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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:35 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Sharadix |
| Aufgabe | Beweise: [mm] \bruch{3}{e}^{-(r-2)/2}=o(\wurzel{log(r)/r})
[/mm]
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Kurz zur Erläuterung. Also wir haben hier nichts gegeben oder der gleichen. Das klein o stammt aus der Komplexitätslehre. Es besagt:
Wenn lim,x->inf von( f(x)/g(x))=0, dann ist f(x) in o(g(x)).
Hoffe ich hab das einigermaßen richtig definiert.
Also ich meine man muss bei der Aufgabe wie folgend vorgehen:
Zeige:
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty}\vektor{\bruch{3}{e} ^{-(r-2)/2}/(\wurzel{log(r)/r})}=0
[/mm]
Sowei so gut... also ich denke man muss eben zeigen, dass bei steigendem r das ganze gegen null konvergiert. Klar, aber das Problem, der Ausdruck ist so kompliziert, ich finde einfach keinen Anfang.
L'hospital wäre eine Möglichkeit, also den Ausdruck irgendwie zu vereinfachen durch mehrmaliges ableiten, aber ich komme einfach nicht weiter, bzw. überhaupt voran. Ich brauche Hilfe :(.
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Und was bedeutet [mm]{3 \choose e}[/mm] ?
Ist das ein Binomialkoeffizient? Und [mm]e[/mm] die Eulersche Zahl?
Aber das kann ja wohl nicht sein. Was also ist damit gemeint?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:15 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hi,
> Und was bedeutet [mm]{3 \choose e}[/mm] ?
>
> Ist das ein Binomialkoeffizient? Und [mm]e[/mm] die Eulersche Zahl?
> Aber das kann ja wohl nicht sein. Was also ist damit
> gemeint?
doch, kann sein, siehe:
![[]](/images/popup.gif) Verallgemeinerter Binomialkoeffizient.
($ [mm] {\alpha \choose k}=\frac{1}{(\alpha+1)\cdot\mathrm B(k+1,\alpha-k+1)} [/mm] $ für [mm] $\alpha \in \IR \setminus\{-1,\;-2,\;-3\;...\}$ [/mm] und $k [mm] \in \IR\,.$)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:09 Sa 01.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> Beweise: [mm]\vektor{3 \\ e}^{-(r-2)/2}=o(\wurzel{log(r)/r})[/mm]
>
> Kurz zur Erläuterung. Also wir haben hier nichts gegeben
> oder der gleichen. Das klein o stammt aus der
> Komplexitätslehre. Es besagt:
> Wenn lim,x->inf von( f(x)/g(x))=0, dann ist f(x) in
> o(g(x)).
> Hoffe ich hab das einigermaßen richtig definiert.
> Also ich meine man muss bei der Aufgabe wie folgend
> vorgehen:
> Zeige:
> [mm]\limes_{r\rightarrow\infty}\vektor{\vektor{3 \\ e}^{-(r-2)/2}/(\wurzel{log(r)/r})}=0[/mm]
Schreib das doch mal um. Der Ausdruck im Limes ist doch [mm] $\exp\left( -\frac{r - 2}{2} \log \binom{3}{e} + \frac{1}{2} \log r - \frac{1}{2} \log \log r \right)$. [/mm] Damit das gegen 0 geht, muss also [mm] $-\frac{r - 2}{2} \log \binom{3}{e} [/mm] + [mm] \frac{1}{2} \log [/mm] r - [mm] \frac{1}{2} \log \log [/mm] r$ gegen [mm] $-\infty$ [/mm] gehen.
Du musst also erstmal [mm] $\log \binom{3}{e} [/mm] > 0$ zeigen, oder aequivalent [mm] $\binom{3}{e} [/mm] > 1$, ansonsten geht das naemlich gar nicht.
Wenn du das hast, sollte es nicht mehr schwer sein... (Betrachte einfach [mm] $\log \binom{3}{e}$ [/mm] als positive Konstante.)
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:29 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Sharadix |
hoppla, sorry.
Das sollte ein Bruch sein. 3 durch e.
Also 3 durch ich schätze mal die eulersche Zahl (2.7...)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:30 Sa 01.11.2008 | | Autor: | Sharadix |
Tut mir leid für die umstände an alle, die bisher mitgeknobelt haben, aber das Problem steht damit immernoch. :(
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Hallo Sharadix,
den Binomialkoeffizient hat jemand anders eingebracht,
ich vermute aber, dass um den Bruch [mm] \bruch{3}{e} [/mm] herum
wohl trotzdem Klammern stehen sollten; zu zeigen wäre
also wohl:
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty}\left(\left(\bruch{3}{e}\right) ^{-(r-2)/2}\big{/}\wurzel{log(r)/r}\right)=0
[/mm]
Reklamiere bitte, wenn das eine falsche Interpretation
sein sollte.
Durch Anwendung der Regeln für das Potenzrechnen
kann man den obigen Term umformen zu:
[mm] \limes_{r\rightarrow\infty}\ \left( \bruch{3}{e}*\left( \left(\bruch{e}{3}\right) ^r*\bruch{r}{log(r)}\right)^{1/2} \right)
[/mm]
Der Faktor vor der Klammer ist eine Konstante. Im wesentlichen
geht es jetzt zunächst darum, den Grenzwert g des Ausdrucks
in der Klammer zu ermitteln, also
[mm] g=\limes_{r\rightarrow\infty}\ \left(\left(\bruch{e}{3}\right)^r*\bruch{r}{log(r)}\right)
[/mm]
Hat man g , so ist der gesuchte Grenzwert gleich [mm] \bruch{3}{e}*\wurzel{g}
[/mm]
Gruß
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Also schon mal vielen Dank!
