0\}[/mm] offen und damit existiert zu jedem [mm] y \in [-1,1] [/mm] ein [mm] \varepsilon_y > 0[/mm], so dass für [mm] U := B_{\varepsilon_y}(f_0(y)) \cap N[/mm], also den [mm] \varepsilon_y[/mm] Ball um jeden Punkt des "ersten" Graphen gilt:
[mm]g(U) = 0 [/mm]
Nun ist [mm]f_0([-1,1]) [/mm] kompakt und wird von diesen Bällen überdeckt - also reichen endlich viele und unter diesen gibt es ein kleinstes [mm] \varepsilon[/mm]. Man kann auch annehmen, dass es sich um Bälle bezüglich der Supremumsnorm handelt (also Quader), da alle Normen auf dem [mm] \IR^3 [/mm] äquivalent sind - das vereinfacht die Dinge, denn jetzt können wir folgende Aussage treffen: für dieses eine Epsilon gilt jetzt nämlich:
[mm] g(B_{\varepsilon}(f_0(y))\cap N) = 0 [/mm] und zwar für alle [mm] y \in [-1,1][/mm]!
Für jede irrationale Zahl [mm] x' \in [0, \varepsilon[ [/mm] gibt es aber nun wie eingangs erwähnt ein [mm] y \in [-1,1][/mm] mit [mm] f_0(y) = f_{x'}(y)[/mm] und damit folgt, dass auch die Graphen [mm] f_{x'}[/mm] in derselben Zusammenhangskomponente liegen...
Was aber ist nun mit den rationalen Stellen bis Epsilon? Und wie geht es darüber hinaus weiter? Den Rest überlasse ich wieder euch.
Lars
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:31 Mo 12.07.2004 | | Autor: | SirJective |
Hallo gnometech,
> Gerade Deine Gedanken, SirJective, bewegen sich schon nahe
> an der Lösung. Allerdings ist N im allgemeinen wirklich
> nicht kompakt - und kann es auch nicht sein. [...]
> Die Abgeschlossenheit gilt aber
> nicht, wie folgendes Argument zeigt:
> [...]
Dass die Abgeschlossenheit nicht immer erfüllt ist, darauf hätt ich schon nach meinem Beispiel mit dem "löchrigen Kreuz" kommen können; dass sie aber niemals erfüllt ist, überraschte mich im ersten Moment ein wenig. Dein Argument ist aber klar.
> Das andere Argument stimmt aber auch: für rationales [mm]x[/mm] und
> irrationales [mm]x'[/mm] findet man stets ein [mm]y \in [-1,1][/mm] mit der
> Eigenschaft [mm]f_x(y) = f_{x'}(y) [/mm].
Dachte ich mir schon Dies nenne ich Argument (1).
Ich verwende im folgenden diese (von Stefan Wessel motivierte) Notation für jedes x aus [0,1]:
[mm] $M_x [/mm] := [mm] (\{x\}\times\IR\times\IR) \cap N\\ [/mm] = [mm] \{(x,y,f_x(y))\mid y\in[-1,1]\}$
[/mm]
Und diese:
[mm] $C_x [/mm] := [mm] [0,1]\setminus\IQ$, $C'_x:=[0,1]\cap\IQ$ [/mm] für [mm] $x\not\in\IQ$,
[/mm]
[mm] $C_x [/mm] := [mm] [0,1]\cap\IQ$, [/mm] $C'_x := [mm] [0,1]\setminus\IQ$ [/mm] für [mm] $x\in\IQ$.
[/mm]
Damit ist [mm] $x\in C_x$, [/mm] und $C'_x = [0,1] [mm] \setminus C_x$.
[/mm]
Ich nehme eine beliebige offene disjunkte Überdeckung [mm] U_1, U_2 [/mm] von N.
Dann liegt mit jedem [mm] (x,y,f_x(y)) [/mm] ganz [mm] M_x [/mm] in [mm] U_1 [/mm] bzw. [mm] U_2, [/mm] wegen des Wegzusammenhangs des Graphen von [mm] f_x. [/mm] Die Überdeckung ist also "streifenweise", d.h. für jedes x aus [0,1] ist entweder [mm] $M_x\subset U_1$ [/mm] oder [mm] $M_x\subset U_2$.
[/mm]
Sei [mm] $i\in\{1,2\}$ [/mm] und [mm] (x,y,f_x(y)) [/mm] in [mm] U_i.
[/mm]
Dann ist [mm] M_x \subset U_i. [/mm] Nach deinem Vorschlag, gnometech, überdecke ich die kompakte Menge [mm] M_x [/mm] mit endlich vielen offenen Würfeln [mm] W_j [/mm] (Kugeln bzgl. [mm] $||.||_\infty$), [/mm] die ganz in [mm] U_i [/mm] liegen. Sei [mm] \varepsilon [/mm] der kleinste Radius (halbe Seitenlänge) dieser Würfel.
Nach Argument (1) gibt es für jedes [mm] $x'\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap [/mm] C'_x$ ein y' mit [mm] f_{x'}(y')=f_x(y'). [/mm] Der Punkt [mm] P:=(x',y',f_{x'}(y')) [/mm] liegt dann zusammen mit [mm] (x,y',f_x(y')) [/mm] in einem Überdeckungswürfel [mm] W_j. [/mm] Damit liegt P in [mm] U_i, [/mm] und damit ist [mm] $M_{x'}\subset U_i$.
[/mm]
Darauf aufbauend folgt nun für jedes [mm] $x'\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap C_x$, [/mm] dass [mm] M_{x'} [/mm] in [mm] U_i [/mm] liegt.
Damit ist folgendes gezeigt:
Für jedes x in [0,1] gibt es ein [mm] \varepsilon>0 [/mm] mit: Aus [mm] $M_x\subset U_i$ [/mm] folgt [mm] $M_{x'}\subset U_i$ [/mm] für jedes [mm] $x'\in(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\cap[0,1]$.
[/mm]
Damit ist die Menge der x-Werte von [mm] U_1 [/mm] und von [mm] U_2 [/mm] offen in [0,1], und wegen der Disjunktheit der beiden (streifenweise Überdeckung!) haben wir damit [0,1] in zwei disjunkte offene Teilmengen zerlegt - damit muss eine der beiden leer sein. Damit hat aber auch [mm] U_1 [/mm] oder [mm] U_2 [/mm] einen leeren Schnitt mit N.
So, alle Klarheiten beseitigt?
Gruss,
SirJective
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:52 Mo 12.07.2004 | | Autor: | Gnometech |
Gratulation!
Genau das war auch meine Lösung damals. Ich habe sie zwar im Tutorium vorgestellt aber ansonsten mit noch niemandem diskutiert - dass Du auf das gleiche Resultat kommst ist zumindest ein Indiz von mir, dass es nicht so ganz falsch sein kann. :)
Also sind wir uns einig... N ist zusammenhängend. Beweis s. Artikel hiervor.
Glückwunsch.
Lars
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