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| Aufgabe | Gegeben sei eine kreisrunde Rasenfläche mit Radius $r$.
Auf dem Kreisrand stehe ein Pflock, an dem ein Schaf an einer Leine der Länge [mm] $r_0$ [/mm] mit [mm] $r_0
Wie groß ist die Fläche, die das Schaf abgrasen kann? |
Hallo zusammen,
hier eine etwas schwierigere Knobelei für die "Großen" 
(es sind ja Semesterferien ...)
Gruß und viel Spaß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:36 Di 03.08.2010 | | Autor: | ChopSuey |
Moin schachuzipus,
ich hätte eine Idee. Soll ich das als normale Antwort abtippen, oder kann man das verschlüsselt machen oder so?
Grüße
ChopSuey
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> Gegeben sei eine kreisrunde Rasenfläche mit Radius [mm]r[/mm].
> Auf dem Kreisrand stehe ein Pflock, an dem ein Schaf an
> einer Leine der Länge [mm]r_0[/mm] mit [mm]r_0
>
> Wie groß ist die Fläche, die das Schaf abgrasen kann?
> Hallo zusammen,
>
> hier eine etwas schwierigere Knobelei für die "Großen"
>
>
> (es sind ja Semesterferien ...)
>
> Gruß und viel Spaß
>
> schachuzipus
Hallo,
ich habe die Aufgabe in etwas anderer Form vor langer
Zeit schon mal angetroffen. Anstatt eines Schafes war
da von einer Ziege die Rede. Mathematikern macht eine
derartige Transformation normalerweise keine Schwierigkeiten.
Wichtig ist aber, dass in beiden Fällen (ob Schaf oder
Ziege), das weidende Tier punktförmig sein soll - alter-
nativ könnte man definieren: [mm] r_0:= [/mm] Länge der Leine +
maximale Entfernung von Anbindepunkt der Leine am
Tier von dessen Zunge. Letztere Interpretation ist dabei
vermutlich die sinnvollere, wenigstens falls das Futter
ein Volumen mit positivem Maß einnimmt ...
Die Frage war damals: "Wie groß muss [mm] r_0 [/mm] sein, damit
das Tier exakt die Hälfte des Rasens abgrasen kann ?"
In der gestellten Aufgabe könnte man anstelle von [mm] r_0
ohne weiteres $\ [mm] 0\le r_0\le 2\,r$ [/mm] voraussetzen.
LG Al
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:59 Di 03.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Gegeben sei eine kreisrunde Rasenfläche mit Radius [mm]r[/mm].
> Auf dem Kreisrand stehe ein Pflock, an dem ein Schaf an
> einer Leine der Länge [mm]r_0[/mm] mit [mm]r_0
Die Leine habe die Länge [mm]r[/mm], die Rasenfläche den Radius [mm]R[/mm]. Der Kreis mit dem Radius [mm]r[/mm] liege im Ursprung, der mit [mm]R[/mm] bei [mm](0,R)[/mm]. Sie schneiden sich als Lösung von [mm] x^2+y^2=r^2 [/mm] und [mm] x^2+(y-R)^2=R^2 [/mm] im ersten Quadranten bei [mm] (x_s,y_s)=(r\wurzel{1-(r/2R)^2}, r^2/2R).[/mm] [mm]\phi_s[/mm] heiße der Winkel der entsprechenden Polarkoordinaten. Es gilt [mm] \cos(\phi_s)=x_s/r [/mm] und [mm] \sin(\phi_s)=y_s/r. [/mm] Eine Kurve [mm] \rho(\phi) [/mm] in Polarkoordinaten schließt mit den Strahlen [mm] \phi=\phi_1 [/mm] und [mm] \phi=\phi_2 [/mm] sowie dem entsprechenden Kurvenabschnitt die Fläche [mm] A=1/2*\integral_{\phi_1}^{\phi_2}\rho^2(\phi)d\phi [/mm] ein. Unsere Kurve besteht aus den Kreisbögenabschnitte auf den beiden Kreisen zwischen Ihren Schnittpunkten. Wegen der Symmetrie reicht es von [mm](0,0)[/mm] bis [mm] (x_s,y_s) [/mm] auf dem R-Kreis und von da weiter bis [mm](0,r)[/mm] auf dem r-Kreis zu integrieren. Die Kurve zerfällt formelmäßig in zwei Teile. Den ersten gewinnt man durch Einsetzen von [mm] x=\rho\cos(\phi) [/mm] und [mm] x=\rho\sin(\phi) [/mm] in die Gleichung für den R-Kreis: [mm] \rho=2R\sin(\phi). [/mm] Auf dem zweiten Teil gilt [mm] \rho=const.=r. [/mm] Aufgrund der obigen angesprochenen Symmetrie ist unsere gesuchte Fläche [mm]S[/mm] das Doppelte von [mm]A[/mm]:
[mm] S=2A=\integral_0^{\pi/2}\rho^2(\phi)d\phi=4R^2\integral_0^{\phi_s}\sin^2(\phi)d\phi+r^2\integral_{\phi_s}^{\pi/2}d\phi=2R^2\phi_s-2R^2\cos(\phi_s)\sin(\phi_s)+r^2(\pi/2-\phi_s)
[/mm]
[mm] =\pi r^2/2+(2R^2-r^2)\arcsin(r/2R)-rR\wurzel{1-(r/2R)^2}
[/mm]
Ob das stimmt wird sich zeigen. Plausibel erscheint es, denn S verschwindet, wenn die Leine gegen null geht und wenn R gegen unendlich geht geht S gegen den halben r-Kreis. Und der ganze Rasen ist erreichbar, wenn r gegen 2R geht oder wenn R gegen r/2 geht.
