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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:49 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Keywey |
| Aufgabe | Ein Quadrat mit der Seitenlänge a=8cm wird in neun gleich große Quadrate aufgeteilt, von denen das mittlere Quadrat rot angemalt wird. Jedes der acht nicht angemalten Quadrate wird wiederum in neun gleich große Quadrate eingeteilt und wieder wird jeweils das mittlere Quadrat rot angemalt. Dieser Prozess wird fortgesetzt.
Berechne die Größe der nicht angemalten Fläche, nachdem sechs Farbvorgänge stattgefunden haben. |
Guten Abend!
Diese Aufgabe kam mir heute bei der Mathenachhilfe vor die Augen. Allerdings hatte ich nur noch 2 Minuten Zeit und habe mich dann entschieden sie zuhause zu lösen! Die Aufgabe stellte sich für mich aber doch als schwerer heraus...
Ich möchte die gefärbte Fläche berechnen und diese dann von der Gesamtfläche abziehen, um auf die freie Fläche zu kommen!
Diese Formel habe ich aufgestellt:
[mm] 64-64*(\bruch{8^0}{9^1}+\bruch{8^1}{9^2}+\bruch{8^2}{9^3}+\bruch{8^3}{9^4}+\bruch{8^4}{9^5}+\bruch{8^5}{9^6})
[/mm]
Stimmt die? Ich bekomme dann nämlich für die gefärbte Fläche mehr als die Hälfte von 64cm² raus =O
Im Voraus schon einmal danke für die Hilfe!
Gruß, keywey
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Hallo Keywey,
Sei [mm]a\![/mm] die Seitenlänge des Anfangsquadrats in cm. Sei [mm](2k+1)^2[/mm] die Anzahl der gleich großen Quadrate in die das Anfangsquadrat geteilt wird. Zieht man die Fläche des mittleren Quadrats ab, erhält man folgende Restfläche für die erste Iteration:
[mm]F_0 = \frac{\left((2k+1)^2-1\right)\cdot{}a^2}{(2k+1)^2}\;\left[\texttt{cm}^2\right][/mm]
Für [mm]F_1[/mm] muß [mm]\tfrac{a^2}{(2k+1)^2}[/mm] weiter unterteilt werden: [mm]\left((2k+1)^2-1\right)\tfrac{a^2}{(2k+1)^4}[/mm]. Also insgesamt:
[mm]F_1 = \left((2k+1)^2-1\right)^2\frac{a^2}{(2k+1)^4}\;\left[\texttt{cm}^2\right][/mm]
Jetzt machen wir so weiter:
[mm]F_2 = \left((2k+1)^2-1\right)^3\frac{a^2}{(2k+1)^6}\;\left[\texttt{cm}^2\right][/mm]
Also gilt allgemein für die [mm]i\texttt{-te}[/mm] Iteration:
[mm]F_i(a,k) = \left((2k+1)^2-1\right)^{i+1}\frac{a^2}{(2k+1)^{2(i+1)}}\;\left[\texttt{cm}^2\right][/mm]
und für deinen Fall:
[mm]F_5(8,1)=8^6\cdot{}\frac{8^2}{9^{12}}\;\left[\texttt{cm}^2\right]=5.94\cdot{}10^{-5}\;\left[\texttt{cm}^2\right][/mm]
Könnte die restliche Fläche wirklich so klein werden, oder übersehe ich etwas?
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:13 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Keywey |
Hallo :)
Vorab: Danke für die schnelle und ausführliche Antwort.
Ich habe glaube ich den Fehler im letzten Schritt entdeckt.
Dort hast du (darf ich dutzen?^^) für meinen Fall den Wert der freien Fläche ausgerechnet. Dabei ist k=1.
Dann steht dort aber nicht [mm] F_{5}(8,1)=8^6* \bruch{8^2}{9^{12}}
[/mm]
sondern: [mm] F_{5}(8,1)=8^6*\bruch{8^2}{3^{12}} [/mm] oder?
Das ergäbe dann: [mm] \approx7,707*10^-3 cm^2
[/mm]
Ist aber trotzdem noch sehr wenig?!?!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:17 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Karl_Pech |
> Vorab: Danke für die schnelle und ausführliche Antwort.
> Ich habe glaube ich den Fehler im letzten Schritt
> entdeckt.
> Dort hast du (darf ich dutzen?^^) für meinen Fall den
> Wert der freien Fläche ausgerechnet. Dabei ist k=1.
> Dann steht dort aber nicht [mm]F_{5}(8,1)=8^6* \bruch{8^2}{9^{12}}[/mm]
>
> sondern: [mm]F_{5}(8,1)=8^6*\bruch{8^2}{3^{12}}[/mm] oder?
> Das ergäbe dann: [mm]\approx7,707*10^-3 cm^2[/mm]
Da haben wir uns wohl beide verrechnet.
Es gilt: [mm]\tfrac{8^6\cdot{}8^2}{3^{12}}=\tfrac{16777216}{531441}\approx 31.56929179344462\;\left[\texttt{cm}^2\right][/mm]. Und das sind ungefähr 49% von der Fläche des ursprünglichen Quadrats. Man sieht aber auch so, daß Stefan und ich dieselbe Formel rausgekriegt haben. Sein Ansatz ist jedoch wesentlich eleganter: Warum einzelne Quadrate betrachten, wenn man die gesamte Restfläche auf einmal betrachten kann. :)
Viele Grüße
Karl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:26 Mi 21.04.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
> Diese Formel habe ich aufgestellt:
die stimmt.
Aber wesentlich einfacher ist die direkte Betrachtung der freien Fläche.
Nach dem ersten Schritt sind [mm] $\frac89$ [/mm] frei. Beim zweiten wird jetzt [mm] $\frac19$ [/mm] der restlichen Fläche angemalt, d.h. [mm] $\frac89 *\frac89$ [/mm] der urspr. Fläche bleiben frei.
Also sind nach dem 6. noch [mm] $\left( \frac89\right)^6\approx 49\%$ [/mm] frei.
ciao
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:22 Do 22.04.2010 | | Autor: | informix |
Hallo allerseits,
> Hi,
>
> > Diese Formel habe ich aufgestellt:
>
> die stimmt.
>
>
> Aber wesentlich einfacher ist die direkte Betrachtung der
> freien Fläche.
>
> Nach dem ersten Schritt sind [mm]\frac89[/mm] frei. Beim zweiten
> wird jetzt [mm]\frac19[/mm] der restlichen Fläche angemalt, d.h.
> [mm]\frac89 *\frac89[/mm] der urspr. Fläche bleiben frei.
>
> Also sind nach dem 6. noch [mm]\left( \frac89\right)^6\approx 49\%[/mm]
> frei.
>
Das kann man übrigens schon mit einer "ersten Näherung" überprüfen:
[mm] (1-0,\overline{1})^6\approx 1-6*0,1^1+15*0,1^2\pm...\ge0,4 [/mm] (Binomialentwicklung)
Der Begriff "erste" Näherung kommt daher, dass man eigentlich nur zwei Terme berechnen muss, um eine Abschätzung nach unten zu erhalten.
Gruß informix
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:39 Do 22.04.2010 | | Autor: | Keywey |
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:06 Fr 23.04.2010 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Was auch immer du mit einer leeren Mittelung mitteilen willst, ich habs mal aus den offenen Frage genommen.
Marius
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