Die Umforumung hilft wirklich.
g ist ja nun
[mm] (\bruch{e}{3})^{r}, [/mm] also sinkt der Term ja exponentiell
und
r/log(r) wächst zwar, aber halt nicht so schnell wie der vordere Ausdruck.
((Kurze zwischen Frage, wie würde man denn soetwas nennen? Also das wachstumsverhalten? Linear/logarithmisch? Gibts dafür einen schönen Ausdruck?))
Ansonsten dürfte damit ja der Beweis schon fertig sein, da ja exponentiell schneller wächst und der Term unter der Wurzel gegen 0 geht, oder? Die Konstante wäre ja dann auch egal.
Auf jeden Fall danke an alle, die sich bei der Hilfe beteiligt haben.
lg
sharadix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:20 Di 04.11.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:39 Di 04.11.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo Sharadix,
> Also schon mal vielen Dank!
> Die Umforumung hilft wirklich.
> g ist ja nun
> [mm](\bruch{e}{3})^{r},[/mm] also sinkt der Term ja exponentiell
> und
> r/log(r) wächst zwar, aber halt nicht so schnell wie der
> vordere Ausdruck.
> ((Kurze zwischen Frage, wie würde man denn soetwas nennen?
> Also das wachstumsverhalten? Linear/logarithmisch? Gibts
> dafür einen schönen Ausdruck?))
> Ansonsten dürfte damit ja der Beweis schon fertig sein, da
> ja exponentiell schneller wächst und der Term unter der
> Wurzel gegen 0 geht, oder? Die Konstante wäre ja dann auch
> egal.
>
> Auf jeden Fall danke an alle, die sich bei der Hilfe
> beteiligt haben.
das ganze ist so ein bisschen "schulmathematisch" ausgedrückt, wenngleich man es an der Uni auch lernt, aber da lernt man dann auch, wie man solche Aussagen beweist. In der Tat spricht man auch öfter vom Wachstumverhalten.
Aber ich gebe Dir mal einen Tipp:
Das die Exponentialfunktion für $x [mm] \to \infty$ [/mm] schneller als jede feste Potenz von $x$ wächst, beweist man z.B. mit dem Satz von de L'Hospital.
Hast Du mal versucht, Deine Aufgabe mit Hospital zu lösen?
(Edit: Ich sehe gerade, dass man es anders machen sollte.)
Man braucht hier vielleicht einen Zwischenschritt (mit $const=3/e$):
$$0 [mm] \le \frac{const^{-(r-2)/2}}{\sqrt{\frac{\log(r)}{r}}} \le \frac{const^{-(r-2)/2}}{\sqrt{\frac{1-\frac{1}{r}}{r}}}=\frac{r*const^{-(r-2)/2}}{\sqrt{r-1}}\le r*const^{-(r-2)/2} [/mm] $$
gilt für alle $r [mm] \ge 2\,.$
[/mm]
(Benutzt habe ich zunächst die Abschätzung [mm] $1-\frac{1}{x} \le \ln(x)$ [/mm] für alle $x > [mm] 0\,.$ [/mm] Sollte der [mm] $\log$ [/mm] bei Dir ein anderer sein, so kannst Du Dir sicher mit [mm] $\log_a(\cdot)=\frac{\ln(\cdot)}{\ln(a)}$ [/mm] (für $a > 0$) etwas analoges überlegen.)
Und das [mm] $r*const^{-(x-2)/2}=\frac{r}{const^{(r-2)/2}} \to [/mm] 0$ bei $r [mm] \to \infty\,,$ [/mm] das sieht man mit Hospital.
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:01 Sa 01.11.2008 | | Autor: | felixf |
Hallo
> > Beweise: [mm]\vektor{3 \\ e}^{-(r-2)/2}=o(\wurzel{log(r)/r})[/mm]
> >
> > Kurz zur Erläuterung. Also wir haben hier nichts gegeben
> > oder der gleichen. Das klein o stammt aus der
> > Komplexitätslehre. Es besagt:
> > Wenn lim,x->inf von( f(x)/g(x))=0, dann ist f(x) in
> > o(g(x)).
> > Hoffe ich hab das einigermaßen richtig definiert.
> > Also ich meine man muss bei der Aufgabe wie folgend
> > vorgehen:
> > Zeige:
> > [mm]\limes_{r\rightarrow\infty}\vektor{\vektor{3 \\ e}^{-(r-2)/2}/(\wurzel{log(r)/r})}=0[/mm]
>
> Schreib das doch mal um. Der Ausdruck im Limes ist doch
> [mm]\exp\left( -\frac{r - 2}{2} \log \binom{3}{e} + \frac{1}{2} \log r - \frac{1}{2} \log \log r \right)[/mm].
> Damit das gegen 0 geht, muss also [mm]-\frac{r - 2}{2} \log \binom{3}{e} + \frac{1}{2} \log r - \frac{1}{2} \log \log r[/mm]
> gegen [mm]-\infty[/mm] gehen.
>
> Du musst also erstmal [mm]\log \binom{3}{e} > 0[/mm] zeigen, oder
> aequivalent [mm]\binom{3}{e} > 1[/mm], ansonsten geht das naemlich
> gar nicht.
Ob's nun [mm] $\binom{3}{e}$ [/mm] oder [mm] $\frac{3}{e}$ [/mm] ist macht keinen Unterschied: dass [mm] $\frac{3}{e} [/mm] > 1$ ist, ist sogar noch klarer, womit der Beweis recht einfach funktioniert :)
LG Felix
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