LG
gfm
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:10 Di 03.08.2010 | | Autor: | abakus |
> > Gegeben sei eine kreisrunde Rasenfläche mit Radius [mm]r[/mm].
> > Auf dem Kreisrand stehe ein Pflock, an dem ein Schaf an
> > einer Leine der Länge [mm]r_0[/mm] mit [mm]r_0
>
> Die Leine habe die Länge [mm]r[/mm], die Rasenfläche den Radius [mm]R[/mm].
> Der Kreis mit dem Radius [mm]r[/mm] liege im Ursprung, der mit [mm]R[/mm] bei
> [mm](0,R)[/mm]. Sie schneiden sich als Lösung von [mm]x^2+y^2=r^2[/mm] und
> [mm]x^2+(y-R)^2=R^2[/mm] im ersten Quadranten bei
> [mm](x_s,y_s)=(r\wurzel{1-(r/2R)^2}, r^2/2R).[/mm] [mm]\phi_s[/mm] heiße
> der Winkel der entsprechenden Polarkoordinaten. Es gilt
> [mm]\cos(\phi_s)=x_s/r[/mm] und [mm]\sin(\phi_s)=y_s/r.[/mm] Eine Kurve
> [mm]\rho(\phi)[/mm] in Polarkoordinaten schließt mit den Strahlen
> [mm]\phi=\phi_1[/mm] und [mm]\phi=\phi_2[/mm] sowie dem entsprechenden
> Kurvenabschnitt die Fläche
> [mm]A=1/2*\integral_{\phi_1}^{\phi_2}\rho^2(\phi)d\phi[/mm] ein.
> Unsere Kurve besteht aus den Kreisbögenabschnitte auf den
> beiden Kreisen zwischen Ihren Schnittpunkten. Wegen der
> Symmetrie reicht es von [mm](0,0)[/mm] bis [mm](x_s,y_s)[/mm] auf dem R-Kreis
> und von da weiter bis [mm](0,r)[/mm] auf dem r-Kreis zu integrieren.
> Die Kurve zerfällt formelmäßig in zwei Teile. Den ersten
> gewinnt man durch Einsetzen von [mm]x=\rho\cos(\phi)[/mm] und
> [mm]x=\rho\sin(\phi)[/mm] in die Gleichung für den R-Kreis:
> [mm]\rho=2R\sin(\phi).[/mm] Auf dem zweiten Teil gilt [mm]\rho=const.=r.[/mm]
> Aufgrund der obigen angesprochenen Symmetrie ist unsere
> gesuchte Fläche [mm]S[/mm] das Doppelte von [mm]A[/mm]:
>
> [mm]S=2A=\integral_0^{\pi/2}\rho^2(\phi)d\phi=4R^2\integral_0^{\phi_s}\sin^2(\phi)d\phi+r^2\integral_{\phi_s}^{\pi/2}d\phi=2R^2\phi_s-2R^2\cos(\phi_s)\sin(\phi_s)+r^2(\pi/2-\phi_s)[/mm]
>
> [mm]=\pi r^2/2+(2R^2-r^2)\arcsin(r/2R)-rR\wurzel{1-(r/2R)^2}[/mm]
>
> Ob das stimmt wird sich zeigen. Plausibel erscheint es,
> denn S verschwindet, wenn die Leine gegen null geht und
> wenn R gegen unendlich geht geht S gegen den halben
> r-Kreis. Und der ganze Rasen ist erreichbar, wenn r gegen
> 2R geht oder wenn R gegen r/2 geht.
>
> LG
>
> gfm
>
Hallo,
ohne Integralrechnung hat man die Summe aus zwei Kreissegmenten, die jeweils einzeln als Differenz eines Kreisektors und des darin enthaltenen (von den Radien aufgespannten) gleichschenkligen Dreiecks berechnet werden.
Benötigt werden dafür die beiden Zentriwinkel der jeweiligen Sektoren.
Gruß Abakus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:17 Di 03.08.2010 | | Autor: | gfm |
> Hallo,
> ohne Integralrechnung hat man die Summe aus zwei
> Kreissegmenten, die jeweils einzeln als Differenz eines
> Kreisektors und des darin enthaltenen (von den Radien
> aufgespannten) gleichschenkligen Dreiecks berechnet
> werden.
> Benötigt werden dafür die beiden Zentriwinkel der
> jeweiligen Sektoren.
> Gruß Abakus
Vielen Dank. Der offensichtliche elementargeometrische Weg war mir bewußt und auch, dass ihn andere wählen werden, deswegen dieser Weg.
Liebe Grüße
gfm
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